第八单元：数学广角-优化（讲义）2024-2025学年四年级上册数学人教版

数学广角-优化 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 思维导图 知识梳理 【排队论问题】 1．排队论问题解决方法： 要使等候时间最短，应该从等候时间较少的事情做起． 2．举例说明： 四（1）班的3个同学各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？ 【烙饼问题】 1．烙饼问题只是一种数学思考的方法．其实这种合理安排时间的问题，就是“优化问题”，也是被数学家华罗庚称作“运筹安排”的问题． 2．烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间 【沏茶问题】 【数字问题】 1．核心知识 （1）．数字的拆分 是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等 （2）．数字的排列与位数关系 解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解.． 2．数字问题的主要题型: 数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大，通常情况下题目会给出 某个数各个位数关系，求这个数为多少， 【田忌赛马问题】 1．田忌赛马：用自己的劣等马对决对手的优等马用自己的优等马对决对手的中等马用自己的中等马对决对手的劣等马这个故事告诉我们一个道理，从管理学角度叫“策划和决策”，策划计划的重要性． 2．应用举例：一位镇长想起了田忌赛马的故事．不与强者争一时的长短，而是依据自己的实际，错开优势，以长击短，因此取胜．联想到招商引资，如果也能注意扬长避短，制造“错位”优势，可能还是打破僵局、走向成功的一个高招． 典例分析 【典例1】某旅行社推出天堂寨两日游活动，4个成人带3个儿童去旅游，按哪种方案买票合算？两种买票方案相差多少钱？ A方案 B方案 成人：150元/人 儿童：90元/人 团体5人以上（含5人） 每人110元 【答案】B方案合算；100元 【思路分析】首先根据总价＝单价×数量，分别求出A方案4张成人票和3张儿童票分别需要多少钱，再求和，求出A方案一共需要多少钱；然后根据成人4人，儿童3人，一共有7人，用110乘7，求出B方案需要多少钱；再进行比较大小，判断出哪种方案合算；最后相减即可得出相差的钱数。 【详解】A方案：150×4＋90×3 ＝600＋270 ＝870（元） B方案：（4＋3）×110 ＝7×110 ＝770（元） 870＞770 870－770＝100（元） 答：B方案买票合算，两种买票方案相差100元。 【名师点评】本题主要考查最优化问题，关键根据两种方案的购票方式，计算出各方案所需钱数，选出最省钱的一种方案。 【典例2】妈妈开始做菜，洗菜3分钟，切菜2分钟，从冰箱取肉并解冻5分钟，切肉2分钟，倒油烧油3分钟，炒菜7分钟，你给妈妈安排一个合理的顺序，并计算按照你安排的顺序，共需用多少分钟？ 【答案】从冰箱取出肉解冻的同时洗菜、切菜，然后切肉，倒油烧油，炒菜；17分钟 【思路分析】根据题意可知，从冰箱取肉并解冻需要5分钟，而洗菜3分钟，切菜2分钟，也就是洗菜和切菜正好需要5分钟，所以可以从冰箱取出肉解冻的同时洗菜、切菜。然后再切肉、倒油烧油、炒菜。共需要5＋2＋3＋7分钟。 【详解】给妈妈安排的合理顺序是：从冰箱取出肉解冻的同时洗菜、切菜，然后再切肉，倒油烧油，炒菜。5＋2＋3＋7＝17（分钟） 答：从冰箱取出肉解冻的同时洗菜、切菜，然后切肉，倒油烧油，炒菜；共需要17分钟。 【名师点评】明确妈妈从冰箱取出肉解冻的同时洗菜、切菜，是解决本题的关键。 【典例3】在学校羽毛球团体比赛中，四（1）班和四（2）班各派出3名运动员进行3场比赛．假设两个班的运动员水平相当．已知四（1）班的出场顺序是：厉害选手、中等选手、一般选手．如果你是四（2）班的体育委员，怎样安排出场顺序才能赢四（1）班？ 