第05讲 椭圆及其性质（九大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

一轮复习讲练测 2025年高考数学 第05讲 椭圆及其性质 目录 CONTENTS 考情透视·目标导航 01 知识导图·思维引航 02 考点突破·题型探究 03 真题练习·命题洞见 04 05 06 课本典例·高考素材 易错分析·答题模板 01 考情透视·目标导航 考点要求 考题统计 考情分析 （1）椭圆的定义及其标准方程 （2）椭圆的几何性质 2024年II卷第5题，5分 2023年甲卷（理）第20题，12分 2023年I卷II卷第5题，5分 2023年北京卷第19题，15分 2023年甲卷（理）第12题，5分 2022年甲卷（理）第10题，5分 椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现． 复习目标： （1）理解椭圆的定义、几何图形、标准方程． （2）掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． （3）掌握椭圆的简单应用． 4 02 知识导图·思维引航 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 03 考点突破·题型探究 知识梳理·基础回归 知识点1：椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 常数 焦点 焦距 8 知识梳理·基础回归 知识点2：椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 范围 _____________________ _____________________ －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 9 知识梳理·基础回归 知识点2：椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ 轴长 短轴长为 ，长轴长为____ 焦点 ____________________ ____________________ 焦距 |F1F2|＝____ A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 2b 2a F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c 10 知识梳理·基础回归 知识点2：椭圆的方程、图形与性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 对称性 对称轴： ，对称中心：_____ 离心率 ____________ a，b，c的关系 ___________ x轴和y轴 原点 a2＝b2＋c2 11 知识梳理·基础回归 解题方法总结 （1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． （2）椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆与直线相切的条件是． 12 【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个． 【答案】 或（写一个即可） 2 【解析】因为点，关于轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有，，和，，两种情况．设椭圆方程为（，，）． 当椭圆过，，三点时，将，的坐标代入椭圆方程，得 ，解得，所以椭圆的方程为． 同理可得当椭圆经过，，三点时，代入椭圆方程有，得 ，得；该椭圆的方程为． 题型一：椭圆的定义与标准方程 题型突破·考法探究 【典例1-2】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，结合题设有，， 由，则， 化简得，故的长轴长与焦距的比值为. 故选：D. 题型一：椭圆的定义与标准方程 题型突破·考法探究 【变式1-1】方程表示的曲线是 ，其标准方程是 . 【答案】 椭圆 【解析】方程， 表示点到两点的距离之和等于，而， 所以方程表示的曲线是椭圆， 且长轴长，焦距，所以， 所以半短轴长， 所以其标准方程为. 故答案为：椭圆；. 题型一：椭圆的定义与标准方程 题型突破·考法探究 【变式1-2】过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【答案】 【解析】由题意设椭圆的方程为，， 将点代入，， 整理可得：， 解得或（舍， 所以椭圆的方程为：， 故答案为：． 题型一：椭圆的定义与标准方程 题型突破·考法探究 【典例2-1】（2024·山西吕梁·二模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【解析】由题意得，函数，且的图象所过定点为， 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立.故选：C. 题型二：椭圆方程的充要条件 题型突破·考法探究 【典例2-2】方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】若表示椭圆，则有， 解得或.故选：D.   题型二：椭圆方程的充要条件 【方法技巧】 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 题型突破·考法探究 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）命题“实数”是命题 “曲线表示椭圆”的一个（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意“曲线表示椭圆”等价于 “曲线表示椭圆”， 而“曲线表示椭圆”，等价于，解得或， 所以命题“实数”是命题“曲线表示椭圆”的一个必要不充分条件.故选：C. 题型二：椭圆方程的充要条件 题型突破·考法探究 【典例3-1】已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ． 【答案】 【解析】设，分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得 所以，，所以，由余弦定理可得， 所以，故， 因此的面积为， 解得． 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型突破·考法探究 【典例3-2】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【解析】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为．故选：C.  【方法技巧】 焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即. 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型突破·考法探究 【变式3-1】（2024·高三·广东深圳·期中）已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 【答案】 【解析】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为. 故答案为：. 