12.3一次函数与二元一次方程 课件2024-2025学年沪科版八年级数学上册

沪科版八年级上册 12.3一次函数与二元一次方程 教学目标 1.学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系; 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解; 3.通过学生思考方程与图象之间的关系的过程，培养学生初步的数形结合的意识和能力; 4.经历了自主探究方程与图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发学生学习数学的兴趣. 　 求一元一次方程 kx+b=0的解． 一次函数与一元一次方程的关系: 一次函数y= kx+b 中y=0时x的值． 从“函数值”看 求一元一次方程 kx+b=0的解． 求直线y= kx+b与 x 轴交点的横坐标． 从“函数图象”看 新知导入 一次函数与一元一次不等式的关系: 　 从“函数值”看 求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集 确定直线y=kx+b 在x轴上方(或下方) 的图象所对应的x 取值范围 从“函数图象”看 y=kx+b的值 大于(或小于)0时， x的取值范围 求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集 新知导入 前面，我们研究了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系． 虽然利用函数图象来解方程或不等式未必简便，但是，这种形数结合的思想方法，对于学习数学是极为重要的． 下面，我们来研究一次函数与二元一次方程的联系. 新知讲解 我们知道，二元一次方程 3x ＋2y ＝ 6 可以转化成一次函 数的形式：y＝ － x＋3 新知讲解 任务一：一次函数与二元一次方程的关系 对于这个函数，任意给出自变量 ｘ 的一些值，可以求得 对应的 ｙ 值，列表如下： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 7.5 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 … 表中每一对x，y的值代入方程3x＋ 2y＝6 都成立，所以每组有序数对都是方程3x＋2y ＝ 6的解． 可见，二元一次方程3x ＋2y ＝ 6 有无数多组解，解的全体叫做二元一次方程的解集． 以这些有序数对为坐标，在坐标平面内描点作图，得到一条直线，这条直线就是一次函数y=－ x+3的图象． 新知讲解 一次函数与二元一次方程的关系： 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y＝kx＋b（k，b 为常数，且 k≠ 0）的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 新知讲解 例1 （1）在平面直角坐标系中画直线 l1： 与直线 l2：y=2x+6 的图象； （2）如果直线 l1与 l2相交于点P，写出点P的坐标P（____，____）； x -6 -4 -2 2 4 6 y 6 4 2 -2 -4 -6 O • -2 2 l2：y=2x+6 任务二：一元二次方程组的图象解法 新知讲解 （3）检验点P的坐标是不是下面方程组的解？ x+2y=2 2x-y=-6 解：方程x+2y=2可以转化成 的形式，因此，直线l1： 上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解； 同理，直线 l2上任意一点的坐标都是方程2x-y=-6的解，所以直线 l1与 l2的交点P是方程组的解. x -6 -4 -2 2 4 6 y 6 4 2 -2 -4 -6 O • l2：y=2x+6 p 新知讲解 一次函数与二元一次方程组的关系 求二元一次方程组的解. 从“函数值”看 自变量为何值时， 两个函数的值相 等并求函数值. 从“函数图象”看 确定两条直线交点的坐标. 求二元一次方程组的解. 数形结合 新知讲解 一级标题：黑体， 11 二元一次方程组的图象解法： 用作图的方法求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法，由此我们发现数和形有着密不可分的联系. 新知讲解 运用图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程化成函数 ②画出函数图象 ③找出图象交点坐标 ④写出方程组的解 新知讲解 一级标题：黑体， 13 例2 利用函数图象解方程组： 5x-2y=4 ① 10x-4y=8 ② 解：对于方程①，有 x 0 2 y -2 3 过点A （0，-2）和B（2，3）画出方程①所对应的直线l： . x -4 -2 2 4 y 4 2 -2 -4 O • A • B 同样的，点A （0，-2）和B（2，3）也在方程②所对应的直线上.如图，就是说，这两条直线重合． 显然，直线 ｌ 上每一个点的坐标都是原方程组的解，所以原方程组有无穷多组解． 新知讲解 例3 利用函数图象解方程组： 3x+2y=-2 6x+4y=4 解：方程3x+2y=-2对应直线l1： x -6 -4 -2 2 4 6 y 6 4 2 -2 -4 -6 O 作出l1和l2的图象，如图所示，两条直线平行，故方程组无解. 方程6x+4y=4对应直线l2： 新知讲解 思考：上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式： a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中你发现怎样的规律？ 任务三：根据二元一次方程的系数判断解的情况 新知讲解 发现： ①当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，两直线相交，故方程组有唯一解； ②当 a1：a2=b1：b2 =c1 :c2时，两直线重合，故方程组有无穷组解； ③当a1：a2=b1：b2 ≠c1 :c2时，两直线平行，故方程组无解. 