复数统计经典方法汇总讲义-2025届高三数学一轮复习

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 ( 景泰 艺术 中学 复数和统计概率知识点 ) 1、 复数 （在实数的基础上对数进行扩充） 1 复数的代数形式 （代表实部，代表虚部，代表虚数单位） 如：复数，实部是3，虚部是-2。 2 对于复数， (1) 当时，此复数是____实数_____; (2)当时，此复数是____纯虚数_____; 例1：复数是纯虚数，则的值 解：是纯虚数，，则。 例2：复数是实数，则的值 解：是实数，，则。 3 对于复数，在复平面内对应的点坐标为__________。 也就是点对应所在的象限就是复数在复平面对应的象限。 对于复数， （1）当时，复数对应的点在复平面内属于第__一___象限。 （2）当时，复数对应的点在复平面内属于第__四___象限。 （3）当时，复数对应的点在复平面内属于第___三__象限。 （4）当时，复数对应的点在复平面内属于第__二___象限。 例1：已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 解：根据题意，复数在第四象限，，解得。 例2：复数在复平面内对应点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：根据题意，，此复数对应的点的坐标为，所以在复平面内对应点为第一象限。 4 复数的四则运算 已知两个复数，， （1） 复数的加法__________ （2）复数的减法__________ （3）规定，则，，， （4）复数的乘法____ （5）共轭复数=_______ 共轭复数=__________ （6）复数的除法（思路：就是分子和分母同时乘以分母的共轭复数） （7）求复数的模，（复数的模表示复数在复平面对应的点到坐标原点的距离，复数的模就是求得是长度） （8）复数的相等.（） 例1（复数相等）：如果,求的值 解：根据题意，两个复数相等，实部实部相等，虚部虚部相等，，解得。 例2（复数乘法）：求 解：根据题意，按照有理数的乘法去括号，。 例3：（复数的完全平方）：求 解：根据题意，按照完全平方差公式展开，。 例4：（复数除法）：求 解：根据题意，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，的共轭复数为，。 例4：（复数的模）：求 解：根据题意，求复数的模直接套公式，。 例5：（设复数的代数形式）：设2（z+）+3（z﹣）＝4+6i，则z＝（　　） 解：根据题意，求复数，则。 ，，解得，。 例6：（复数的虚部）复数满足，则的虚部为________ 解：根据题意，等式两边同时除以，， 则，的虚部为-1。 例7（复数的模）：若z＝1+i，则|iz+3|＝（　　） 解：根据题意，，。 例8（模的分解）：已知复数满足，求= 解：根据题意，将复数的乘积进行分解，，， ，则。 2、 统计 2.1.1简单随机抽样 1．总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体，把每个研究对象叫做个体。为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：研究，我们称它为样本，其中个体的个数称为样本容量． 2． 简单随机抽样，也叫纯随机抽样。 特点是：①每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等）， ②样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。 ③简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。 ④通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 简单随机抽样常用的方法： （1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。 3系统抽样（等距抽样或机械抽样或等差数列抽样）： 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模） 特点：① 首先对数据进行编号 ②，计算抽取间隔和组数。 ③ 确定每一组要抽取的编号 4分层抽样（类型抽样）： 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。 特点：①对题干分层 ②确定每一层内的样本数，计算分层的比例 ③ 列比例式计算 例1：先要完成下列2项抽样调查，①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄超过30岁但没超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本，较为合理的抽样方法是 ① ____________________②_____________________ 解：根据题意，① 是直接抽取，最适合的是简单随机抽样，② 有分层的特点，最适合的是分层抽样。 例2：某班有学生48人，现将所有学生按照1,2,3，....，48随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，抽的编号为6，x，22,30，y，46，则的值 解：根据题意，容量为6的样本分6个组，抽取间隔为，则，， 。 例3：某中学高二年级共有学生1600人，为了了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中有男生12人，则该校高二年级共有女生多少人？ 解：根据题意，题中分两层，容量为40的样本，其中有男生12人，女生为28人， 该校高二年级共有女生为。 5用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）平均数： （2）众数：一组数据中，出现次数最多的数 （3）中位数：一组数据中，按照从小到大的顺序排序，最中间的数是，如果最中间是两个数，则需要求两个数的平均数。 （4）样本方差： （5）样本标准差： 例：设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（　　） （公式：设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为t，则数据ax1，ax2，…，axn的方差为） 解：∵样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，∴数据10x1，10x2，…，10xn的方差为：100×0.01＝1。 