5.5.1 两角和差的正弦、余弦、正切公式 导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【学习目标】 1.了解两角差的余弦公式的推导过程，知道两角差的余弦公式的意义.(数学抽象，逻辑推理) 2.能利用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.(数学运算、逻辑推理) 3.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式，两角和与差的正切公式，了解它们之间的内在联系. (数学抽象，逻辑推理) 课前三分钟激情朗读课本215-218页 【新知探究】 阅读课本215-218页，完成下列问题： （1） cos45°＝ ，cos30°＝ .那么cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°－cos30°成立吗？ 如果不成立的话，那么cos15°的值与cos45°和cos30°之间存在什么关系？ （2）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1、A1、P. 则P1、A1、P点的坐标如何表示？线段AP和A1P1有什么关系？则可以得到两角差的余弦与两角的余弦之间有什么关系？ 提示：回忆并熟记平面上两点间的距离公式. 1.两角差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝ α，β∈R 公式应用：计算cos15°，cos75° 【合作探究】 由两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式，两角和与差的正弦公式，两角和与差的正切公式 2.两角和的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝ α，β∈R 3.两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦公式 S(α＋β) sin(α＋β)＝ α，β∈R 两角差的正弦公式 S(α－β) sin(α－β)＝ α，β∈R 4.两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 条件 两角和的正切公式 T(α+β) tan(α＋β)＝ α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切公式 T(α－β) tan(α－β) ＝ α－β≠kπ＋(k∈Z) T(α±β)变形公式： ① .（当为特殊角时） ② .（遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形 【典例分析】 1.计算:（1）cos75°cos15°－sin75°sin195° (2). 2.已知，，且，，则cosβ的值为 3.已知，求的值． 4.已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值． 5.（多选）已知函数，则（ ） A．的最大值为1 B． C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 6.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求的值；（2）若角满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$