第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（九大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

一轮复习讲练测 2025年高考数学 第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 CONTENTS 考情透视·目标导航 01 知识导图·思维引航 02 考点突破·题型探究 03 真题练习·命题洞见 04 05 06 课本典例·高考素材 易错分析·答题模板 01 考情透视·目标导航 考点要求 考题统计 考情分析 （1）直线与圆的位置关系 （2）圆与圆的位置关系 2024年甲卷（文）第12题，5分 2023年乙卷（理）第12题，5分 2023年I卷第6题，5分 2023年II卷第15题，5分 2022年I卷第14题，5分 高考对直线与圆、圆与圆的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，但命题形式上比较灵活，备考时应熟练掌握相关题型与方法，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断外，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题． 复习目标： （1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． （2）能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 4 02 知识导图·思维引航 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 03 考点突破·题型探究 知识梳理·基础回归 知识点1：直线与圆的位置关系   相离 相切 相交 图形       量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0 几何观点 d r d r d r < > ＝ ＝ > < 8 知识梳理·基础回归 知识点2：圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 9 知识梳理·基础回归 解题方法总结 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 10 【典例1-1】（2024·安徽·模拟预测）已知直线， 圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【解析】因为直线，即， 当时，，解得， 所以直线表示过定点，且除去的直线， 将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上， 所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意， 所以直线与圆相交． 故选：C． 题型一：直线与圆的位置关系的判断 题型突破·考法探究 【典例1-2】已知集合，，则的子集个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【解析】集合表示直线上点的集合，集合表示圆上点的集合． 圆的圆心坐标为，半径为3， 点到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 所以共有2个元素，所以的子集个数为． 故选：C．   题型一：直线与圆的位置关系的判断 【方法技巧】 判断直线与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d与r的关系． （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断． （3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 题型突破·考法探究 【变式1-1】已知圆经过三点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交且直线不过圆心 【答案】D 【解析】设圆的一般方程为，， 则，解得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为． 所以直线与圆相交且直线l不过圆心． 故选：D． 题型一：直线与圆的位置关系的判断 题型突破·考法探究 【典例2-1】（2024·江西上饶·模拟预测）直线被 圆截得最大弦长为 ． 【答案】 【解析】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，解得， 所以弦长为，因为， 所以，所以弦长， 当即时，弦长有最大值． 故答案为：． 题型二：弦长与面积问题 题型突破·考法探究 【典例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中， 已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 【答案】 【解析】由圆，即， 可得圆心坐标为，半径为， 因为钝角的面积为，可得， 解得，因为，所以， 可得， 设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得， 根据点到直线的距离公式，解得． 题型二：弦长与面积问题 题型突破·考法探究 【变式2-1】（2024·高三·北京·开学考试）直线被 圆所截得的弦长为 ． 【答案】 【解析】化为标准方程得， 则圆心为，半径， 显然直线过圆心，则所截得弦为直径，其长为． 故答案为： 题型二：弦长与面积问题 题型突破·考法探究 【变式2-2】（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与 圆C：相交于A，B两点，且，则实数 ． 【答案】 【解析】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：． 故答案为：． 题型二：弦长与面积问题 题型突破·考法探究 【典例3-1】圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为圆的圆心为，， 易知点在圆上，又，所以切线的斜率为， 故切线方程为，即． 故答案为：． 题型三：切线问题、切线长问题 题型突破·考法探究 【典例3-2】已知圆C：，过直线上点P引圆C的切线，切点为A，B，则当△ABC的面积最大时，点P的坐标为 ． 【答案】或 【解析】由题，所以时，最大， 由于PA，PB与圆相切，所以四边形PACB是正方形，此时， 又点P在直线上，所以设点，则， 解得或，所以点P的坐标为或． 故答案为：或． 题型三：切线问题、切线长问题 题型突破·考法探究 【变式3-1】（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 【答案】 1 【解析】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切， 则一定在圆上，可得， 解得（其它根舍去），故，而易知圆心为，半径为， 又直线斜率为，设该直线的斜率为， 显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为， 化简得直线方程为， 故答案为：1； 题型三：切线问题、切线长问题 题型突破·考法探究 【典例4-1】已知点P是直线上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 ． 