6 频率分布直方图(每一个小矩形的面积代表本组的频率，所有小矩形的面积和为1) 例1：某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为，若低于60分的人数是15人， 求：（1）该班的学生人数是 （2） 该班学生的平均成绩 （3） 该班学生成绩的中位数 （4） 该班学生成绩的众数 解：根据题意，，， 本班学生成绩分四个组，组距为20，设班级人数是，第一组的频率为，频数是；第二组的频率为，频数是；第三组的频率为，频数是；第四组的频率为，频数是； （1）若低于60分对应为第一组和第二组，则，解得。 （2）因为平均成绩是近似数，所以用每组中间数来代替，第一组的平均数为；第二组的平均数为；第三组的平均数为；第四组的平均数为； 该班的平均成绩是四个组的平均成绩之和。 （3） 设该班学生成绩的中位数为，中位数就是该班学生成绩频率为0.5的时候对应的数，先确定学生成绩中位数在第几组，然后列表达式，前两组之和为，前三组之和为，则该班学生成绩的中位数在第三组，，则。 （4）该班学生成绩的众数也是近似数，且众数在第三组，众数为。 例2：某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ). 解：根据题意，，， 产品净重分五个组，组距为2，净重小于100克的频率为，设产品总数是，，解得，样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率和，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为。 例3：为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则估计该次数学成绩的中位数是（　　） 解：根据题意，所有的小矩形面积和为1，，解得，设该次数学成绩的中位数是，中位数就是该班学生成绩频率为0.5的时候对应的数，先确定学生成绩中位数在第几组，然后列表达式，前三组之和为，前四组之和为，则该班学生成绩的中位数在第四组，，则。 7 茎叶图（茎叶图的数据越像叶子，数据越稳定，茎叶图的数据越集中，数据波动越小。） 例1：景泰艺术中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加“希望杯”数学邀请赛，他们取得成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的中位数是84，乙班学生成绩的平均数是86。 求：（1）的值 （2）乙班的中位数和甲班的平均数 （3）求乙班学生成绩的方差 （4）比较两个班，你认为那个班的学生成绩更稳定 解：根据题意，（1）由甲班的学生成绩的中位数是84，可得， 乙班学生成绩的平均数是86，，解得，则。 (2) 根据题意，乙组中86是七个数的中间数，则86是乙班的中位数，甲班的平均数。 (3) 乙班学生成绩的方差，。 (4) 根据题意，甲班的成绩比乙班的成绩更集中，甲班的成绩与平均数的差更小，所以甲班的成绩更稳定。 例2：从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论正确的是 A 甲班数学成绩的中位数比乙班大 B 甲班数学成绩的平均数比乙班小 C 甲乙两班数学成绩的极差相等 D 甲班数学成绩的方差比乙班大 解：根据题意，甲班成绩的中位数是73，乙班成绩的中位数是69.5， 甲班成绩的平均数是71.4，乙班成绩的平均数是70.6， 甲班成绩的极差是42，乙班成绩的极差是41， 甲班成绩比乙班成绩更集中，说明甲班同学的波动比较小，则甲班数学成绩的方差更小， 则本题选A。 8 方差（方差或标准差越小，所对应的数据波动越小，数据稳定性越强。） 例1：某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生 1号 2号 3号 4号源:gkstkgkstk] 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为= . 解：根据题意，甲班投篮的平均数是7，乙班投篮的平均数是7， ，，则答案是。 模型：一组数据，它的平均数为，它的方差为。 ①改编数据，数据为，则它的平均数为，它的方差为。 ②改编数据，数据为，则它的平均数为，它的方差为。 例2：一组数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是 (　　) 解：由公式，解得；，。 9两个变量的线性相关 （1）直线回归方程的应用 ①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 ②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行 估计，即可得到个体Y值的容许区间。 ③利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。 （2）利用最小二乘法的思路求线性回归方程的基本步骤 一组数据， 第一步：求数据和的平均数，，。 第二步：利用公式 第三步： 第四步：将上述得到的数据代入线性回归方程为：。 例1：如表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量（单位：吨）与相应的生产能耗（单位：吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据， /吨 3 4 5 6 /吨 2.5 3 4 4.5 求得关于的线性回归方程为：，求的值 解：根据题意，，，其样本中心点在回归方程上，则，，则线性回归方程为。 例2：为了研究某班学生的右手一拃长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取了12名学生，根据测量数据得散点图可以看出和之间有线性关系，设其回归直线方程为，已知，若某学生的右手一拃长为22厘米，据此估计身高为 解：根据题意，，，线性回归方程为，其样本中心点在回归方程上，则，，得到的线性回归方程为，当时，学生身高为。 例3：我国西北某地区开展改造沙漠的巨大工程，该地区对近5年投入的沙漠治理经费（亿元）和沙漠治理面积（万亩）的相关数据统计如下： 3 4 5 6 7 10 12 11 12 20 由数据可知，线性相关，求直线回归方程 解：根据题意，，， =2 ，得线性回归方程为 10相关系数的题型(越接近1，越能拟合直线方程，常考模式为) 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量， 随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得 到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474． （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木 的总材积量的估计值。 