21.2 解一元二次方程 复习讲义- 2024-2025学年人教版九年级数学上册

21.2解一元二次方程复习讲义-数学九年级上册人教版 【高频考点】+【典型例题】+【跟踪训练】 ( 目录导航 ) 第一部分：高频考点 第二部分：典型例题 第三部分：跟踪训练 【第一部分】 ( 高频考点 ) 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 【第二部分】 ( 典型例题 ) 1．已知关于x的一元二次方程x2+（n+2）x+n＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若x＝﹣2是该方程的一个解，求方程的另一个根． 【解答】（1）证明：∵在一元二次方程x2+（n+2）x+n＝0中，a＝1，b＝n+2，c＝n， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（n+2）2﹣4n＝n2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵x＝﹣2是该方程的一个解， ∴（﹣2）2﹣2（n+2）+n＝0， 解得n＝0， ∴该方程为x2+2x＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝0， ∴方程的另一个根为x＝0． 2．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足+＝14．求+4x2﹣10的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0， 解得：m≤， ∴实数m的取值范围为m≤． （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根， ∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2． ∵+＝14， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝14， ∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14， ∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14， ∴m＝5或﹣1， 当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去， 当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0， ∴x1+x2＝4，， ∴x1﹣1， ∴+4x2﹣10＝4x1﹣1+4x2﹣10＝4（x1+x2）﹣11＝16﹣11＝5． 【第三部分】 ( 跟踪训练 ) 一．选择题（共6小题） 1．用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（　　） A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7 2．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥4 B．k＞4 C．k≤4 D．k＜4 3．关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．如果x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，那么+的值是（　　） A．7 B．5 C．3 D．1 5．若关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A．2 B．1 C． D．﹣2 6．对于实数a，b定义运算“☆”为a☆b＝a2﹣a+b，例如：4☆5＝42﹣4+5＝17，则关于x的方程（x﹣2）☆2＝x﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 二．填空题（共6小题） 7．解一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根是 　 　． 8．若关于x的一元二次方程kx2﹣8x+16＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　． 9．如果方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别是x1、x2，那么x1+x2＝　 　． 10．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 　 　． 11．一元二次方程①x2+3x﹣2＝0的两个根的和为m，m是关于y的一元二次方程②y2+3y﹣n＝0的一个根，则方程②为 　 　． 12．定义：若4n3﹣3n﹣2（n为正整数，且0＜n＜500）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“幸运数”．则“幸运数”n的最小值为 　 　，最大值为 　 　． 三．解答题（共6小题） 13．用适合的方法解下列方程： （1）2x2＝3x； （2）（2x+1）2＝（3﹣x）2； （3）x2﹣4x﹣2＝0； （4）2x﹣5x﹣3＝0； （5）x2﹣6x﹣7＝0． 14．已知关于x的一元二次方程x2+（n+2）x+n＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若x＝﹣2是该方程的一个解，求方程的另一个根． 15．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足+＝14．求+4x2﹣10的值． 16．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， ∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0， ∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2+b2﹣2a+1＝0，则a＝　 　．b＝　 　． （2）已知x2+2y2+2xy﹣6y+9＝0，求xy的值． （3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 18．