精品解析：辽宁省沈阳市第一二六中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题

2022-2023学年度（下）5月阶段作业反馈 八年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（共10小题，共20分） 1. 下图是某校艺术节徽标征集活动4件入围作品，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果a＞b，那么下列各式中一定正确是（　　） A. a﹣3＜b﹣3 B. am＞bm C. D. 3. 无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　） A. B. C. D. 4. 一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 6. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB于F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（ ） A. B. C. 4 D. 6 9. 如图中，，，，为中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ） A. 4.8 B. 2.4 C. 6 D. 5 10. 如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB＝AC＝10，BC＝12，且PD：PE：PF＝1：3：3，则AP的长为（　　） A. B. C. 7 D. 8 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 将因式分解为________． 12. 计算：_______． 13. 已知a，b，c是的三边，，则的形状是 ___． 14. 已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为______． 15. 如图，M为钝角中边的中点，经过M的直线将分成了周长相等的两部分，已知，，则___________． 16. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，为直线上的一个动点，，则的最小值为 ______． 三、解答题.（第17，18，19，20，21，22题各8分，第23题10分，第.24，25各12分，共82分） 17. （1）解不等式： （2）解不等式组： 18. 分解因式： （1） （2） 19 先化简，再求值：，其中 20. 如图，已知，，点A、E、F、C在同一直线上且．求证：四边形是平行四边形． 21. 作图题. 在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，的位置如图所示，解答下列问题： （1）将先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到，画出平移后的. （2）直接写出的面积. （3）在轴上有一动点，直接写出当最大时，点的坐标为________. 22. 一二六中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，已知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元． （1）求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？ （2）甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元．妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ 23. 一次函数的图象经过点、，且和一次函数的图象交于点C，如图所示． （1）填空：不等式的解集是　　 （2）若不等式解集是，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，点P是直线上一动点．且在点C上方，当时，求点P的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，选取轴上一点，建立平行四边形，与轴交于点，已知． （1）如图1，求的长； （2）如图2，为的角平分线，分别交轴、于点、，，点为平行四边形边上一动点，从点出发，以2个单位长度/秒的速度，沿运动，到达点停止运动．设的面积为，运动时间为，求与的函数关系式． （3）如图3，在（2）的条件下，在点运动的同时，绕点以每秒的速度逆时针转动，秒后的边与垂直，直接写出值． 25. 定义：若两个等腰三角形顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形”，这两个角的顶点互为“友好点”． （1）已知与互为"友好三角形"，点和点互为“友好点”，且中有一个内角为，则________． （2）已知，在平面直角坐标系中，点，，点为角平分线上一动点，点为轴上一动点，连接，，． ①如图1，，求证：与互为“友好三角形”；（提示：由点向两坐标轴作垂线） ②在①的条件下，若点的坐标为，求点的坐标： （3）在（2）的条件下，动点、同时从点出发向左运动，当点与点重合时动点、同时停止运动．点的速度为每秒4个单位，点的速度为每秒2个单位，以为边在轴的上方作正方形，当一条边的垂直平分线成为正方形对称轴时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年度（下）5月阶段作业反馈 八年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（共10小题，共20分） 1. 下图是某校艺术节徽标征集活动4件入围作品，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心. 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意，故此选项正确； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误. 故选：A. 【点睛】此题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合. 2. 如果a＞b，那么下列各式中一定正确的是（　　） A. a﹣3＜b﹣3 B. am＞bm C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向，所以，则此项错误，不符合题意； B、只有当时，才成立，则此项错误，不符合题意； C、因为，不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向，所以一定正确，则此项符合题意； D、不等式的两边同除以一个正数，不改变不等号的方向，所以，再根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向得，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 3. 无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，分式没有意义．故本选项不合题意； B．当时，分式没有意义．故本选项不合题意； C．当时，分式没有意义．故本选项不合题意； D．因为，所以，所以分式总有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 4. 一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式即可求解． 【详解】解： 不等式两边同时乘以得，， 移项得，，含有“”符号，用实心点表示，表示在数轴上，如图所示， 故选：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，掌握解不等式的性质，解一元一次不等式的方法是解题的关键． 5. 一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 【答案】A 【解析】 【分析】多边形的内角和外角性质． 【详解】设此多边形是n边形， ∵多边形的外角和为360°，内角和为（n－2）180°， ∴（n－2）180=360，解得：n=4． ∴这个多边形是四边形． 故选A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，把线段绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点作轴于，根据旋转的性质可得，，根据互余的性质可得，利用可证明，可得，，根据、坐标可得、的长，即可求出、的长，可得答案． 