【答案】一般选手、厉害选手、中等选手 【详解】根据三局两胜的规则，要使四（2）班赢，必须要让四（2）班胜出两场比赛． 已知四（1）班的出场顺序是：厉害选手、中等选手、一般选手．如果我是四（2）班的体育委员，四（2）班的出场顺序应是：一般选手、厉害选手、中等选手，这样能保证后两场比赛四（2）班胜出，最终才能赢四（1）班． 【名师点评】此题可以结合田忌赛马的故事进行答案，要使四（2）班胜出，则可以让四（2）班的一般选手对四（1）班的厉害选手，四（2）班的厉害选手对四（1）班的中等选手，四（2）班的中等选手对四（1）班的一般选手，这样能保证后两场比赛四（2）班胜出，根据三局两胜的规则即可得出四（2）班胜出． 【典例4】我早晨起床要做这样几件事：穿衣，刷牙，洗脸，整理房间，热馒头，吃早点，穿衣需要3分钟，刷牙洗脸要4分钟，整理房间要5分钟，热馒头要10分钟，吃早点6分钟，为了尽快做完这些事，应怎样安排？这样安排，她用了多少分钟？ 【答案】29．最少需要19分钟 【思路分析】先穿衣服需要3分钟，热馒头需要10分钟，同时可以刷牙洗脸、整理房间，这样可以节约4+5=9分钟，再吃早点需要6分钟，据此即可求出最短时间． 【详解】根据题干分析可得：先先穿衣服需要3分钟，再热馒头需要10分钟，同时可以刷牙洗脸、整理房间，这样可以节约4+5=9分钟，最后吃早餐需要6分钟， 所以最少需要3+10+6=19（分钟）， 答：最少需要19分钟． 高频考题 1．小明和小芳各有三张扑克牌，点数大的赢，三局两胜，下面怎样的牌局可以保证小明会赢？ 2．如下图，道路上有8个幼儿园，现在要在道路上建造一个送奶站，为使送奶站到8个幼儿园的距离和最短，送奶站应建在哪里？ 3．妈妈每天早晨上班前要做几件事情：整理房间8分钟，刷牙洗脸4分钟，用洗衣机洗衣服15分钟，晾晒衣服4分钟，吃早饭6分钟，应当怎样安排，所用时间最短？ 4．小明放学回家后，妈妈对他说：“我今天做你最喜欢吃的红烧鱼，不过你要帮妈妈设计一下，看看怎么安排时间最少？”并算一算最少时间是多少？（杀鱼、洗鱼5分钟，烧鱼5分钟，淘米2分钟，电饭煲煮米饭10分钟） 5．现有400名学生去参观博物馆，到出租车公司去租车，每辆可坐30人的大巴车，租金是600元；每辆可坐20人的中巴车，租金是500元。他们怎样租车合算？ 6．小林、小丽和小强三人同时到办公室找张老师问数学题。小林需要5分钟，小丽需要8分钟，小强需4分钟。要使三人等候时间的总和最少，该怎样安排他们的顺序？这时候等候的总时间是多长？ 7．四年级和五年级进行乒乓球比赛，每个年级各出5名同学，共赛5场，胜3场者为胜。如何安排赛事，使四年级获胜的概率最大？（每个同学的乒乓球水平各不相同） 8．王浩、张丽和周涛一同到食堂接开水，王浩接水需要1分钟，张丽接水需要3分钟，周涛接水需要2分钟。按照怎样的顺序接水，才能使大家等候的时间总和最少？ 9．小强早上从起床到吃完早饭需要做完下面这些事：起床需要5分钟，整理床铺需要2分钟，刷牙需要2分钟，洗脸需要1分钟，热牛奶需要3分钟，烤面包需要2分钟，吃早饭需要8分钟。他如何安排才能最快完成这些事情？ 10．学校组织四年级12位老师带领294位同学去博物馆参观。大车每辆限坐36人，小车每辆限坐18人，大车每辆租金700元，小车每辆租金400元。怎样租车最省钱？需要多少钱？ 11．妈妈回家做饭，淘米要3分钟，煮饭要30分钟，洗菜要8分钟，切菜要5分钟，炒菜要10分钟。如果煮饭和炒菜要用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都做好，最少要用多长时间，说明你的想法。 12．中午，妈妈要包饺子，为了能尽快吃到饺子，安排一下在包饺子的过程中完成每件事的顺序：和面、和馅8分钟、包饺子25分钟、烧开水10分钟、煮饺子5分钟、洗碗2分钟。则完成以上各项事务最少需要多少分钟？ 13．张琳早晨要完成以下几件事情，所需要的时间是：起床穿衣4分钟，刷牙2分钟，洗脸1分钟，热早点10分钟，吃早点6分钟，整理房间5分钟。 （1）张琳想更好地做好这些事情，应该按怎样的顺序做？ （2）张琳做好这些事情，至少要用多少分钟？ 14．