知识阅读：要比较两个数a，b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决： ①如果a﹣b＞0，则a＞b；②如果a﹣b＝0，则a＝b；③如果a﹣b＜0，则a＜b． 基本应用：（1）比较大小：3+ 　 　2（用“＞”、“＜”或”＝”填空）； 理解应用：（2）比较与﹣3a2+b2﹣4+2b与2b﹣3a2﹣6的大小关系； （3）已知a，b，c为直角三角形的三边，c为斜边，比较c2+2（c﹣a）和a2+b2+2b的大小关系． 21.2解一元二次方程复习讲义-数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（　　） A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7 【解答】解：x2+6x﹣1＝0， x2+6x＝1， x2+6x+9＝1+9， （x+3）2＝10， 故选：A． 2．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥4 B．k＞4 C．k≤4 D．k＜4 【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝16﹣4k， ∵x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有2个不相等的实数根， Δ＞0， ∴（﹣4）2﹣4×1×k＞0， 16﹣4k＞0， k＜4． 故选：D． 3．关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【解答】解：对于一元二次方程x2+mx﹣4＝0， Δ＝m2﹣4×1×（﹣4）＝m2+16＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．如果x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，那么+的值是（　　） A．7 B．5 C．3 D．1 【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝3，x1，•x2，＝2， ∴+＝（x1+x2）2﹣2x1，•x2，＝32﹣2×2＝5． 故选：B． 5．若关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　） A．2 B．1 C． D．﹣2 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4m＞0， 解得m＜， 即m的值可以为﹣2． 故选：D． 6．对于实数a，b定义运算“☆”为a☆b＝a2﹣a+b，例如：4☆5＝42﹣4+5＝17，则关于x的方程（x﹣2）☆2＝x﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【解答】解：∵（x﹣2）☆2＝x﹣1， ∴方程为（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2＝x﹣1， 即x2﹣6x+9＝0， Δ＝b2﹣4ac＝36﹣36＝0， ∴有两个相等的实数根， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 7．解一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根是 　x1＝﹣6，x2＝2　． 【解答】解：x2﹣4x﹣12＝0， （ x﹣6）（x+2）＝0， ∴x﹣6＝0或x+2＝0， 解得x1＝6，x2＝﹣2． 8．若关于x的一元二次方程kx2﹣8x+16＝0有实数根，则k的取值范围是 　k≤1且k≠0　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣8x+16＝0有实数根， ∴， 解得：k≤1且k≠0． 故答案为：k≤1且k≠0． 9．如果方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别是x1、x2，那么x1+x2＝　3　． 【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根分别是x1、x2， ∴x1+x2＝3． 故答案为：3． 10．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 　　． 【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0， 化简得x2+10x+7＝0， ∵m，n是该方程的两根， ∴m+n＝﹣10，mn＝7， ∴+＝＝， 故答案为：． 11．一元二次方程①x2+3x﹣2＝0的两个根的和为m，m是关于y的一元二次方程②y2+3y﹣n＝0的一个根，则方程②为 　y2+3y＝0　． 【解答】解：因为一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两个根的和为m， 所以m＝． 将y＝﹣3代入方程②得， 9﹣9﹣n＝0， 解得n＝0， 所以方程②为y2+3y＝0． 故答案为：y2+3y＝0． 12．定义：若4n3﹣3n﹣2（n为正整数，且0＜n＜500）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“幸运数”．则“幸运数”n的最小值为 　401　，最大值为 　485　． 【解答】解：∵4n3﹣3n﹣2（n为正整数，且0＜n＜500）等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为m+2（m＞0）， ∴4n3﹣3n﹣2＝m（m+2）， ∴4n3﹣3n﹣2＝m2+2m， ∴m2+2m﹣（4n3﹣3n﹣2）＝0， ∴m＝ ＝ ＝ ＝， ∴m＝或m＝＜0（舍去）， ∴当m＝为正整数时，n为“幸运数”， ∵4n3﹣3n﹣1＝4n3﹣4n+n﹣1 ＝4n（n2﹣1）+（n﹣1） ＝4n（n+1）（n﹣1）+（n﹣1） ＝（n﹣1）（4n2+4n+1） ＝（n﹣1）（2n+1）2， ∴m＝ ＝（2n+1）﹣1， ∵m为正奇数， ∴m为整数， ∴也必须是整数， 令p＝， ∴p2＝n﹣1， ∴n＝p2+1， 当p＝20时，n＝401， 当p＝21时，n＝442， 当p＝22时，n＝485， 当p＝23时，n＝530， ∵0＜n＜500， ∴“幸运数”n的最小值为401，最大值为485． 故答案为：401，485． 三．