【详解】如图，过点作轴于，   ，， 把线段绕点逆时针旋转后得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， 点坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 7. 如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质推出，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求得． 【详解】解：∵ ，是角平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ 是中线， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟记这两个性质是解决问题的关键． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB于F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是（ ） A B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形中30°角的性质，得到BF=CH=1，根据勾股定理，得到EF=，根据平行四边形的性质，AB=CD=3，ABCD，从而得到DH⊥EF，根据面积公式计算即可． 【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点， 所以AB=CD=3，BC=AD=2BE=2EC=4，ABCD， 因为EF⊥AB， 所以EF⊥CD， 所以∠BFE=∠CHE=90°，∠BEF=∠CEH， 所以△BEF≌△CEH， 所以BF=CH， 因为AB=3，AD=4，∠ABC=60°， 所以∠BEF=30°， 所以BF=CH=1，根据勾股定理，得到EF=，DH=DC+CH=4， 所以△DEF的面积是， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 9. 如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ） A. 4.8 B. 2.4 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，过B作于F，交于E，则的长即为的最小值，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：过B作于F，交于E，如图， ∵，为的中线， ∴，， ∴的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 10. 如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB＝AC＝10，BC＝12，且PD：PE：PF＝1：3：3，则AP的长为（　　） A. B. C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接AP，根据角平分线的判定定理得到点P在∠A的平分线上，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，，BD=DC，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：连接：AP， ∵PD：PE：PF＝1：3：3， ∴PE=PF， ∵PE⊥AC，PF⊥AB， ∴点P在∠A的平分线上， ∵AB＝AC， ∴AP⊥BC， ∵PD⊥BC， ∴AD⊥BC， ∵BC＝12， ∴BD=CD=BC=6， 在 中，AB＝AC＝10， 由勾股定理得 ， 设PD、PE、PF分别为x、3x、3x， ∵ ， 即 ， 解得： ， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、角平分线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 将因式分解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式， 先提公因式3，再利用平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 13. 已知a，b，c是的三边，，则的形状是 ___． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】把给出的式子两边加上，分解因式，分析得出，才能说明这个三角形是等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ∴， 所以此三角形是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了学生对等腰三角形判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，配方法的应用是解题关键． 14. 已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组，根据有解但没有整数解确定a的取值范围． 【详解】解：由，得， 则不等式组的解集为． ∵该不等式组有解但没有整数解， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查根据不等式组的解集求参数的取值范围，正确解不等式组是解题的关键． 15. 如图，M为钝角中边的中点，经过M的直线将分成了周长相等的两部分，已知，，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】延长到点D，使，连结，先证明是等边三角形，则，再根据将周长分成相等的两部分且点M是的中点，证得点N是的中点，再根据三角形的中位线定理求出的长即可． 【详解】解：如图，延长到点D，使，连结， ， ， 是等边三角形， ， 将分成周长相等的两部分， ， 为边的中点， ， ， ， ， 是的中位线 ， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线构造等边三角形并且得到三角形的中位线是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，为直线上的一个动点，，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】依据一次函数的图像特征画出草图，记点关于直线的对称点为，则的最小值即为的长度，设，联立直线 与，并根据求得点的坐标，进而求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意，画出草图，如图所示： 记点关于直线的对称点为，则的最小值即为的长度， 设，联立直线 与可得， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即点的横坐标小于等于2， 的值最小， 就要使点离直线最近， ， ， ， 直线的表达式为：， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据题意画出草图，并找出点关于直线的对称点是解决本题的关键． 三、解答题.（第17，18，19，20，21，22题各8分，第23题10分，第.24，25各12分，共82分） 17. （1）解不等式： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组， （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解不等式即可； （2）求出每个不等式的解集，取公共部分即可． 【详解】（1）， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 18. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、完全平方公式、平方差公式是解题的关键． （1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）利用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 小问2详解】 ． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= = 当时，原式==． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 如图，已知，，点A、E、F、C在同一直线上且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，，证明，则，进而结论得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 21. 作图题. 