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型突破·考法探究 【变式3-2】该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【解析】由，得，则， 设，则由题意得， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 题型突破·考法探究 【典例4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知为椭圆上一点，若的右焦点的坐标为，点满足，，若的最小值为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，∵，∴， 又∵，∴，即，， ∴， ∴当点为椭圆的右顶点时，取最小值，， 此时的最小值， 解得（舍）或，∴， ∴椭圆的方程为.故选：B. 题型四：椭圆上两点距离的最值问题 题型突破·考法探究 【典例4-2】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以，故选：C.   题型四：椭圆上两点距离的最值问题 【方法技巧】 利用几何意义进行转化. 题型突破·考法探究 【变式4-1】如果点P是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，那么的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 10 2 【解析】由椭圆方程可得，，则. 则当点位于右端点时，； 当点位于左端点时，. 故答案为：10；2 题型四：椭圆上两点距离的最值问题 题型突破·考法探究 【典例5-1】已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【解析】作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得， 由两点间距离公式得， 故，C正确， 故选：C 题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 题型突破·考法探究 【典例5-2】已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【解析】若为椭圆左焦点且，则，故， 所以， 而，所以，仅当共线时取等号， 综上，的最小值为，取值条件为共线且在之间. 故选：B  【方法技巧】 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 题型突破·考法探究 【变式5-1】设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 题型突破·考法探究 【变式5-2】已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【解析】由题意，设椭圆的右焦点为，连接， 则， 如图：当点P在位置M时，取到最大值， 当点P在位置N时，取到最小值， 所以的取值范围是，即， 所以的最大值，最小值， 所以. 故选：C. 题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 题型突破·考法探究 【典例6-1】（2024·高三·江苏南京·开学考试）已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则， 故是等腰直角三角形，因此， 则，可得，， 又，则， 题型六：离心率的值及取值范围 题型突破·考法探究 【典例6-1】（2024·高三·江苏南京·开学考试）已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：A. 题型六：离心率的值及取值范围 方向1：利用椭圆定义去转换 题型突破·考法探究 【典例6-2】椭圆与双曲线有公共的焦点、，与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率的范围是，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，设双曲线的实轴长为， 因为与在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形， 则，由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得，所以，则， 设椭圆和双曲线的离心率分别为、，则，即， 因为，则，故.故选：B. 题型六：离心率的值及取值范围 方向1：利用椭圆定义去转换 题型突破·考法探究 【典例7-1】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意， 在中，，则， 即， 整理得， 所以的离心率. 故选：D. 题型六：离心率的值及取值范围 方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式 题型突破·考法探究 【典例7-2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，， 当分别位于的左、右顶点时，有最大值， 又因为不重合，所以，即， 解得， 所以的离心率的取值范围为． 故选：C． 题型六：离心率的值及取值范围 方向2：利用a与c建立一次二次方程不等式 题型突破·考法探究 【典例8-1】（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为， ， 点的轨迹是以原点为圆心，半焦距为半径的圆， 又点总在椭圆内部， 该圆内含于椭圆，即，， ，． 故选：A． 题型六：离心率的值及取值范围 方向3：利用最大顶角满足 题型突破·考法探究 【典例8-2】设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______． 【答案】 【解析】设点，易知，， 则， 故点的轨迹为圆， 由题意可知，圆与椭圆相交， 由图可知，即，可得，又因为，故． 故答案为：． 题型六：离心率的值及取值范围 方向3：利用最大顶角满足 题型突破·考法探究 【变式8-1】已知，分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点使得（，是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________. 【答案】 【解析】根据椭圆的几何意义可知 椭圆的离心率最小值为 根据椭圆离心率的取值范围可知 故答案为： 题型六：离心率的值及取值范围 方向3：利用最大顶角满足 题型突破·考法探究 【典例9-1】焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的标准方程为， 不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设）， 联立，则，解得：，， 所以矩形的面积为：， 当且仅当时取等， 因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是， 题型六：离心率的值及取值范围 方向4：坐标法 题型突破·考法探究 【典例9-1】焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 所以，则，即， ，即， 解得：，即. 故选：C. 题型六：离心率的值及取值范围 方向4：坐标法 题型突破·考法探究 【典例9-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，以为圆心的圆交轴正半轴于点，交轴于两点，线段与交于点.