数列的知识点和经典方法总结讲义-2025届高三数学一轮复习

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 ( 景泰 艺术 中学高 中 数 列 知识点总结 ) 一、数列求和 已知数列的前项和,则：，， ， 2、 数列的递推公式： 例1：已知数列的前项和，且，求的值 解：根据题意， 例2：已知数列的前项和，且，求的通项公式 解：根据题意，当时，。 当时，，综合可得，。 三、等差数列 1 等差数列的定义表达式 已知数列，若满足，则是等差数列。 例1:已知数列，若满足，，则是等差数列吗？ 解：根据题意，数列是以1为首项，3为公差的等差数列。 2 等差数列的通项公式（等差数列最重要的公式）： 例：已知等差数列，若满足，求的值 解：根据题意，。 3 等差数列的变形公式： 例：已知等差数列，若满足，求的值 解：根据题意，。 4 等差数列的性质：如果，则。 例：已知等差数列，若满足，，求的值 解：根据题意，，则。 5 等差中项：如果，则，是和的等差中项。 例：已知等差数列，若满足，求的值 解：根据题意，，则。 6 等差数列前项和，则 例：已知等差数列，若满足，求的值 解：根据题意，。 7 等差数列前项和，则 例：已知等差数列，若满足，求的值 解：根据题意，，。 8 等差数列前项和，则(n为奇数) 例：已知等差数列，若满足，求的值 解：根据题意，。 9 等差数列前项和，前2项和，则前3项和 例：已知等差数列前3项和30，前6项和100，求前9项和为 解：根据题意，。 10 等差数列前项和，则也成等差数列。 例：已知等差数列前3项和30，前6项和100，求前9项和为 解：根据题意，，由等差中项，得。 四、等比数列 1 等比数列的定义表达式 已知数列，若满足，则是等比数列。 例1:已知数列，若满足，，则是等比数列吗？ 解：根据题意，数列是以1为首项，3为公比的等比数列。 2 等比数列的通项公式（等比数列最重要的公式） 例：已知等比数列，若满足，求的值 解：根据题意，。 3 等比数列的变形公式： 例：已知等比数列，若满足，求的值 解：根据题意，。 4 等比数列的性质：如果，则。 例：已知等比数列，若满足，，求的值 解：根据题意，，则。 5 等比中项：如果，则，是和的等比中项。 例：已知正项等比数列，若满足，求的值 解：根据题意，，则。 6 等比数列前项和，则 例：已知正项等比数列，若满足，求的值 解：根据题意，，，。 7 等比数列前项和，前2项和，则前3项和 例：已知等比数列前3项和3，前6项和15，求前9项和为 解：根据题意，。 9 等比数列前项和，则也成等比数列。 例：已知等比数列前3项和3，前6项和15，求前9项和为 解：根据题意，，由等比中项，得。 10 等比数列前项和，则有。 例：已知等比数列前项和，若，求为 解：根据题意，，得。 五、等比中有等差 思路：利用等差中项 已知等比数列，若满足成等差数列， 解题思路：利用等差中项，，得 例1：已知等比数列满足a1＝2，且a1，a2，6成等差数列，则＝（　　） 解：根据题意，，得，得，。 例：设为等比数列的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则＝　　． 解2：设等比数列的公比为q，为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2＝S3+3S1，a1＝1，即4（1+q）＝1+q+q2+3，q＝3．∴。 六、等差中有等比 思路：利用等比中项 已知等差数列，若满足成等比数列， 解题思路：利用等比中项，，得 例1：等差数列的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则＝（　　） 解：根据题意，利用等比中项，，，得，得。 例2:等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为 解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴， ∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，解得d＝﹣2， ∴前6项的和为＝＝﹣24． 7、 等差数列求和中的最值问题 已知等差数列的前项和为 ①时，有最小值；②时，有最大值。 例1：记为等差数列的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15，求，并求的最小值。 解：∵等差数列{an}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2， ∴Sn＝＝＝n2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16， ∴当n＝4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16。 例2：记为等差数列的前n项和，，求，并求的最小值 解：根据题意，，解得，， ，当时，取得最大值为8。 八、累加法和累乘法求通项公式 1 累加法：形如，则 例：已知数列，满足，，求数列的通项公式 解：根据题意，，将加一个表达式得， 2 累乘法：形如，则 例：已知数列，满足，，求数列的通项公式 解：根据题意，。 九、数列求和 1分组求和：，其中是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和 （思路：等差数列求等差数列的和，等比数列求等比数列的和，然后加起来） 例1：已知数列的通项公式为，令，求的前n项和Tn． 解：可得，，则Tn＝b1+b2+•••+bn ＝（3×1+1+21）+（3×2+1+22）+•••+（3n+1+2n）＝3•（1+2+•••+n）+n+（21+22+•••+2n） ＝3•+n+＝2n+1+n2+n﹣2． 例2：已知数列和，若，求数列的前n项和． 解：可得， 则Sn＝（1+2+3+…+n）+（1+2+4+…+2n﹣1）＝+＝n（n+1）+2n﹣1。 2 裂项相消法： 模型：，，，。 例1：已知数列，满足，求的前n项和 解：由题意可知，，的前n项和 。 例2：已知数列，满足，求的前n项和 解：可知，，的前n项和 ＝（1﹣+﹣）+…+﹣）＝（1﹣）＝。 例3：已知数列，满足，求的前n项和 解：根据题意，， 3 错位相减法：，其中是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和 例1：已知数列，满足，求的前n项和 解：可得，nan＝n•2n，则Tn＝1•21+2•22+3•23+•••+n•2n， 2Tn＝1•22+2•23+•••+（n﹣1）•2n+n•2n+1， 两式相减，可得﹣Tn＝1•21+1•22+1•23+•••+1•2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1 ＝﹣（n﹣1）•2n+1﹣2，∴Tn＝（n﹣1）•2n+1+2。 例2：数列{an}满足a1＝1，nan+1＝（n+1）an+n（n+1），n∈N*． （Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设bn＝3n•，求数列{bn}的前n项和Sn． 证明（Ⅰ）∵nan+1＝（n+1）an+n（n+1），∴，∴， ∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，bn＝3n•＝n•3n， ∴•3n﹣1+n•3n① •3n+n•3n+1② ①﹣②得3n﹣n•3n+1 ＝＝，∴。 十、试题分析 1．已知{an}为各项均是正数的等比数列，a3a8+a4a7＝16，则log2a1+log2a2+…+log2a10＝（　　） 解：∵等比数列{an}各项均为正数，∴a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＞0．∵a3a8+a4a7＝16， ∴a3a8＝a4a7＝8．∴a5a6＝8，根据对数的运算性质，得log2a1+log2a2+…+log2a10＝log2（a1a2a3…a9a10）＝log2（a5a6）5＝log2（8）5＝15。 2．在等比数列{an}中，a2+a3＝1，a3+a4＝2，则a4+a5＝（　　） 解：设等比数列的公比为q，若a2+a3＝1，则a3+a4＝q（a2+a3）＝2，所以q＝2，所以a4+a5＝4， 3等比数列{an}中，a1+a2+a3＝4，a4+a5+a6＝8，则a7+a8+a9等于（　　） 解：由公比不为﹣1的等比数列的性质得：Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列， ∵等比数列{an}中，a1+a2+a3＝4，a4+a5+a6＝8，∴a7+a8+a9＝8×＝16。 4 为数列的前n项和，已知，，求的通项公式： 解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3，两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an）， ∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵当n＝1时，a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1。 ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$