第03讲 圆的方程（八大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

一轮复习讲练测 2025年高考数学 第03讲 圆的方程 目录 CONTENTS 考情透视·目标导航 01 知识导图·思维引航 02 考点突破·题型探究 03 真题练习·命题洞见 04 05 06 课本典例·高考素材 易错分析·答题模板 01 考情透视·目标导航 考点要求 考题统计 考情分析 (1)圆的方程 (2)点与圆的位置关系 2024年北京卷第3题，5分 2023年乙卷（文）第11题，5分 2023年上海卷第7题，5分 2022年甲卷（文）第14题，5分 2022年乙卷（文）第15题，5分 高考对圆的方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程． 复习目标： （1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程． （2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 4 02 知识导图·思维引航 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 03 考点突破·题型探究 知识梳理·基础回归 知识点1：圆的定义和圆的方程 定义 平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C______ 半径为___ 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C___________ 半径r＝_______________ 定点 定长 (a，b) r 8 知识梳理·基础回归 知识点2：点与圆的位置关系判断 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 圆外 圆上 圆内 9 【典例1-1】已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设（），圆的半径为， ，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的方程为． 故选：D． 题型一：求圆多种方程的形式 题型突破·考法探究 【典例1-2】（2024·高三·北京·开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，圆心坐标为，可知AB错误； 设圆心半径为，且圆心到轴的距离为， 则由圆与轴相切可得， 故圆的方程为：． 故选：C．   题型一：求圆多种方程的形式 【方法技巧】 （1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． （2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等． 题型突破·考法探究 【变式1-1】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆，得到圆心，由题意知O、A、B、P四点共圆，的外接圆即四边形的外接圆， 又，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为． 故选：A 题型一：求圆多种方程的形式 题型突破·考法探究 【变式1-2】圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 【答案】 【解析】圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是． 联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 故答案为：． 题型一：求圆多种方程的形式 题型突破·考法探究 【典例2-1】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】经过圆：和圆：交点的圆可设为， 即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为．故选：A． 题型二：直线系方程和圆系方程 题型突破·考法探究 【典例2-2】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：．   题型二：直线系方程和圆系方程 题型突破·考法探究 【变式2-1】经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为： ∵所求圆过点 ∴，解得 所以圆的方程为， 化简得． 故答案为：． 题型二：直线系方程和圆系方程 题型突破·考法探究 【变式2-2】曲线与的四个交点所在圆的方程是 ． 【答案】 【解析】，， 故， 化简整理得到：， 即． 故答案为：． 题型二：直线系方程和圆系方程 题型突破·考法探究 【典例3-1】已知定点B（3，0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ． 【答案】． 【解析】设，则， 设，由为的角平分线， 可得，即有， 可得，， 即，， 可得，， 则， 即为． 故答案为：． 题型三：与圆有关的轨迹问题 题型突破·考法探究 【典例3-2】（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】因为，所以直线过点， 直线过点， 因为，所以，设， 所以，所以， 所以，化简可得：． 故答案为：．  【方法技巧】 要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在． 题型三：与圆有关的轨迹问题 题型突破·考法探究 【变式3-1】（2024·高三·青海西宁·期中）已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】依题意，设，由，得 ， 即， 整得得， 所以点的轨迹方程为． 故答案为： 题型三：与圆有关的轨迹问题 题型突破·考法探究 【变式3-2】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】圆，所以圆心为，半径为2，设， 由线段的中点为，可得， 即有， 即，所以点的轨迹方程为． 故答案为： 题型三：与圆有关的轨迹问题 题型突破·考法探究 【变式3-3】如图，已知点A（-1，0）与点B（1，0），C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程．    【解析】设动点P（x，y），由题意可知P是△ABD的重心， 由A（-1，0），B（1，0）， 令动点C（x0，y0），则D（2x0-1，2y0）， 由重心坐标公式得，则代入， 整理得 故所求轨迹方程为． 题型三：与圆有关的轨迹问题 题型突破·考法探究 【典例4-1】若方程表示一个圆，则m可取的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由方程分别对进行配方得： ， 依题意它表示一个圆，须使， 解得：或，在选项中只有D项满足． 故选：D． 题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 题型突破·考法探究 【典例4-2】（2024·高三·全国·课后作业）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（    ）． A．，且 B．，且 C．，且， D．，且， 【答案】D 【解析】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是，即，且，． 故选：D   题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 【方法技巧】 方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径 题型突破·考法探究 【变式4-1】若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】若方程表示圆，则， 解得：或． 故选：C 题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 题型突破·考法探究 【变式4-2】（2024·贵州·模拟预测）已知曲线的方程， 则“”是“曲线是圆”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，即， ∴曲线是圆， ∴“”是“”的必要不充分条件． 故选：A． 题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 题型突破·考法探究 【典例5-1】（2024·高三·广东·开学考试）“”是“点在 圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】点在圆内 ， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件． 故选：A． 题型五：点与圆的位置关系判断 题型突破·考法探究 【典例5-2】（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为可化为，则， 所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A．   