四川省新高考联盟校级2024-2025学年高三九月适应考数学试题

高三数学试题 第 1 页 （共 4页） 高三数学试题 考试时间 120分钟，满分 150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用 0.5毫米黑色签字笔填写 清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。 2.选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填 涂其它答案；非选择题用 0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无 效；在草稿纸上、试卷上答题无效。 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．已知命题�: ∀� ∈ �， �|�|+1 < 1，命题�: ∃� > 0，� 3 < �2，则 A．p和 q都是真命题 B．¬�和 q都是真命题 C．p和¬�都是真命题 D．¬�和¬�都是真命题 2．已知向量� 与向量� 共线，� = −4,3 ， � = 10，且向量� 与向量� = 1,1 的夹角为锐角，则向量� = A． −8,6 B． 6, − 8 C． 8, − 6 D． −6,8 3．在空间四边形����中，�, �分别为边��, ��上的点，且��: �� = ��: �� = 1: 4，又�, �分别为��, �� 的中点，则 A．��//平面���，且四边形����是矩形 B．��//平面���，且四边形����是梯形 C．��//平面���，且四边形����是菱形 D．��//平面���，且四边形����是平行四边形 4．若点�在曲线� = �3 − 3�上移动，经过点�的切线的倾斜角为�，则角�的取值范围是 A． 0, π 2 B． 0, π 2 ∪ π 2 , 2π 3 C． 2π 3 ,π D． 0, π 2 ∪ 2π 3 ,π 5．已知复数�1 = 1 − 2i，复数�满足 � + �1 = 2，则 A．�1 ⋅ �1 = 2+ i B． 5 − 2 ≤ � ≤ 5 + 2 C．复数�1在复平面内所对应的点的坐标是 −1,2 D．复数�在复平面内所对应的点为� �, � ，则(� + 1)2 + (� − 2)2 = 2 6．用数字 0，1，2，3，4，5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为 A．76 B．38 C．36 D．30 高三数学试题 第 2 页 （共 4页） 7．设�，�为正整数，�1 = � + 3 � − 1 + 4，�2 = � + 5 �1 + 4，�3 = � + 7 �2 + 4，�4 = � + 9 �3 + 4，…，�� = � + 2� + 1 ��−1 + 4，…，已知�100 = 2005，则�的值为 A．1806 B．2005 C．3612 D．4100 8．已知角�是锐角，角�是第四象限角,且 3cos� + 10cos� = 175，3sin� − 10sin� = 24 5，tan� = 3 4 ，则 下列结论不正确的是 A．cos � + � = 13 1050 B．sin � + � =− 9 10 50 C．tan 2� + � = 9 13 D．tan� =− 3 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求；全部选对的得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分。 9．已知随机变量�满足：� ∼ � 4, � , 0 < � < 1, � � = 32� � ，则 A．� = 23 B．� � = 4 3 C．� 2� + 1 = 113 D．� 2� + 1 = 32 9 10．下列函数中最小值为 4的是 A．� = ln� + 4 ln� B．� = 2� + 22−� C．� = 4 sin� + 1 sin� D．� = � 2+5 �2+1 11．在 2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以 69.800分的成绩夺得金牌，这是中 国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它 可看作由抛物线�: �2 = 2��(� > 0)绕其顶点分别逆时针旋转90∘､180∘､270∘后所得三条曲线与�围成的 （如图阴影区域），�, �为�与其中两条曲线的交点，若� = 1，则 A．开口向上的抛物线的方程为� = 12 � 2 B． �� = 4 C．直线� + � = �截第一象限花瓣的弦长最大值为34 D．阴影区域的面积大于 4 高三数学试题 第 3 页 （共 4页） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12． � (� ∈ R)表示不小于 x的最小整数，例如 2 = 2，− 3 2 =− 1．已知等差数列{��}的前 n项和为��， 且�7 =− 7，�4 + �6 =− 3．记�� = �� ，则数列{��}的前 10项的和______． 13．在△ ���中，点�在��边上，�� = 2, ∠��� = ∠���, �� ⋅ �� = �� ⋅ �� + �� ⋅ ��，则△ ���的外 接圆的半径为______． 14．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍（chú méng）者，下有袤有广，而上有袤无广，刍， 草也．甍，屋盖也．”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体．刍 甍字面意思为茅屋屋顶．如图所示，现有刍甍������，所有顶点都 在球 O的球面上，球心 O在矩形����所在的平面内，�� = 4，�� = 2 2，该刍甍的体积最大时，�� =______，体积的最大值为______． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五 根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表 5， 梁下面一粒珠子（简称下珠）代表 1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上 珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字 15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁 上，设事件� =“表示的三位数能被 5整除”，� =“表示的三位数能被 3整除”. (1)求事件 A，B的概率. (2)求事件� ∪ �、� ∩ �的概率. 16．（15分） 如图，在三棱锥� − ���中， �� = �� = 3 2， �� = �� = �� = �� = 6，点�是��的中点. (1)求△ ���绕��旋转一周形成的几何体的体积； (2)点�在棱��上，且 �� = 1 3 �� ，求直线��与平面���所成角的大小. 高三数学试题 第 4 页 （共 4页） 17．（15分） 已知函数� � = �+ 1 �2 −�� +�− 1 � ∈ R . (1)若不等式� � < 0的解集为∅，求�的取值范围； (2)当� >− 2时，解不等式� � ≥ �； (3)对任意的� ∈ −1,1 ，不等式� � ≥ �2 − � + 1恒成立，求�的取值范围. 18．（17分） 如图，已知点列�� ��, 2 �� 与�� ��, 0 满足��+1 > ��，����+1 ⊥ ����+1 且 ����+1 = ����+1 ，其 中� ∈ �+，�1 = 1． (1)求�2； (2)求��+1与��的关系式； (3)证明：�12 + �22 + �32 +⋯ + ��+12 ≤ 4�2 + 1． 19．（17分） 通过研究，已知对任意平面向量�� = �, � ，把��绕其起点 A沿逆时针方向旋转�角得到向量�� = �cos� − �sin�, �sin� + �cos� ，叫做把点 B绕点 A逆时针方向旋转�角得到点 P， (1)已知平面内点� − 3, 2 3 ，点� 3, − 2 3 ，把点 B绕点 A逆时针旋转π 3 得到点 P，求点 P的 坐标： (2)已知二次方程�2 + �2 − �� = 1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆� 2 �2 + � 2 �2 = 1 � > � > 0 绕原点 O逆时针旋转π4所得的斜椭圆 C， （i）求斜椭圆 C的离心率； （ⅱ）过点� 2 3 , 2 3 作与两坐标轴都不平行的直线�1交斜椭圆 C于点 M、N，过原点 O作直线�2 与直线�1垂直，直线�2交斜椭圆 C于点 G、H，判断 2 �� + 1 �� 2是否为定值，若是，请求出定值，若不是， 请说明理由.