12.3一次函数与二元一次方程 教案2024-2025学年沪科版八年级数学上册

《 12.3一次函数与二元一次方程 》教学设计 教学内容分析 函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型.用函数的观点看方程(组)与不等式，不仅能帮助学生加深对方程(组)、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来， 感受数学的统一美.本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程(组)关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义.本课时主要讲解了二元一次方程图象的意义，以及如何用图象法求二元一次方程组的解，这些重要的知识很好地考察了学生数形结合的能力。 学习者分析 通过对一次函数与二元一次方程——二元一次方程组的图象解法的学习，既帮助学生很好地回顾和记忆一次函数的相关知识,也很好地帮助学生理解和掌握二元一次方程组的重要知识。这些知识突出地考察了学生对数形结合这个数学学习方法的掌握情况,为以后学习二次函数方面的数形结合知识打下坚实的基础。 教学目标 1.学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系; 2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解; 3.通过学生思考方程与图象之间的关系的过程，培养学生初步的数形结合的意识和能力; 4.经历了自主探究方程与图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发学生学习数学的兴趣. 教学重点 二元一次方程和一次函数的关系，以及根据一次函数的图象求二元一次方程组的解. 教学难点 方程与函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 一次函数与一元一次方程的关系: 一次函数与一元一次不等式的关系: 学生活动1： 学生动脑回忆思考，并积极回答. 活动意图说明： 回顾旧知，为下面引出一次函数与二元一次方程的关系做铺垫. 环节二：探究一次函数与二元一次方程的关系 教师活动2： 前面，我们研究了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系． 虽然利用函数图象来解方程或不等式未必简便，但是，这种形数结合的思想方法，对于学习数学是极为重要的． 下面，我们来研究一次函数与二元一次方程的联系. 我们知道，二元一次方程 3x ＋2y ＝ 6 可以转化成一次函数的形式：y ＝ －x ＋3 对于这个函数，任意给出自变量 x 的一些值，可以求得对应的 y 值，列表如下： 表中每一对x，y的值代入方程3x＋ 2y＝6 都成立，所以每组有序数对都是方程3x＋2y ＝ 6的解． 可见，二元一次方程3x ＋2y ＝ 6 有无数多组解，解的全体叫做二元一次方程的解集． 以这些有序数对为坐标，在坐标平面内描点作图，得到一条直线，这条直线就是一次函数y＝－x＋3 的图象． 一次函数与二元一次方程的关系： 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y＝kx＋b（k，b 为常数，且 k≠ 0）的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 学生活动2： 学生边听老师讲解边思考一次函数与二元一次方程的联系。 学生在教师的引导下总结一次函数与二元一次方程的关系。 活动意图说明： 用实际例子探究方程与对应图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣. 环节三：一元二次方程组的图象解法 教师活动3： 例1 （1）在平面直角坐标系中画直线 l1：y=－x＋1 与直线l2：y=2x+6 的图象； （2）如果直线 l1与 l2相交于点P，写出点P的坐标P（__2__，_2___）； （3）检验点P的坐标是不是下面方程组的解？ 解：方程x+2y=2可以转化成y=－x＋1的形式，因此，直线l1：y=－x＋1上任意一点的坐标都是方程x+2y=2的解； 同理，直线 l2上任意一点的坐标都是方程2x-y=-6的解，所以直线 l1与 l2的交点P是方程组的解. 一次函数与二元一次方程组的关系: 二元一次方程组的图象解法： 用作图的方法求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法，由此我们发现数和形有着密不可分的联系. 运用图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程化成函数 ②画出函数图象 ③找出图象交点坐标 ④写出方程组的解 例2 利用函数图象解方程组： 解：对于方程①，有 过点A （0，-2）和B（2，3）画出方程①所对应的直线l：y=x-2 同样的，点A （0，-2）和B（2，3）也在方程②所对应的直线上.如图，就是说，这两条直线重合． 显然，直线l上每一个点的坐标都是原方程组的解，所以原方程组有无穷多组解． 例3 利用函数图象解方程组： 解：方程3x+2y=-2对应直线l1：y=-x-1 方程6x+4y=4对应直线l2：y=-x+1 作出l1和l2的图象，如图所示，两条直线平行，故方程组无解. 学生活动3： 学生小组讨论，派代表展示答案. 学生与教师一起总结二元一次方程组的图象解法及解题步骤。 学生利用函数图象独立解方程组。 活动意图说明： 通过例题，检验学生对利用函数图象解方程组的掌握程度，及时查漏补缺。 环节四：根据二元一次方程的系数判断解的情况 教师活动4： 思考：上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况.当把其中的各个二元一次方程组化为标准形式： 比较一下每例中两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，从中你发现怎样的规律？ 