若的面积为（为椭圆的半焦距），则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，，所以圆的方程为， 令，则，由图可知， 令，则或，所以. 设点，因为的面积为， 所以，解得， 又因为直线的方程为，因为点在直线上， 所以令，得，所以， 题型六：离心率的值及取值范围 方向4：坐标法 题型突破·考法探究 【典例9-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，以为圆心的圆交轴正半轴于点，交轴于两点，线段与交于点.若的面积为（为椭圆的半焦距），则的离心率为（    ） A． B． C． D． 因为点在椭圆上，所以， 即， 所以， 化简得， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故选：C. 题型六：离心率的值及取值范围 方向4：坐标法 题型突破·考法探究 【典例10-1】（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】我们首先来证明一个引理：若，则， 证明如下：设，则由余弦定理有 ， 即， 所以， 所以，从而引理得证； 题型六：离心率的值及取值范围 方向5：找几何关系，利用余弦定理 题型突破·考法探究 【典例10-1】（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 根据题意可得， ，解得， 因为，所以，解得， 由，，可得三角形为等边三角形， 所以，所以， 所以，所以是的中点， 所以，所以，即，所以.故选：C. 题型六：离心率的值及取值范围 方向5：找几何关系，利用余弦定理 题型突破·考法探究 【典例10-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知为椭圆上一点，分别为其左、右焦点，为坐标原点，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，显然点不在x轴上，， 则， 由余弦定理得， 因此，而， 于是，整理得，则， 所以的离心率为.故选：C 题型六：离心率的值及取值范围 方向5：找几何关系，利用余弦定理 题型突破·考法探究 【典例11-1】已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意及正弦定理得：， 令，则，，可得， 所以椭圆的离心率为：. 故选：B 题型六：离心率的值及取值范围 方向6：找几何关系，利用正弦定理 题型突破·考法探究 【典例11-2】已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为(　　) A．(0，－1) B． C． D．(－1,1) 【答案】D 【解析】由正弦定理可得：,结合题意可得， 所以，根据椭圆的定义可得， 所以，，易知. 因为为椭圆上一点，所以，即， 整理得，所以，解得.故选D. 题型六：离心率的值及取值范围 方向6：找几何关系，利用正弦定理 题型突破·考法探究 【变式11-1】过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理可得 所以， 所以该椭圆的离心率， 故选：C． 题型六：离心率的值及取值范围 方向6：找几何关系，利用正弦定理 题型突破·考法探究 【典例12-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，点为椭圆上的一点， 由椭圆的定义，可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 又，所以，可得， 因为，可得， 则，其中， 当或时，， 又，所以，可得，则， 所以椭圆的离心率为.故选：C. 题型六：离心率的值及取值范围 方向7：利用基本不等式 题型突破·考法探究 【典例12-2】设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，即，所以四边形为矩形，， 设，，在直角中，，， 得，所以，令，得， 又，得，所以， 所以 ，即，所以 所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：B 题型六：离心率的值及取值范围 方向7：利用基本不等式 题型突破·考法探究 【典例13-1】在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________． 【答案】 【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得， 解得，， 由题意可得，解得，又，所以， 所以椭圆离心率的取值范围是． 题型六：离心率的值及取值范围 方向8：利用焦半径的取值范围为 题型突破·考法探究 【典例13-2】（2024·广西南宁·二模（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】设点的横坐标为，， 则由椭圆的定义可得， ，由题意可得， ， ，， 则该椭圆的离心率的取值范围是，， 题型六：离心率的值及取值范围 方向8：利用焦半径的取值范围为 题型突破·考法探究 【典例14-1】已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】由题可知，，设， 由点P在椭圆上，得， 所以， 可得， 所以． 题型六：离心率的值及取值范围 方向9：利用椭圆第三定义 题型突破·考法探究 【典例14-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称，所以且， 由题意知：，两式相减得：， 即，又， 由椭圆的离心率的取值范围是，即， 所以，即，故选：D. 题型六：离心率的值及取值范围 方向9：利用椭圆第三定义 题型突破·考法探究 【典例15-1】（多选题）（2024·高三·广西南宁·开学考试）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（    ） A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8 C．椭圆C的离心率为 D．的面积为 【答案】ABD 【解析】由题意可知，，， 故为等边三角形，则，， 又，所以，，，所以焦距，A正确； 离心率，C错误； 由椭圆定义可知，的周长，B正确． 设，则，又， 由余弦定理可得， 所以，D正确，故选：ABD． 题型七：椭圆的简单几何性质问题 题型突破·考法探究 【典例15-2】（多选题）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【解析】椭圆，则 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立， 故D正确．故选：BD．   题型七：椭圆的简单几何性质问题 题型突破·考法探究 【变式15-1】（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（    ） A．C的离心率为 B． C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解析】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 题型七：椭圆的简单几何性质问题 题型突破·考法探究 【典例16-1】动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】因为动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数， 所以，即， 整理可得：，即， 故答案为：. 