专题03 函数的奇偶性与幂函数重难点题型专训（23大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题03 函数的奇偶性与幂函数重难点题型专训（23大题型+20道拓展培优） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 函数图像的识别 题型六 画出具体函数图象 题型七 根据实际问题作函数图像 题型八 函数图象的应用 题型九 判断函数是否是幂函数 题型十 求幂函数的值 题型十一 求幂函数的解析式 题型十二 根据函数是幂函数求参数值 题型十三 求幂函数的定义域 题型十四 求与幂函数有关的复台函数定义域 题型十五 求幂函数的值域 题型十六 幂函数图象的判断及应用 题型十七 幂函数图象过定点问题 题型十八 判断一般幂函数的单调性 题型十九 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型二十 幂函数的单调性的其他应用 题型二十一 判断五种常见幂函数的奇偶性 题型二十二 幂函数的奇偶性的应用 题型二十三 函数图象的变换 知识点01：函数奇偶性的概念 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立． 3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔＝-1. ②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔＝1. 知识点02：函数奇偶性的常用结论 1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 知识点03：幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 注意点： (1)自变量前的系数是1. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数． (4)函数的定义域与α有关． 注意点： (1)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． (2)在第一象限内，在x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高). 知识点04：幂函数的性质及应用 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 增函数 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 注意点： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上，函数单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)若α为奇数，则幂函数为奇函数， 若α为偶数，则幂函数为偶函数． 【经典例题一 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·北京西城·期中）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 2．（23-24高一上·北京朝阳·期中）已知函数.关于的性质，有以下四个推断： ①的定义域是；    ②是奇函数； ③在区间上单调递增；    ④的值域是. 其中推断正确的是 . 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 【经典例题二 由奇偶性求函数解析式】 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③，都有. 试写出一个函数解析式 . 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是奇函数，且． (1)求的解析式； (2)判断在区间上的单调性并用定义证明； (3)直接写出的单调区间（不需要证明过程）． 【经典例题三 函数奇偶性的应用】 【例3】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 1．（23-24高一上·北京·期中）已知为上的奇函数，当时，，则（　　） A． B．0 C．2 D．4 2．（2024高三·北京·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，那么不等式的解集是 ．    3．（23-24高一上·北京顺义·期中）设是定义在R上的奇函数，当时，， (1)求 (2)求在R上的解析式. 【经典例题四 抽象函数的奇偶性】 【例4】（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 1．（21-22高一上·北京西城·期中）已知函数g(x)=f(x)+2，若f(x)是奇函数，且g(1)=3，则g(-1)=(    ) A．-1 B．-3 C．1 D．3 2．（23-24高一上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论： ①； ②是上的偶函数， ③若，则； ④函数在上是减函数. 其中所有正确结论的序号是 . 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立. (1)求 (2)判断的奇偶性并证明 (3)证明在上单调递减 【经典例题五 函数图像的识别】 【例5】（22-23高一上·北京·期中）已知函数和的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·北京昌平·期中）函数表示的图象可能是下图中的（    ） A．  B．  CD．   2．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）已知常数，函数，则a，b，c的大小关系用“＜”可以表示为 ． 3．（22-23高一上·甘肃庆阳·阶段练习）根据如图所示的函数的图象，（）， （1）写出f(x)的解析式. （2）写出f(x)的值域。 【经典例题六 画出具体函数图象】 【例6】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高三上·江苏徐州·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）作出函数的大致图像． 【经典例题七 根据实际问题作函数图像】 【例7】（23-24高一上·河南南阳·期末）如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·全国·单元测试）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·课后作业）某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了，再折回匀速前进，则此人距起点的距离与时间的关系示意图正确的是 （填序号）． 3（22-23高一·全国·课后作业）整个上午（8:00～12:00）天气越来越暖，中午时分（12:00～13:00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.画出这天8:0～20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间. 【经典例题八 函数图象的应用】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）已知图甲是函数的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是（    ）.    A． B． C． D． 1．（2024高一下·上海·专题练习）已知函数则下列描述中正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数有最小值，无最大值 D．