解答题（共6小题） 13．用适合的方法解下列方程： （1）2x2＝3x； （2）（2x+1）2＝（3﹣x）2； （3）x2﹣4x﹣2＝0； （4）2x﹣5x﹣3＝0； （5）x2﹣6x﹣7＝0． 【解答】解：（1）2x2＝3x， 2x2﹣3x＝0， x（2x﹣3）＝0， 则x＝0或2x﹣3＝0， 所以． （2）（2x+1）2＝（3﹣x）2， （2x+1）2﹣（3﹣x）2＝0， （2x+1+3﹣x）（2x+1﹣3+x）＝0， （x+4）（3x﹣2）＝0， 则x+4＝0或3x﹣2＝0， 所以． （3）x2﹣4x﹣2＝0， x2﹣4x＝2， x2﹣4x+4＝2+4， （x﹣2）2＝6， 则x﹣2＝， 所以． （4）2x﹣5x﹣3＝0， ﹣3x＝3， x＝﹣1． （5）x2﹣6x﹣7＝0， （x+1）（x﹣7）＝0， 则x+1＝0或x﹣7＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝7． 14．已知关于x的一元二次方程x2+（n+2）x+n＝0． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若x＝﹣2是该方程的一个解，求方程的另一个根． 【解答】（1）证明：∵在一元二次方程x2+（n+2）x+n＝0中，a＝1，b＝n+2，c＝n， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（n+2）2﹣4n＝n2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵x＝﹣2是该方程的一个解， ∴（﹣2）2﹣2（n+2）+n＝0， 解得n＝0， ∴该方程为x2+2x＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝0， ∴方程的另一个根为x＝0． 15．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足+＝14．求+4x2﹣10的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0， 解得：m≤， ∴实数m的取值范围为m≤． （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根， ∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2． ∵+＝14， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝14， ∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14， ∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14， ∴m＝5或﹣1， 当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去， 当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0， ∴x1+x2＝4，， ∴x1﹣1， ∴+4x2﹣10＝4x1﹣1+4x2﹣10＝4（x1+x2）﹣11＝16﹣11＝5． 16．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0， ∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0， ∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2+b2﹣2a+1＝0，则a＝　1　．b＝　0　． （2）已知x2+2y2+2xy﹣6y+9＝0，求xy的值． （3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长． 【解答】解：（1）∵a2+b2﹣2a+1＝0， ∴a2﹣2a+1+b2＝0， ∴（a﹣1）2+b2＝0， ∴a﹣1＝0，b＝0， ∴a＝1，b＝0， 故答案为：1，0． （2）∵x2+2y2+2xy﹣6y+9＝0， ∴x2+y2+2xy+y2﹣6y+9＝0，即：（x+y）2+（y﹣3）2＝0， ∴x+y＝0，y﹣3＝0， ∴x＝﹣3，y＝3， ∴xy＝（﹣3）3＝﹣27． （3）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，解得：a＝1，b＝3， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， ∴△ABC的周长为1+3+3＝7． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 【解答】解： （1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根， ∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0， 解得m≤2； （2）∵p是方程的一个实数根， ∴p2﹣2p+m﹣1＝0， ∴p2﹣2p＝1﹣m， ∵（p2﹣2p+3）（m+4）＝7， ∴（1﹣m+3）（m+4）＝7，即m2＝9， 解得m＝3或m＝﹣3， 又由（1）可知m≤2， ∴m＝﹣3． 18．知识阅读：要比较两个数a，b的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决： ①如果a﹣b＞0，则a＞b；②如果a﹣b＝0，则a＝b；③如果a﹣b＜0，则a＜b． 基本应用：（1）比较大小：3+ 　＜　2（用“＞”、“＜”或”＝”填空）； 理解应用：（2）比较与﹣3a2+b2﹣4+2b与2b﹣3a2﹣6的大小关系； （3）已知a，b，c为直角三角形的三边，c为斜边，比较c2+2（c﹣a）和a2+b2+2b的大小关系． 【解答】解：（1）∵3+﹣2＝3﹣＜0， ∴3+＜2， 故答案为：＜； （2）∵﹣3a2+b2﹣4+2b﹣（2b﹣3a2﹣6）＝b2+2≥2， ∴﹣3a2+b2﹣4+2b＞2b﹣3a2﹣6； （3）∵a，b，c为直角三角形的三边，c为斜边， ∴a2+b2＝c2，c﹣a＞b， ∴c2+2（c﹣a）﹣（a2+b2+2b）＝2（c﹣a﹣b）＞0， ∴c2+2（c﹣a）＞a2+b2+2b． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$