22.3 实际问题与二次函数练习题　2024—2025学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数练习题 考试时间：60分钟；总分100分 学校:_________姓名：__________班级：_________ 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（　　） A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2 2．（4分）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　） A．60m2 B．63m2 C．64m2 D．66m2 3．（4分）用长8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A．m2 B．m2 C．m2 D．4m2 4．（4分）某商店销售一种衬衫，已知获利y（单位：元）与销售单价x（单位：元）之间满足关系式y＝﹣x2+24x+2956，则获利最多为（　　） A．2956元 B．3100元 C．3200元 D．3300元 5．（4分）将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（　　） A．5元 B．10元 C．15元 D．20元 6．（4分）“星星书店”出售某种文具盒，若每个可获利x元，一天可售出（8﹣x）个．当一天出售该种文具盒的总利润y最大时，x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 7．（4分）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设每间羊圈的一边长为x（m），三间羊圈的总面积s（m2），则s关于x的函数关系式是 　 　，x的取值范围 　 　，当x＝　 　时，s最大． （7题） （8题） （9题） 8．（4分）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　 　米． 9．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P和点Q分别为AB边和BC边上的动点且满足AP＝2BQ，则当△PBQ的面积最大时，AP的值为 　 　． 10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 　 　.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 　 　． 11．（4分）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量y（瓶）与每瓶销售价x（元）之间满足函数关系式y＝1360﹣80x．当销售价格定为每瓶 　 　元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）． 12．（4分）某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为 　 　元． 三．解答题（共4小题，满分52分，每小题13分） 13．（13分）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？ （3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 14．（13分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2． （1）若花园的面积为192m2，求x的值； （2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？ （3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式． 15．（13分）铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ （3）该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 16．（13分）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求这条抛物线的解析式； （3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 参考答案 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1． A．2． C．3． C．4． B．5． A．6． D． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 7．（4分）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设每间羊圈的一边长为x（m），三间羊圈的总面积s（m2），则s关于x的函数关系式是 　s＝﹣4x2+24x　，x的取值范围 　0＜x＜6　，当x＝　3　时，s最大． 8．（4分）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　0.5　米． 9．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点P和点Q分别为AB边和BC边上的动点且满足AP＝2BQ，则当△PBQ的面积最大时，AP的值为 　4　． 10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 　1.2　.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 　3≤S≤4　． 11．（4分）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，日均销售量y（瓶）与每瓶销售价x（元）之间满足函数关系式y＝1360﹣80x．当销售价格定为每瓶 　13　元时，所得日均毛利润最大（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）． 12．（4分）某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为 　6　元． 解：设销售单价x元，商场每天获得的利润为W元，则 三．解答题（共4小题，满分52分，每小题13分） 13．（13分）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？ （3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，AE＝DH＝x，BE＝AH＝4﹣x，∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，∵∠AEH+∠AHE＝90°， ∴∠AHE+∠DHG＝90°， ∴∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH是正方形， ∴y＝AE2+AH2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16； （2）当y＝10时，即2x2﹣8x+16＝10， 解得x＝1或x＝3， 答：当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10； （3）∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8， ∵2＞0， ∴y有最小值，最小值为8． 即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8． 14．（13分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2． （1）若花园的面积为192m2，求x的值； （2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？ （3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式． 解：（1）依题意得 S＝x（28﹣x）， 当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192， 即x2﹣28x+192＝0， 解得：x1＝12，x2＝16， 答：花园的面积为192m2，x的值为12m或16m； （2）由题意可得出： S＝x（28﹣x） ＝﹣x2+28x ＝﹣（x﹣14）2+196， 答：x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2； （3）依题意得： ， 解得：6≤x≤28﹣a， S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196， ∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大， 又6≤x≤28﹣a， ∴当x＝28﹣a时，函数有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196． 15．（13分）铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ （3）该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b， 把（2，120）和（4，140）代入得，， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝10x+100； （2）根据题意得，（60﹣40﹣x）（10x+100）＝2090， 解得：x＝1或x＝9， ∵为了让顾客得到更大的实惠， ∴x＝9， 答：这种干果每千克应降价9元； （3）该干果每千克降价x元时，商贸公司获利最大，最大利润是w元， 根据题意得，w＝（60﹣40﹣x）（10x+100）＝﹣10x2+100x+2000， ∴w＝﹣10（x﹣5）2+2250， 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 16．（13分）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求这条抛物线的解析式； （3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 解：（1）M（12，0），P（6，6）．（2分） （2）设抛物线解析式为： y＝a（x﹣6）2+6 （3分） ∵抛物线y＝a（x﹣6）2+6经过点（0，0） ∴0＝a（0﹣6）2+6，即a＝﹣（4分） ∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+6，即y＝﹣x2+2x．（5分） （3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣m2+2m） D（m，﹣m2+2m）．（6分） ∴“支撑架”总长AD+DC+CB＝（﹣m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣m2+2m） ＝﹣m2+2m+12 ＝﹣（m﹣3）2+15．（8分） ∵此二次函数的图象开口向下． ∴当m＝3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．（9分） 学科网（北京）股份有限公司 $$