发现： ①当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，两直线相交，故方程组有唯一解； ②当a1：a2 =b1：b2=c1 :c2时，两直线重合，故方程组有无穷组解； ③当a1：a2 =b1：b2≠c1 :c2时，两直线平行，故方程组无解. 二元一次方程组的解的情况有三种： （1）图象相交时，原方程组有唯一组解； （2）图象重合时，原方程组有无穷多组解； （3）图象平行时，原方程组无解. 学生活动4： 学生小组交流讨论，派代表阐述结论。 活动意图说明： 通过师生的合作探究，得到函数图象(直线)重合说明有无数解:同样，没有交点就是没有解。同时，充分发挥学生小组合作能力，让学生在操作中消化知识。 板书设计 课题：12.3一次函数与二元一次方程 1.一次函数与二元一次方程的关系: 2.一次函数与二元一次方程组的关系： 3.二元一次方程组的图象解法： 4.运用图象法解二元一次方程组的一般步骤： 5.二元一次方程组的解的情况有三种： 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列有序实数对中，对应二元一次方程2x＋3y＝7的解的是(　B　) A. (1，2) B.(2，1) C.(－1，－2) D. (－2，－1) 2.如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象，则二元一次方程组的解是( ) A. B. C. D. 3.把二元一次方程2x－y－3＝0写成一次函数y＝　2x－3　；把一次函数y＝6－2x写成二元一次方程为　2x＋y＝6　.  4.若方程组中两个二元一次方程的图象如图所示，则此方程组的解是多少？ 解：此方程组的解是 选做题： 5.已知二元一次方程x＋y＝3与3x－y＝5有一组公共解 ,那么一次函数y＝3－x与y＝3x－5的图象的交点坐标为(　B　) A.(1，2) B.(2，1) C.(－1，2) D.(－2，1) 6.利用函数图象解方程组： 解：直线y=- x+2与直线y＝2x＋7的交点坐标为（﹣2，3），所以原方程组的解为 【综合拓展类作业】 7.已知二元一次方程3x－y－2＝0所在的直线，在平面直角坐标系中与两坐标轴交于两点A、B，O为坐标原点，求三角形AOB的面积. 解:因为3x－y－2＝0，所以y＝3x－2，所以A、B的坐标为(，0)，(0，－2)， 所以三角形AOB的面积是××2＝. 课堂总结 1.一次函数与二元一次方程的关系： 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y＝kx＋b（k，b 为常数，且 k≠ 0）的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系： 3.二元一次方程组的图象解法： 用作图的方法求解二元一次方程组的方法，叫做二元一次方程组的图象解法，由此我们发现数和形有着密不可分的联系. 4.运用图象法解二元一次方程组的一般步骤： ①方程化成函数 ②画出函数图象 ③找出图象交点坐标 ④写出方程组的解 5.二元一次方程组的解的情况有三种： （1）图象相交时，原方程组有唯一组解； （2）图象重合时，原方程组有无穷多组解； （3）图象平行时，原方程组无解. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知x＝2是方程kx＋b＝0的解，则一次函数y＝kx＋b与x轴的交点坐标为( A ) A.(2，0) B.(0，2) C.(－2，0) D.(0，－2) 2.已知直线 y=-x+4 与 y=x+2 的图象如图，则方程组 的解为（ B ） A. B. C. D. 3.如图，函数y=mx+n和y=-2x的图象交于点A（a,4），则方程mx+n=-2x的解是 x=-2 . 选做题： 4.如图，在平面直角坐标系中，函数y= mx+n与y=kx+b的图象交于点P(-2,1)，则方程组的解是( A ) A. B. C. D. 5．若函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，求a的值. 解:因为函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，所以令两方程中y＝0，即x＝a＝. 【综合拓展类作业】 6.已知二元一次方程2x-y=2. （1）请任意写出此方程的三组解； 解析：本题可转化为求直线y=2x-2图象上三个点的坐标. 解：（1） , , （2） 若为此方程的一组解，我们规定(,)为某一点的坐标，请根据你在（1）中写出的三组解，对应写出三个点的坐标并将这三个点描在平面直角坐标系中； 解：（2）（0,-2）;（1,0）;（2,2） （3） 观察这三个点的位置，你发现了什么？ 解析：本题实际求的是直线y=2x-2，求出方程的三组解实际上是求直线y=2x-2上的三个点的坐标，求出的三个点自然都在直线y=2x-2上. 解：（3）这三个点在一条直线上. 教学反思 教学设计上，突出以学生的“数学活动”为主线，教师应激发学生的学习积极性.通过学习，初步理解二元一次方程和一次函数的关系;掌握二元一次方程和对应的直线之间的关系.通过方程与函数关系问题的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想.在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中;在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神.结合例题，总结出利用函数的图象解二元一次方程组的解题步骤，让学生进一步理解一次函数与二元一次方程组的关系，学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法，通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣. 学科网（北京）股份有限公司 $$