在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，的位置如图所示，解答下列问题： （1）将先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到，画出平移后的. （2）直接写出的面积. （3）在轴上有一动点，直接写出当最大时，点的坐标为________. 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、轴对称最短路线问题，一次函数的综合应用 （1）根据平移的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）作点关于轴的对称点，连接并延长，交轴于点，此时最大，利用待定系数法求出直线的解析式，再令求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，△即为所求 【小问2详解】 解：的面积为． 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接并延长，交轴于点，此时最大． 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为． 故答案为：． 22. 一二六中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，已知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元． （1）求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？ （2）甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元．妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）甲类圆珠笔每盒进价是15元，乙类圆珠笔每盒进价是10元 （2）当甲类圆珠笔为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的性质， （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）首先根据题意列出一元一次不等式方程组，结合利润公式列出一元一次函数，根据函数的性质求得最大值． 【小问1详解】 解：设甲类圆珠笔每盒进价是元，乙类圆珠笔每盒进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲类圆珠笔每盒进价是15元，乙类圆珠笔每盒进价是10元； 【小问2详解】 解：设购进甲类圆珠笔盒，则购进乙类圆珠笔盒， 根据题意得：， 解得：． 设购进的甲、乙两类圆珠笔全部售出后获得的总利润为元，则 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． 答：当甲类圆珠笔为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元． 23. 一次函数的图象经过点、，且和一次函数的图象交于点C，如图所示． （1）填空：不等式的解集是　　 （2）若不等式的解集是，求点C的坐标； （3）在（2）条件下，点P是直线上一动点．且在点C上方，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象及题意可直接进行求解； （2）由题意可知点C的横坐标为1，直线的解析式为，然后可得点坐标； （3）过点P作轴于点H，由（1）（2）易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由图象及一次函数的图象经过点、，可得：当时，则该不等式的解集为； 故答案为； 【小问2详解】 解：由不等式的解集是可知点C的横坐标为1，由题意得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴； 【小问3详解】 解：过点P作轴于点H，如图所示： 由（2）可知，代入一次函数得：， ∴， ∴一次函数， 把代入一次函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，则有， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、二次根式的运算、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、二次根式的运算、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，选取轴上一点，建立平行四边形，与轴交于点，已知． （1）如图1，求的长； （2）如图2，为的角平分线，分别交轴、于点、，，点为平行四边形边上一动点，从点出发，以2个单位长度/秒的速度，沿运动，到达点停止运动．设的面积为，运动时间为，求与的函数关系式． （3）如图3，在（2）的条件下，在点运动的同时，绕点以每秒的速度逆时针转动，秒后的边与垂直，直接写出值． 【答案】（1） （2） （3）或或或或或或或或或或 【解析】 【分析】（1）过点C作轴于点P，利用勾股定理求解即可； （2）分两种情形：当点P在线段上时，连接，过点O作于点T，利用面积法求出，可得结论．当点P在线段上时，分别求解即可； （3）首先求得，则，且，分两种情况：①当点P在直线上时，，分别求得三角形各线段第一次和第二次垂直；②当点P在直线上时，，结合和，线段垂直时，；线段垂直时，；线段垂直时，，分别求得满足范围的a即可． 小问1详解】 解：如图，过点C作轴于点K， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点P在线段上时，连接，过点O作于点T，如图， ∵， ∴， ∴； 当点P在线段上时， ； 综上所述，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ①当点P在直线上时，， 线段第一次垂直时，， 线段第一次垂直时，， 线段第一次垂直时，， 线段第二次垂直时，， 线段第二次垂直时，， 线段第二次垂直时，， ②当点P在直线上时，， ∵，， 线段垂直时，，当a为2时满足，则； 线段垂直时，，当a为1和2时满足，则和； 线段垂直时，，当a为2和3时满足，则和； 综上所述，t为或或或或或或或或或或． 【点睛】本题主要考查点与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、垂直的定义和解直角三角形，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． 25. 定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形”，这两个角的顶点互为“友好点”． （1）已知与互为"友好三角形"，点和点互为“友好点”，且中有一个内角为，则________． （2）已知，在平面直角坐标系中，点，，点为角平分线上一动点，点为轴上一动点，连接，，． ①如图1，，求证：与互为“友好三角形”；（提示：由点向两坐标轴作垂线） ②在①的条件下，若点的坐标为，求点的坐标： （3）在（2）的条件下，动点、同时从点出发向左运动，当点与点重合时动点、同时停止运动．点的速度为每秒4个单位，点的速度为每秒2个单位，以为边在轴的上方作正方形，当一条边的垂直平分线成为正方形对称轴时，直接写出的值． 【答案】（1）或 （2）①见解析；② （3）或3或2 【解析】 【分析】（1）根据“友好三角形”的定义分当和时，两种情况讨论，即可求解； （2）①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点N、点F，利用证明，据此求解即可； ②根据，求得，，据此求解即可； （3）满足题意的一条边的垂直平分线为，且在x轴上利用t将点Q和点R坐标表示出来，分别找到各自对称轴等量关系并求的对应t值即可． 【小问1详解】 解：∵中有一个内角为，且与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”， 当时， ∴， 当时，则， ∴， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点N、点F，如图， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 与互为“友好三角形”； ②∵点P的坐标为，点，， ∴，， ∴， 所以； 【小问3详解】 解：由题意可知，一条边的垂直平分线为，且在x轴上点Q和点R坐标表示为：和， 当成为正方形对称轴时，，解得； 当成为正方形对称轴时，此时点R与点O重合，解，解得； 当成为正方形对称轴时，，解得； 综上所述，或2或3时，一条边的垂直平分线可成为正方形对称轴． 【点睛】本题主要考查在新定义下的三角形有关知识，涉及等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及对称轴的性质，解题的关键是理解新定义，并熟练利用分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$