【答案】1 【解析】设，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为， 则在以为直径的圆上，该圆的方程为， 将和相减得：， 即得到直线的方程为， 又因为点P是直线，故， 则直线的方程为，即， 当且，即，时该方程恒成立，所以直线AB过定点， 当Q与M的连线垂直于直线AB时，点Q到直线AB的距离最大， 此时最大值即为Q，M之间的距离，而， 即点到直线AB的距离的最大值为1， 题型四：切点弦问题 题型突破·考法探究 【典例4-2】（2024·高三·黑龙江牡丹江·期中）过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】圆配方可得， 其圆心为，半径， 过原点作圆的两条切线，切点分别为， 则， 又点在圆上， 则直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 两圆方程相减可得，即直线的方程为．  【方法技巧】 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． 题型四：切点弦问题 题型突破·考法探究 【变式4-1】（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆，过直线上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为两点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意得，圆的圆心为，半径为， 如图所示， 根据圆的切线长公式，可得， 则， 当取最小值时，取最小值，此时，则， 则． 题型四：切点弦问题 题型突破·考法探究 【变式4-2】（2024·重庆·统考模拟预测）若圆关于直线 对称，动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、，则直线恒过定点，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：圆的圆心在直线上， 即有 ， 设点 ，则 ， 故以为直径的圆的方程为： ， 将和相减， 即可得直线的方程，即 ， 则直线恒过定点，故选：C 题型四：切点弦问题 题型突破·考法探究 【典例5-1】（2024·广东·一模）已知直线与直线相交于点M，若恰有3个不同的点M到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，即过定点， 由可得，即过定点， 又，所以的轨迹是以为直径的圆（不含点）， 其中圆心为，半径为， 所以圆上恰有3个不同的点M到直线的距离为1， 只需圆心到直线的距离等于1，即，解得， 此时 到直线的距离不为1，故符合．故选：B 题型五：圆上的点到直线距离个数问题 题型突破·考法探究 【典例5-2】若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行， 且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为， 又圆上有4个点到直线的距离为1， 两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交． 由此可得圆的半径， 即，实数的取值范围是．故选：．  【方法技巧】 临界法 题型五：圆上的点到直线距离个数问题 题型突破·考法探究 【变式5-1】已知圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则实数的值为 A．或 B． C． D．或 【答案】D 【解析】 由圆的方程，可得圆的圆心为原点，半径为， 若圆上恰有个点到直线的距离等于，因为半径为， 则到直线：的距离等于， 直线的一般方程为：， ，解得，故选D． 题型五：圆上的点到直线距离个数问题 题型突破·考法探究 【变式5-2】（2024·江苏南京·模拟预测）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆C：的圆心，半径R 点C到直线的距离为 圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则 故选：B 题型五：圆上的点到直线距离个数问题 题型突破·考法探究 【典例6-1】（2024·江西·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】由题意知点在曲线上， 则圆心到直线的距离， 即， 又， 所以的最小值2．故选：B． 题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 题型突破·考法探究 【典例6-2】（2024·河南·三模）已知为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设线段的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为，所以， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为． 所以． 故选：A．  【方法技巧】 直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题． 题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 题型突破·考法探究 【变式6-1】直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【解析】直线过定点，直线过定点， 且直线与直线垂直， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径， 其方程为． 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为： 题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题 题型突破·考法探究 【典例7-1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 题型七：圆与圆的位置关系 题型突破·考法探究 【典例7-2】（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【解析】圆：，所以圆心，半径为． 由点到直线距离公式得：，且，所以． 又圆的圆心，半径为：1． 所以，． 由，所以两圆内含． 