附：相关系数r＝= 解：根据题意，（1）设这棵树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为， 则根据题中数据得：＝＝0.06m2，＝＝0.39m3； （2）由题可知，r＝＝＝＝＝≈0.97； （3）设从根部面积总和X，总材积量为Y，则，故Y＝＝1209（m3）。 总计 总计 11独立性检验 独立性检验的基本步骤： 第一步：要完成列联表 第二步：利用公式，求 第三步：对比临界值， P（） 0.050 0.40 0.10 0.010 0.005 0.001 3.841 0.708 2.706 6.635 7.879 10.828 第四步：下结论， 例：甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：K2＝． P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 由题设可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，B公司共240辆， ∴， ∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关． 12概率 基本概念： （1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件； （2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件； （4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件； （5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数；称事件A出现的比例为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。 （6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。 13概率的基本性质 一、基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （2）若A∩B为不可能事件，即，那么称事件A与事件B互斥； （3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件； 二、概率的基本性质： （1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； （2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； （3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)； （4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B同时不发生。 （5）而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；①事件A发生B不发生；②事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。 14古典概型及随机数的产生 （1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 （2）古典概型的解题步骤； ①求出总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式： 15几何概型及均匀随机数的产生 一、基本概念： （1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P（A）=； （3）几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等． 例1：（古典概型考题）同时掷两个骰子， 问：（1）两个骰子出现的点数的所有可能的情况 解：出现的点数总情况为：，， ，，，，共36种。 （2）计算向上的点数之和是5的概率是多少？ 设点数之和为5的事件为A，。 例2：（古典概型考题）A，B，C，D 4名同学站成一排，试求下列事件的概率 （1）4个人站成一排的所有可能情况 解：四人站成一排的总情况为：， ，， ，共24种。 （2）A在最左端 设在最左端的事件为A，。 （3）A在边上 设在边上的事件为A，。 （4）A和B都在边上 设和都在边上的事件为A，。 （5）A或B在边上 设或都在边上的事件为A， 例3：（古典概型考题） 一个盒子里面装有标号为1,2,3，，5的5张标签，随机地选择两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率。 （1） 标签的选取是无放回的 解：两张标签的总情况为：，，，，共20种，两张标签上的数字为相邻整数的情况是共8种，设两张标签上的数字为相邻整数的事件为A，。 （2） 标签的选取是有放回的。 解：两张标签的总情况为：，，，，共25种，两张标签上的数字为相邻整数的情况是共8种，设两张标签上的数字为相邻整数的事件为A，。 例4：（几何概型长度问题）在区间上随机取一个数，则的概率为 解：区间长度为，解得，区间长度为，设的事件为A，。 例5：（几何概型中的概率比问题）一个边成为2的正方形内有一个最大的圆，现将1000粒豆子撒在正方形内，求落在圆内的豆子大约有多少粒？（） 解：根据题意，利用面积比值，正方形的面积为4，最大圆的面积为，设落在圆内的豆子大约有粒，，，落在圆内的豆子大约有粒。 例6：（线段长度比）在区间上随机取一个数，则的概率为 解：根据题意，已知区间长度为3，，解得，要计算的概率区间长度为2，则。 例7：（线段长度比）已知，则的概率为 解：根据题意，已知区间长度为，，解得，要计算的概率区间长度为，则。 例8：在一个五等分的圆盘内随机取一点，则点取自阴影部分的概率为 解：根据题意，已知圆平均分成五份，阴影部分占2份，设阴影部分的事件为A，则。 例9：某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 解：根据题意，红灯持续时间为40秒，人等待的时间范围是秒，设至少需要等待15秒才出现绿灯的事件为A，。 