爸爸妈妈上了一天班，很辛苦，晚饭时，小丽要为父母做一个韭菜炒鸡蛋，这道菜有以下几项工序：敲蛋半分钟、搅蛋1分钟、切韭菜1分钟、洗锅2分钟、热锅2分钟、烧热油1分钟、炒菜4分钟。请你帮小丽画出流程图，并算一算她做好这个菜至少需要多少分钟？ 15．有30张卡片。两人轮流从中取，每次至少取1张，最多取3张，谁取到最后一张谁就输。让你先取，你有必胜的策略吗？怎样取才能获胜？ 16．妈妈烤面包，每个面包需要烤5分钟，其中第一面要烤3分钟，第二面要烤2分钟。家中的烤箱每次只能烤2个，现在妈妈要烤3个面包，8分钟够吗？说说你的理由。 17．煎芝麻饼需要两面煎，煎第一面需要2分钟，煎第二面需要1分钟。煎一块芝麻饼需要3分钟，一个锅一次能放入2块芝麻饼。如果要煎3块芝麻饼，最少需要多少分钟？ 18．星期六，李奶奶要包饺子给家人吃，请你设计一个合理的顺序，让他们尽快吃上饺子，至少需要多长时间？ 19．小平、小丽和小刚3位小朋友到游乐场玩游戏。游乐场里有一个场地有射箭游戏，一个场地有碰碰车。射箭和坐碰碰车一次都需要用4分钟时间。射箭游戏一次只能容纳1人进入，碰碰车则没有限制。他们三位小朋友如果两种游戏都玩到，最少需要多少分钟呢？ 20．金山旅行社推出“莲花山景区一日游”的两种出游价格方案。成人4人，儿童6人，选哪个方案买票比较合算？请通过计算简单说明理由。 方案一： 成人120元/人 儿童50元/人 方案二： 团体10人以上（包含10人）， 100元/人 21．烤面包时，第一面要烤2分钟，烤第二面时，面包已经比较干，只要烤1分钟就够了，小丽用的烤面包架子一次只能放两片面包，她每天早上要吃三片面包，最少要烤多长时间？ 22．王叔叔有26吨的化肥要从城里运到乡下，大货车一次能运5吨，运一次收费270元；小货车一次能运2吨，运一次收费120元，怎样运货费用最少？最少是多少元？ 23．小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛。甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 24．一位老师带48名学生去兴庄公园划船，大船限乘5人，每条船的租金是30元；小船限乘3人，每条船的租金是21元。怎样租船最省钱？ 25．某校组织师生看电影，学生960人，教师26人，影剧院售票处写着（如图）。请你设计一种你认为最省钱的购票方案，算出购票一共需多少钱？ 26．学校体育场上有一个轮滑场地和一个骑车场地，为了学生安全，规定每次场地上只允许一人玩，轮滑、骑车一次都需要8分钟。有3位小朋友来，如果3人两种游戏都玩到，最少需要多少分钟？ 27．在一条公路上每隔50千米有一个粮库，共4个粮库。甲粮库存有10吨粮食，乙粮库存有20吨粮食，丁粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的。现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才行？ 28．合理安排． 小英家来了客人，她准备给客人烧水、沏茶．洗水壶用2分钟，烧开水用17分钟，洗茶杯用1分钟，买茶叶用5分钟，放茶叶要用1分钟，沏茶1分钟．怎样合理安排使客人尽早喝上茶？把你安排的过程用图表示出来，并算出最少要用多少分钟才能让客人喝上茶？ 29．厦门园林植物园，俗称“万石植物园”。第二实验小学3位老师带50名学生去参观该植物园。[团体票：10人以上（含10人）]怎样买票合算？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 1．见详解 【思路分析】根据三局两胜制规则，要想小明赢，那么小明至少有两张牌比小芳的牌大，小芳的三张牌分别是7、5、3，那么那么小明的牌有一张比3大，有一张比5大即可。 【详解】由分析知，小明的三张牌是2、6、4即可保证小明赢。 2．D、E之间任何位置（包括D、E） 【思路分析】如果单独去分析每个幼儿园到送奶站的距离，情况会非常多，难以找到最优解。