题型八：利用第一定义求解轨迹 题型突破·考法探究 【典例16-2】 中，，，AC，AB边上的两条中线之和为39，则的重心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】根据题意，设的重心为，因为，边上的两条中线之和为39，所以，根据椭圆定义可知，点轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，因此的重心的轨迹方程为. 故答案为：.  【方法技巧】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 题型八：利用第一定义求解轨迹 题型突破·考法探究 【变式16-1】已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】连接，由题意，， 则， 由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2， 故短半轴长为1，故轨迹方程为：. 故答案为：. 题型八：利用第一定义求解轨迹 题型突破·考法探究 【变式16-2】一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，， 所以，所以圆心的轨迹为椭圆. 其中，，故， 因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：. 故答案为：. 题型八：利用第一定义求解轨迹 题型突破·考法探究 【典例17-1】（2024·全国·模拟预测）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为， 设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为， 依题意，，整理得，即， 而，解得， 此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为. 故选：C 题型九：椭圆的实际应用 题型突破·考法探究 【典例17-2】开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的焦距为，长轴长为， 则由已知可得， 两式相加可得，两式相减可得， 则，， 所以离心率.故选：A.  【方法技巧】 椭圆在实际应用中极为广泛，体现在建筑、产品设计、物理学、工程学及计算机科学等多个领域。例如，在建筑中，椭圆形设计用于体育场馆和会展中心等，增强视觉效果与空间利用率；在物理学中，椭圆轨道描述行星绕太阳的运动路径；在密码学中，椭圆曲线密码保障互联网数据安全；在图形图像处理中，椭圆拟合技术助力物体轮廓检测。椭圆的应用多样且重要，展现了其在现代科技中的核心价值。 题型九：椭圆的实际应用 题型突破·考法探究 【变式17-1】（2024·河北·一模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】在中， 令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为， 由室内地面是面积为的圆，故，①对； 且，则，又不全相等，故，②错； 若，则，可得，与不全相等矛盾，③错； 若，则，故，④对. 故选：B. 题型九：椭圆的实际应用 题型突破·考法探究 04 真题练习·命题洞见 02 A B B A 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（2023年高考全国甲卷数学真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．（2023年高考全国甲卷数学真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 66 05 课本典例·高考素材 1．已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得： （1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 【解析】设椭圆上点， 则点到直线距离 ，其中， （1）当时，， 此时，即， 所以，， 所以存在点到直线距离最小，最小值为； （2）当时，， 此时，即， 所以，， 所以存在点到直线距离最大，最大值为； 68 2．如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上． 【解析】由题得，，所以， 所以直线的方程为，（1） 由题得，所以， 所以直线的方程为，（2） 联立方程（1）（2）解之得 所以直线的交点为， 代入椭圆方程得， 所以直线的交点在椭圆上． 同理ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上． 69 3．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 【解析】设动圆圆心为，半径为， 设圆和圆的圆心分别为、， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有 …① 当动圆与圆相内切时，有…② 将①②两式相加，得， ∴动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为； ∴， ∴ ∴ ∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆． 70 4．如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【解析】设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点P在圆上运动， ， 即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点． 71 06 易错分析·答题模板 02 易错点：椭圆焦点位置考虑不周全 易错分析：考虑椭圆焦点位置时，易错点在于未全面分析椭圆的长短轴与坐标轴的关系．若仅依据直观判断，可能误设焦点位置，导致后续计算错误．因此，应准确判断椭圆的长轴、短轴与x、y轴的相对位置，再确定焦点坐标，避免误判． 【易错题1】已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，焦距等于，离心率等于，则此椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【易错题2】已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 C B 02 答题模板：求椭圆的标准方程 1、模板解决思路 求椭圆的标准方程一般“先定型，再定量”，即先确定焦点是在x 轴上还是在y轴上，再设出相应的标准方程，由已知条件确定的值． 2、模板解决步骤 第一步：根据条件判断椭圆的焦点位置，设出椭圆的方程． 第二步：根据已知条件建立方程，求出待定系数． 第三步：写出椭圆的方程． 【典型例题1】中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 【典型例题2】已知是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且．若坐标原点到直线的距离为3，则椭圆的标准 方程为 ． 感谢观看 THANK YOU  ＋＝1(a>b>0)  ＋＝1(a>b>0) e＝(0<e<1) $$