故选：D 题型七：圆与圆的位置关系 【方法技巧】 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 题型突破·考法探究 【变式7-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，则，， 所以， 所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3． 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得， 即的取值范围是．故选：A． 题型七：圆与圆的位置关系 题型突破·考法探究 【典例8-1】（2024·湖南衡阳·三模）已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 ． 【答案】 【解析】由圆与轴相切于点，可设圆的方程为， 由，则，所以圆的方程为， 圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程． 故答案为： 题型八：两圆的公共弦问题 题型突破·考法探究 【典例8-2】（2024·四川·模拟预测）圆与圆的公共弦长为 ． 【答案】 【解析】将两个圆的方程作差得：，即公共弦所在的直线为， 又知，，则到直线的的距离为： ，所以公共弦长为， 故答案为：．   【方法技巧】 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 题型八：两圆的公共弦问题 题型突破·考法探究 【变式8-1】圆与圆的公共弦所在直线被圆：所截得的弦长为 ． 【答案】 【解析】圆与圆的两方程作差得 ， 即公共弦所在直线方程为， 又圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 则圆被直线所截得的弦长为． 题型八：两圆的公共弦问题 题型突破·考法探究 【变式8-2】已知圆与圆相交于两点，则 ． 【答案】2 【解析】由题意可知两圆公共弦所在的直线方程为， 如下图所示： 所以点到直线的距离为， 又易知，所以向量在向量方向上的投影为， 所以，同理可得， 所以． 故答案为： 题型八：两圆的公共弦问题 题型突破·考法探究 【变式8-3】已知以1为半径的圆的圆心在轴上，以2为半径的圆的圆心在轴上，且两圆公共弦所在直线为，则这两个圆的公共弦长为 ． 【答案】 【解析】设两圆方程分别为、， 即、， 两式相减为：， 则有，解得或， 此时圆A的圆心为或，关于原点对称， 可知圆心A到直线的距离均为 由圆的弦长公式，则. 题型八：两圆的公共弦问题 题型突破·考法探究 【典例9-1】（2024·高三·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为，所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，，所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即．故选：A． 题型九：两圆的公切线问题 题型突破·考法探究 【典例9-2】圆和圆的公切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2． 两圆的圆心距为，所以两圆外切， 故两圆的公切线的条数为3，故C正确． 故选：C   题型九：两圆的公切线问题 【方法技巧】 待定系数法 题型突破·考法探究 【变式9-1】（2024·河北石家庄·三模）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心，半径， 则， 故两圆外切，则两圆公切线的条数为． 故选：C． 题型九：两圆的公切线问题 题型突破·考法探究 04 真题练习·命题洞见 稿定PPT 稿定PPT，海量素材持续更新，上千款模板选择总有一款适合你 02 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与 圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项， 直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． C C C B 44 05 课本典例·高考素材 1．已知，，三点，点P在圆上运动，求的最大值和最小值． 【解析】设，因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取的最大值88， 当时，取的最小值72． 46 2．已知点和以点Q为圆心的圆． （1）画出以为直径，点为圆心的圆，再求出圆的方程； （2）设圆Q与圆相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？ （3）求直线AB的方程． 【解析】（1）易知，所以PQ的中点， 又因为 ，圆的半径为， 所以圆的方程为．作图如下： （2）因为PQ为直径，在圆Q上，所以， 所以直线PA，PB是圆Q的切线． （3） 圆的方程可化为， 圆Q的方程可化为， 两圆方程相减，得， 所以直线AB的方程为． 47 3．如图，圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦． （1）当时，求AB的长． （2）是否存在弦AB被点平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）依题意，直线AB的斜率为，又直线AB过点， 所以直线AB的方程为：， 圆心到直线AB的距离为，则，所以； （2）当弦被点平分时，AB与垂直， 因为，所以，直线AB的点斜式方程为 即． 48 4．已知圆，直线，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ 【解析】因为圆的方程为，所以圆心为，半径为 因为圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1， 所以只需要圆心到直线的距离为即可满足条件， 直线的一般式方程为：， 所以圆心到直线的距离为：，解得， 故当时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1． 49 06 易错分析·答题模板 02 易错点：求与圆的切线有关的问题 易错分析： 求过某点的圆的切线问题时，应先确定点与圆的位置关系，再确定方程．若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条．此时应注意斜率不存在的情况． 【易错题1】写出一个过点且与圆相切的直线方程 ． 【易错题2】已知圆，直线过点且与圆相切，若直线与两坐标轴交点分别为、，则 ． 02 答题模板：已知直线与圆、圆与圆的位置关系求参数 1、模板解决思路 对于直线与圆，利用点到直线距离公式及圆心到直线距离与半径关系判断位置；对于圆与圆，利用圆心距与两圆半径之和、之差的关系判断位置．结合这些位置关系，可以设立方程或不等式求解未知参数． 2、模板解决步骤 第一步：根据直线与圆的距离公式或圆与圆的圆心距公式，建立与位置关系对应的方程或不等式； 第二步：解这个方程或不等式，得到参数的取值范围或具体值； 第三步：验证解的正确性． 【典型例题1】已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（    ） A．－1 B．1 C．0 D．2 B C 感谢观看 THANK YOU $$