由于题目要求的是距离之和最短，我们可以从两边到中间依次合起来看，如： 先思考A、H，只要车站在AH之间（包括A、H），送奶站到这两个幼儿园的距离和就是最小值即线段AH的长度； 再考虑B、G，只要车站在BG之间（包括B、G），送奶站到这两个幼儿园的距离和就是最小值即线段BG的长度； 然后再考虑C、F，只要车站在CF之间（包括C、F），送奶站到这两个幼儿园的距离和就是最小值即线段CF的长度； 最后考虑D、E，只需要在DE之间（包括D、E），送奶站到这两个幼儿园的距离和就是最小值即线段DE的长度。所以送奶站应建在D、E之间任何位置（包括D、E）即可。 【详解】答：为使送奶站到8个幼儿园的距离和最短，送奶站应建D、E之间任何位置（包括D、E）。 3．整理房间、刷牙洗脸、吃早饭的同时用洗衣机洗衣服，然后晾晒衣服 【思路分析】整理房间8分钟，加上刷牙洗脸4分钟，再加上吃早饭的6分钟，这段时间需要用8＋4＋6＝18（分钟），18＞15，那么这段时间可以同时用洗衣机洗衣服，最后加上晾晒衣服4分钟；据此解答。 【详解】8＋4＋6＋4＝22（分钟） 答：整理房间、刷牙洗脸、吃早饭的同时用洗衣机洗衣服，然后晾晒衣服所用时间最短。 4．先淘米用2分钟，然后煮饭用10分钟，同时杀鱼、洗鱼5分钟和烧鱼5分钟；12分钟 【思路分析】根据题意得出：先淘米用2分钟，然后煮饭用10分钟，同时杀鱼、洗鱼5分钟和烧鱼5分钟，将淘米的时间和煮饭的时间相加即可。 【详解】先淘米用2分钟，然后煮饭用10分钟，同时杀鱼、洗鱼5分钟和烧鱼5分钟，这样安排时间最少。 2＋10＝12（分钟） 答：最少时间是12分钟。 【名师点评】此题类题目属于合理安排时间，本着既能节约时间，又不使每项程序相互矛盾是解决问题的主要思想方法。 5．租12辆大巴车和2辆中巴车 【思路分析】先根据“单价＝总价÷数量”分别计算出租大巴车和中巴车时每人需要的钱，要使租车最省钱，则应尽量租最便宜的一种车型，并且使每辆车都坐满，没有空位；因此用总人数除以最便宜的一种车型可坐的人数，再根据计算出的结果进行解答即可。 【详解】600÷30＝20（元/人） 500÷20＝25（元/人） 25元＞20元，即租大巴车最便宜 400÷30＝13（辆）……10（人） 13－1＝12（辆） 30＋10＝40（人） 40÷20＝2（辆） 答：租12辆大巴车和2辆中巴车最省钱。 【名师点评】此题考查的是优化问题的计算，要使租车最省钱，则应尽量多租最便宜的一种车型，并且使每辆车都坐满。 6．按小强、小林、小丽的顺序，等候的时间总和最少，等候的总时间是30分钟。 【思路分析】要使三个人等候的时间最少，则就让花时间少的人先办事，花时间多的后办事，据此即可解答。 【详解】按小强、小林、小丽的顺序，等候的时间总和最少； 4×3＋5×2＋8 ＝12＋10＋8 ＝30（分钟） 答：等候的总时间是30分钟。 【名师点评】本题考查事物的统筹安排，将事物进行最优化解决是解题的关键。 7．见详解 【思路分析】可用“田忌赛马”的方法进行安排选手，即是用上对中，中对下，下对上进行比赛，据此解答。 【详解】 四年级 五年级 获胜年级 第1场 最差的 最好的 五年级 第2场 较差的 较好的 五年级 第3场 最好的 一般的 四年级 第4场 较好的 较差的 四年级 第5场 一般的 最差的 四年级 【名师点评】此题考查最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析是解题的关键。 8．按王浩、周涛、张丽的顺序接水，能使大家等候的时间总和最少。 【思路分析】要使三个人等候的时间最少，则就让花时间少的人先办事，花时间多的后办事，据此即可解答。 【详解】王浩1分钟，张丽3分钟，周涛2分钟，所以按王浩、周涛、张丽的顺序接水，能使大家等候的时间总和最少。 【名师点评】本题考查事物的统筹安排，将事物进行最优化解决是解题的关键。 9．见详解 【思路分析】起床→烤面包（整理床铺）→热牛奶（刷牙→洗脸）→吃早饭，这样完成这些事情的时间为起床、烤面包、热牛奶和吃早饭的时间和，据此即可解答。 【详解】先起床，然后烤面包的同时整理床铺，再热牛奶的同时刷牙和洗脸，最后吃早饭，这样能最快完成这些事情。 【名师点评】合理安排，把能同时进行的事情安排在同一时间完成，这样用时最少。 