新知讲解 二元一次方程组的解的情况有三种： （1）图象相交时，原方程组有唯一组解； （2）图象重合时，原方程组有无穷多组解； （3）图象平行时，原方程组无解. 新知讲解 1.下列有序实数对中，对应二元一次方程2x＋3y＝7的解的是(　B　) A. (1，2) B.(2，1) C.(－1，－2) D. (－2，－1) B 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，在同一直角坐标系中作出一次函数 与 的图象，则二元一次方程组 的解是( ) A. B. C. D. D 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 3.把二元一次方程2x－y－3＝0写成一次函数y＝　2x－3　；把一次函数y＝6－2x写成二元一次方程为　2x＋y＝6　.  2x－3　 2x＋y＝6　 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 4.若方程组 中两个二元一次方程的图象如图所示，则此方程组的解是多少？ ① ② 解：此方程组的解是 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -3 -4 -5 2 O -2 1 4 -6 x y 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 5.已知二元一次方程x＋y＝3与3x－y＝5有一组公共解那么一次函数y＝3－x与y＝3x－5的图象的交点坐标为(　B　) B 【知识技能类作业】选做题： 课堂练习 A.(1，2) B.(2，1) C.(－1，2) D.(－2，1) 解：直线 与直线y＝2x＋7的交点坐标为（﹣2，3），所以原方程组的解为 6.利用函数图象解方程组： 【知识技能类作业】选做题： 课堂练习 7.已知二元一次方程3x－y－2＝0所在的直线，在平面直角坐标系中与两坐标轴交于两点A、B，O为坐标原点，求三角形AOB的面积. 解:因为3x－y－2＝0，所以y＝3x－2，所以A、B的坐标为(，0)，(0，－2)， 所以三角形AOB的面积是××2＝. 【综合拓展类作业】 课堂练习 1.一次函数与二元一次方程的关系： 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ 为常数，且 ｋ≠ ０）的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 课堂总结 2.一次函数与二元一次方程组的关系： 求二元一次方程组的解. 从“函数值”看 自变量为何值时， 两个函数的值相 等并求函数值. 从“函数图象”看 确定两条直线交点的坐标. 求二元一次方程组的解. 数形结合 新知讲解 一级标题：黑体， 27 3.二元一次方程组的图象解法： 用作图的方法求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法，由此我们发现数和形有着密不可分的联系. 4.运用图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程化成函数 ②画出函数图象 ③找出图象交点坐标 ④写出方程组的解 课堂总结 5.二元一次方程组的解的情况有三种： （1）图象相交时，原方程组有唯一组解； （2）图象重合时，原方程组有无穷多组解； （3）图象平行时，原方程组无解. 课堂总结 板书设计 1.一次函数与二元一次方程的关系: 2.一次函数与二元一次方程组的关系： 3.二元一次方程组的图象解法： 4.运用图象法解二元一次方程组的一般步骤： 5.二元一次方程组的解的情况有三种： 课题：12.3一次函数与二元一次方程 1.已知x＝2是方程kx＋b＝0的解，则一次函数y＝kx＋b与 x轴的交点坐标为(　 　) A.(2，0) B.(0，2) C.(－2，0) D.(0，－2) A 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 2.已知直线 y=-x+4 与 y=x+2 的图象如图，则方程组 的解为（ ） y=-x+4 y=x+2 A. B. C. D. x=3 y=1 x=1 y=3 x=0 y=4 x=4 y=0 B 1 2 1 3 5 4 2 3 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 3.如图，函数y=mx+n和y=-2x的图象交于点A（a,4），则方程mx+n=-2x的解是 . x=-2 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 4. 如图，在平面直角坐标系中，函数y= mx+n与 y=kx+b的图象 交于点P(-2,1)，则方程组 的解是( ) A. B. C. D. A 【知识技能类作业】选做题： 作业布置 5.若函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，求a的值. 【知识技能类作业】选做题： 解:因为函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，所以令两方程中y＝0，即x＝a＝. 作业布置 6.已知二元一次方程2x-y=2. （1）请任意写出此方程的三组解； 解析：本题可转化为求直线y=2x-2图象上三个点的坐标. 解：（1） 【综合拓展类作业】 作业布置 （2）若 为此方程的一组解，我们规定 为某一点的坐标，请根据你在（1）中写出的三组解，对应写出三个点的坐标并将这三个点描在平面直角坐标系中； 解：（2）（0,-2）;（1,0）;（2,2） · （0，-2） · · （1，0） （2，2） 【综合拓展类作业】 作业布置 （3）观察这三个点的位置，你发现了什么？ 解析：本题实际求的是直线y=2x-2，求出方程的三组解实际上是求直线y=2x-2上的三个点的坐标，求出的三个点自然都在直线y=2x-2上. 解：（3）这三个点在一条直线上. · （0，-2） · · （1，0） （2，2） 【综合拓展类作业】 作业布置 $$