例10：2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况． （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访． A B C D E F 子女教育 〇 〇 × 〇 × 〇 继续教育 × × 〇 × 〇 〇 大病医疗 × × × 〇 × × 住房贷款利息 〇 〇 × × 〇 〇 住房租金 × × 〇 × × × 赡养老人 〇 〇 × × × 〇 （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii ）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率． 解：根据题意（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10， 由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人； （Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}， {C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种； （ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 {A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，所以，事件M发生的概率P（M）＝． 例11：电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 解：（Ⅰ）总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，获得好评的第四类电影200×0.25=50， 故从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率=； （Ⅱ）获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372， 估计这部电影没有获得好评的概率为1﹣=0.814， （Ⅲ）故只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，则使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大。 例12：某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表． y的分组 [﹣0.20，0） [0，0.20） [0.20，0.40） [0.40，0.60） [0.60，0.80） 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01），附：≈8.602． 解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为：＝0.21＝21%，产值负增长的企业频率为：＝0.02＝2%， 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%； （2）企业产值增长率的平均数（﹣0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7）＝0.3＝30%，产值增长率的方差s2＝ ＝[（﹣0.4）2×2+（﹣0.2）2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]＝0.0296， ∴产值增长率的标准差s＝≈0.17， ∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17． 13：某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间（20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 解：（1）需求量不超过300瓶，即最高气温不高于，从表中可知有54天，∴所求概率为. （2）的可能值列表如下： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 300 900 900 900 低于：； ：；不低于： ∴大于0的概率为。 14：某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 解：（Ⅰ）由所给数据计算得 ， ， 所求回归方程为。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，将2015年的年份代号代入（Ⅰ）中的回归方程，得 ，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6800千元。 15：某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次空气质量等级 [0，200] （200，400] （400，600] 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次≤400 人次＞400 空气质量好 空气质量不好 附：K2＝ P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：（1）该市一天的空气质量等级为1的概率为：＝； 该市一天的空气质量等级为2的概率为：＝； 该市一天的空气质量等级为3的概率为：＝； 该市一天的空气质量等级为4的概率为：＝； （2）由题意可得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为： ＝[100×（2+5+6+7）+300×（16+10+7+2）+500×（25+12+8+0）]＝350， （3）根据所给数据，可得下面的2×2列联表， 人次≤400 人次＞400 总计 空气质量好 33 37 70 空气质量不好 22 8 30 总计 55 45 100 由表中数据可得：K2＝＝≈5.820＞3.841， 所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 16：小王某天乘火车从重庆到上海取办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响。求： （1） 这三列火车恰好有两列正点到达的概率； （2） 这三列火车至少有一列正点到达的概率 解：（1）根据题意，三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，则恰好有两列正点到达的概率为； （2）三列火车至少有一列正点到达的概率为。 ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$