10．租8辆大车和1辆小车最省钱，需要6000元。 【思路分析】租大车，每人次需要花费：700÷36≈19（元），租小车每人次需要：400÷18≈22（元），比较可知，租大车划算些，尽量多租大车，并且不要空位，租金最少；计算所需钱数即可。 【详解】700÷36≈19（元） 400÷18≈22（元） 19＜22 （12＋294）÷36 ＝306÷36 ＝8（辆）……18（人） 18÷18＝1（辆） 租8辆大车和1辆小车最省钱； 共画租车费： 700×8＋400×1 ＝5600＋400 ＝6000（元） 答：租8辆大车和1辆小车，最省钱，需要6000元。 【名师点评】本题的解答策略是：要尽量租用便宜的大车，并且每辆车最好不要空位，这样最省钱。 11．33分钟，工序见详解 【思路分析】此类题目要奔着节约时间又不使每道程序互相矛盾的情况下进行分析解决。根据题干可知：煮饭的30分钟，可以同时洗菜、切菜还能炒菜，由此即可设计出妈妈煮饭的工序，从而计算得出所用的时间。 【详解】3＋30＝33（分钟） 答：最少要用33分钟。先淘水，然后煮饭，在完成煮饭这项任务的同时，可完成洗菜、切菜和炒菜。 【名师点评】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 12．38分钟 【思路分析】首先和面、和馅需要8分钟，包饺子25分钟，在包饺子间隙烧开水，使包饺子和烧开水同时完成，然后煮饺子5分钟同时完成洗碗；据此解题即可。 【详解】8＋25＋5 ＝33＋5 ＝38（分钟） 答：完成以上各项事务最少需要38分钟。 【名师点评】解答此类问题的关键是奔着既节约时间又不使每道程序相互矛盾即可，尽量合理安排节省时间且又使事件之间互不冲突，考查学生合理安排时间的能力。 13．（1）先起床穿衣，然后热早点的同时刷牙、洗脸、整理房间，最后吃早点。 （2）20分钟 【思路分析】（1）要使用的时间最少，那么能同时做的事情就应同时做，依此将这些事情排序即可。 （2）2＋1＋5＝8（分钟），8分钟＜10分钟，因此用起床穿衣的时间加热早点的时间后，再加吃早点的时间即可。 【详解】（1）要想更好地做好这些事情，应该按这样的顺序做：先起床穿衣，然后热早点的同时刷牙、洗脸、整理房间，最后吃早点。 （2）4＋10＋6＝20（分钟） 答：张琳做好这些事情，至少要用20分钟。 【名师点评】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 14．9分钟 【思路分析】要使需要的时间最短，应先洗锅，然后热锅，热锅的同时可以敲蛋和搅蛋。再烧热油，烧热油的同时可以切韭菜。最后炒菜。则一共需要2＋2＋1＋4＝9分钟。 【详解】 2＋2＋1＋4＝9（分钟） 答：她做好这个菜至少需要9分钟。 【名师点评】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 15．见详解 【思路分析】我先取1张，那么还剩下29张，则只要使自己取到第29张，让对方取第30张，我就能获胜，依此解答。 【详解】答：我有必胜的策略，我先取一张，再看对方取几张，我要取的张数与对方的取张数的和是4张，这样下去，就能保证我会取到第29张，让对方取第30张，这样我就会获胜。 【名师点评】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 16．够了，理由见详解 【思路分析】此类问题中，尽量使每次都有2个面包在烤，由此进行合理安排即可解决问题。 【详解】给三个面包编号a、b、c，烤3分钟的是正面，烤2分钟的是反面，按照下面的安排操作：先放入a的正面和b的反面，第2分钟后取出b放入c的反面；第3分钟，把a反过来烤反面；第4分钟把c反过来烤正面；第5分钟把a取出，此时a已经烤好，放入b的正面；第7分钟c已经烤好，取出；第8分钟b已经烤好；所以烤3个面包8分钟够。 答：妈妈要烤3个面包，8分钟够。 【名师点评】此题考查了学生的利用统筹思想进行合理安排事情的能力，抓住烤箱内始终有2个面包在烤是本题的关键。 17．