题型五：点与圆的位置关系判断 【方法技巧】 在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约． 题型突破·考法探究 【变式5-1】（2024·贵州黔南·二模）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立，解得，即点在圆的内部， 即有，解得． 故选：D． 题型五：点与圆的位置关系判断 题型突破·考法探究 【典例6-1】已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】曲线整理得， 则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即， 则令，解得，则其过定点， 如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点， 由，得或，所以，， 所以实数的取值范围是．故选：C． 题型六：数形结合思想的应用 题型突破·考法探究 【典例6-2】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线恒过定点， 曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）． 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为． 分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，故选：A．  【方法技巧】 研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误． 题型六：数形结合思想的应用 题型突破·考法探究 【变式6-1】（多选题）关于曲线：，下列说法正确的是（    ） A．曲线围成图形的面积为 B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴 C．曲线所表示的图形是中心对称图形 D．曲线是以为圆心，为半径的圆 【答案】AC 【解析】曲线：如图所示： 对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为，故A正确； 对于B，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故B错误； 对于C，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确； 对于D，曲线的图形不是一个圆，故D错误． 故选：AC 题型六：数形结合思想的应用 题型突破·考法探究 【典例7-1】圆 关于直线对称的圆的方程为 ． 【答案】 【解析】圆的圆心为， 则关于对称的点设为：，故． 与的中点为：， 中点在直线上，所以． 解得：，所以对称圆的圆心为：． 所以圆 关于直线对称的圆的方程为： ． 题型七：与圆有关的对称问题 题型突破·考法探究 【典例7-2】已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆与圆关于直线对称，可得两圆心和关于直线对称， 又由，可得，且的中点为， 所以直线的方程为，即．   题型七：与圆有关的对称问题 【方法技巧】 （1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称 （2）圆关于点对称： ①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点 （3）圆关于直线对称： ①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线 题型突破·考法探究 【变式7-1】（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆，圆心，半径， ，圆心，半径， 由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线， ，，的中点， 圆心连线的斜率为，则直线的斜率为， 故的方程：，即，故C正确． 故选：C． 题型七：与圆有关的对称问题 题型突破·考法探究 【变式7-2】（2024·高三·山西·期末）已知点A，B在圆上，且A，B两点关于直线对称，则圆的半径的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】因为， 化为标准方程为， 设圆的半径为，由题可知圆心在直线上， 于是有， 则， 当时，取得最小值2，故的最小值为．故选：B 题型七：与圆有关的对称问题 题型突破·考法探究 【典例8-1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、． 故选：D． 题型八：圆过定点问题 题型突破·考法探究 【典例8-2】圆恒过的定点是 ． 【答案】 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点． 故答案为：   【方法技巧】 特殊值法 题型八：圆过定点问题 题型突破·考法探究 【变式8-1】已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为． 题型八：圆过定点问题 题型突破·考法探究 【变式8-2】（2024·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 ． 【答案】 【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得，方程组的解为． 因此，的外接圆恒过的定点坐标为． 题型八：圆过定点问题 题型突破·考法探究 04 真题练习·命题洞见 02 D A B 1．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2022年高考全国甲卷数学真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 42 05 课本典例·高考素材 1．平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？ 【解析】设过三点的圆的一般方程为． 将三点代入得：． 所以圆的一般方程为． 将点代入得：，满足方程． 所以四点在同一个圆上． 44 2．已知圆的一条直径的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2）．求证：此圆的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0． 【解析】∵圆的一条直径的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴圆心为C（，），半径为， ∴此圆的方程是+， 即x2–（x1+x2）x++y2–（y1+y2）y+， 即x2–（x1+x2）x+x1•x2+y2–（y1+y2）y+y1•y2=0， 即（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0． 45 3．在半面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数． 证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆． 【解析】由可得， 又因为， 所以，即， 所以点的轨迹是圆心为，半径为的圆． 46 4．长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【解析】设线段AB的中点P（x，y）， 若A、B不与原点重合时，则△AOB是直角三角形，且∠O为直角， 则OPAB，而AB＝2a， ∴OP＝a，即P的轨迹是以原点为圆心，以a为半径的圆， 方程为x2+y2＝a2（a＞0）； 若A、B有一个是原点，同样满足x2+y2＝a2（a＞0）． 故线段AB的中点的轨迹方程为：x2+y2＝a2（a＞0 表示圆心在原点半径为的圆．）． 47 06 易错分析·答题模板 02 易错点：忽视圆的一般方程成立的条件 易错分析：易忽视圆的一般方程：表示圆的条件 而导致错误． 答题模板： 【易错题1】已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【易错题2】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． D D 02 答题模板：求圆的方程 1、模板解决思路 求圆的方程，首先确定圆的类型．若已知圆心坐标和半径，直接代入标准方程；若已知圆上三点，通过构造方程组求解圆心坐标和半径；若已知直径，则先求圆心，再计算半径后代入方程． 2、模板解决步骤 第一步：根据题意，设出圆的方程或圆心、半径． 第二步：根据条件列出关于 a，b，r或D，E，F的方程组， 并求解． 第三步：根据第二步所得结果，写出圆的方程． 【典型例题1】写出与直线和轴都相切， 半径为的一个圆的方程： ． 【典型例题2】已知点，其中一点在圆内，一点在圆上，一点在圆外，则圆的方程可能是 ． 感谢观看 THANK YOU $$