5分钟 【思路分析】此类问题中，尽量使每次都有2张饼在烙，由此进行合理安排即可解决问题。 【详解】煎3张饼的方法： 1、①正②正，需要2分钟； 2、①反③正，需要2分钟； 3、②反③反，需要1分钟 所以2＋2＋1＝5（分钟）； 答：煎熟3张饼至少要5分钟。 【名师点评】此题考查了学生的利用统筹思想进行合理安排事情的能力，抓住锅内始终有2张饼在烙是本题的关键。 18．45分钟 【思路分析】要使需要的时间最短，先买菜，再包饺子，包饺子的同时烧开水，最后煮饺子。。则一共需要10＋30＋5＝45分钟。 【详解】10＋30＋5 ＝40＋5 ＝45（分钟） 答：至少需要45分钟。 【名师点评】本题考查优化问题，要想时间最短，应合理安排各项任务之间的顺序，注意同时进行的两项任务应互不干扰。 19．12分钟 【思路分析】射箭游戏一次只能容纳1人进入，碰碰车则没有限制。则第一个4分钟时，可以一个人比如小平去玩射箭，剩余两人即小丽和小刚去玩碰碰车。第二个4分钟，小平去玩碰碰车，小丽去玩射箭。第三个4分钟，小刚去玩射箭。则一共需要4×3＝12分钟。 【详解】4×3＝12（分钟） 答：最少需要12分钟。 【名师点评】本题考查优化问题，要想时间最短，而射箭游戏一次只能容纳1人进入，则应保证一直有人在玩射箭，其余人去玩碰碰车。 20．方案一买票比较合算 【思路分析】根据两种情况：在方案一的条件下算出花费，再按照方案二算出花费，比较大小，花钱少的是最合算的。 【详解】方案一的花费： 4×120＋6×50 ＝480＋300 ＝780（元） 方案二的花费： （4＋6）×100 ＝10×100 ＝1000（元） 因为780元＜1000元 所以成人4人购买成人票，儿童6人购买儿童票比较合算，这样花的钱最少。 答：方案一买票比较合算。 【名师点评】根据参与旅游人数及两种不同的方案分别计算比较是解答此类题目的常用方法。 21．5分 【思路分析】给三片面包编上号，1、2、3；先烤1和2的第一面，需要2分钟；然后把1翻面，2拿出换上3，1分钟后1完成拿出；放入2的翻面，1分钟后2完成，3翻面，还需要1分钟；据此解答即可。 【详解】3片面包分别是1、2、3； 先烤1和2的第一面，需要2分钟； 然后把1翻面，2拿出换上3，1分钟后1完成拿出； 放入2的翻面，1分钟后2完成； 3翻面，还需要1分钟； 共需要2＋2＋1＝5（分）。 答：最少需要烤5分钟。 【解题指导】解决有关“烤面包”“烙饼”的问题，要考虑怎样充分地利用空间，缩短时间，这样才能节约时间，减少能源的浪费。 22．大货车运4次，小货车运3次；1440元 【思路分析】根据题意先计算两种车每吨分别多少钱：270÷5≈54（元/吨）；120÷2≈60（元/吨）；54＜60，所以尽量多用大货车而且尽量装满比较省钱。 【详解】已知大货车一次能运5吨，4辆运20吨，剩下6吨让小货车运，由此得： （26－4×5）÷2 ＝（26－20）÷2 ＝6÷2 ＝3（辆） 270×4＋3×120 ＝1080＋360 ＝1440（元） 答：用4辆大货车和3辆小货车运费最少，最少是1440元。 【名师点评】本题主要考查最优化问题，关键根据两种车所运吨数和钱数，计算每吨所需的钱数。 23．分钟 【思路分析】首先要确定赶牛的顺序，小明把牛赶到对岸还要回来，所以要选跑得快的牛来回走。 【详解】要想用最少的时间，4头牛都能过河，保证时间最短： 第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用：（分钟）； 第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了（分钟）； 第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了2分钟； 所以，小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用（分钟）。 答：最小要用13分钟。 【名师点评】本题考查的是统筹优化的问题，确定过河顺序是求解问题的关键。 24．租10条大船 【思路分析】一位老师和48名学生共计49人。49人先租5条大船就还剩9人没座位，然后再来确定9人如何租船划算，在解决此题时，剩下的9人租小船，虽然都坐满了，但需花21×3＝63（元）。如果这9人都租大船，只需2条，虽然有一条大船只坐了4人，但只需花30×2＝60（元），比租小船省钱。所以租10条大船最省钱。 【详解】48＋1＝49（人）   49÷5＝9（条）……4（人） 9＋1＝10（条）   30×10＝300（元） 答：租10条大船最省钱。 【名师点评】本题很容易认为让所有座位都坐满最省钱，解决租船问题时，要具体问题具体分析，灵活处理。 25．4004元 【思路分析】本题根据观看电影的教师数、学生数及三种票的价格进行分析即可。 由题意可知，学生960人，教师26人观看电影，成人票最贵10元，学生票最便宜4元，团体票次之6元，但需达到30人或30人以上才能购买，由此我们可以从学生中抽出30－26＝4人和教师凑齐30团体票，剩下的960－4＝956购学生票，这样花钱最少。 【详解】从学生中抽出30－26＝4人和教师凑齐30人购团体票， 剩下的960－4＝956人购学生票，这样花钱最少。 需花： 30×6＋956×4 ＝180＋3824 ＝4004（元） 答：最少需要花4004元。 【名师点评】此题也可按照购成人票和学生票两种方案和团体（交叉）买票，分别算出应付的钱数进行比较。 26．24分钟 【思路分析】根据题意可知，假设这三人分别为A，B，C。第一个8分钟，A骑车；B轮滑；第二个8分钟，A轮滑；C骑车；第三个8分钟，B骑车；C轮滑。则共需要3×8分钟。 【详解】3×8＝24（分钟） 答：最少需要24分钟。 【名师点评】本题考查优化问题，保证每次两个场地上都有小朋友，则需要的时间最短。 27．3500元 【思路分析】由于各粮库之间的距离相等都是50千米，一般原则是“少往多处靠”，集中存在粮食较多的库房比较节约；甲、乙两仓库粮食合起来是30吨，还不如丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。 【详解】1×10×50×3＋1×20×50×2 ＝10×50×3＋20×50×2 ＝500×3＋1000×2 ＝1500＋2000 ＝3500（元） 答：最少要花3500元运费才行。 【名师点评】这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越多。反之，如果移动的货物重量小路程近，花费的费用就少。 28．19分钟 【思路分析】根据题干分析可得，先洗水壶用2分钟，烧开水用17分钟，在这17分钟内可以同时洗茶杯、卖茶叶、放茶叶，节约1+5+1=7分钟，最后再沏茶用1分钟，据此即可解答问题． 【详解】根据题干分析，设计程序如下： 所以一共需要1+17+1=19（分钟）， 答：最少要用19分钟才能让客人喝上茶． 29．7名学生和3位老师购团体票，剩下的学生购学生票最合算。 【思路分析】方案一：3位老师购买成人门票，50名学生购买学生门票，则需要花费的钱数为3×40＋50×20元。 方案二：3位老师和50名学生全部购买团票，则需要花费的钱数为24×（50＋3）元。 方案三：7名学生和3位老师购团体票，剩下的学生购学生票，则需要花费（3＋7）×24＋（50－7）×20元。 分别算出三个方案花费的钱数，再比较大小，花费钱数少的方案即为购票最合算的方案。 【详解】方案一　分别购成人票和学生票： 3×40＋50×20 ＝120＋1000 ＝1120（元） 方案二　统一购团体票： 24×（50＋3） ＝24×53 ＝1272（元） 方案三　7名学生和3位老师购团体票，剩下的学生购学生票： （3＋7）×24＋（50－7）×20 ＝10×24＋43×20 ＝240＋860 ＝1100（元） 1100元＜1120元＜1272元 所以方案三最合算。 答：7名学生和3位老师购团体票，剩下的学生购学生票最合算。 【名师点评】解决类似问题时，先假设多种方案，分别求出每种方案花费的钱数，再进行比较，找出最划算的方案。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$