函数的图象是两条射线 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 【经典例题九 判断函数是否是幂函数】 【例9】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）幂函数的概念 一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数 叫作（α次）幂函数． 3．（23-24高一下·全国·课后作业）判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【经典例题十 求幂函数的值】 【例10】（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 1．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知幂函数，满足，，，则（    ） A．4 B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数，. （1）求证：是奇函数并求的单调区间； （2）分别计算合的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个式，并加以证明.， 【经典例题十一 求幂函数的解析式】 【例11】（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若幂函数的图象经过点，求此幂函数的表达式． 【经典例题十二 根据函数是幂函数求参数值】 【例12】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川泸州·开学考试）已知函数是幂函数且图象与轴无交点，则的值为 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，当取何值时： (1)该函数是正比例函数； (2)该函数是反比例函数； (3)该函数是幂函数． 【经典例题十三 求幂函数的定义域】 【例13】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 1．（21-22高一上·湖南益阳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域，并作出它们的大致图象： (1)； (2)； (3)． 【经典例题十四 求与幂函数有关的复台函数定义域】 【例14】．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，集合，集合C为函数的定义域. （1）求； （2）若，求实数m的取值范围. 【经典例题十五 求幂函数的值域】 【例15】（24-25高三上·福建·阶段练习）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高一·全国·课堂例题）（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 3．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【经典例题十六 幂函数图象的判断及应用】 【例16】（24-25高一·上海·课堂例题）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图像经过的“卦限”是 ．    3．（24-25高一上·上海·课前预习）函数是幂函数吗？它的图像怎样． 【经典例题十七 幂函数图象过定点问题】 【例17】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知定义在上的幂函数，则（    ） A．0 B． C．1 D．不确定 2．（24-25高一上·上海·课前预习）幂函数的性质 （1）所有幂函数图像都过定点 ； （2）在第一象限，当时，函数图像随着的（严格）增大而（严格）增大．此时称幂函数在区间上是严格增函数；当时，函数图像随着的（严格）增大而（严格）减小．此时称幂函数在区间上是严格减函数． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式：． 【经典例题十八 判断一般幂函数的单调性】 【例18】（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一·上海·课堂例题）下列命题中，正确的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线； B．幂函数的图象都经过和两个点； C．若幂函数的图象关于原点成中心对称，则在区间上是严格增函数； D．幂函数的图象不可能在第四象限． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点． (1)求幂函数解析式； (2)求证：幂函数在区间上是严格增函数． 【经典例题十九 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 【例19】（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C． D． 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 3．（21-22高一上·广西·阶段练习）已知幂函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)设函数，写出函数的单调区间和值域． 【例20】（21-22高一上·四川凉山·期末）已知，若，则（ ） A．－2 B．－1 C． D．2 1．（22-23高一·全国·课后作业）已知.若满足：当时，恒成立，则k取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24高一下·江苏镇江·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 3．（2022高三·全国·专题练习）分别画出：①，②，③，④的大致图象． 【经典例题二十一 判断五种常见幂函数的奇偶性】 【例21】（24-25高一·上海·课堂例题）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知幂函数的图像与、轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的草图. 【经典例题二十二 幂函数的奇偶性的应用】 【例22】（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 1．（22-23高一上·北京·期末）已知幂函数的图象经过点，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数和，说明这两个函数图象之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象． 【经典例题二十三 函数图象的变换】 【例23】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 1．（23-24高一上·广东肇庆·开学考试）把抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象右移 个单位. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）作出函数的大致图像． 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）设函数是定义在上的奇函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 3．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 4．（23-24高三上·上海·期中）设函数，则点不可能在函数（    ）的图像上． A． B． C． D． 5．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 6．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知定义在上的函数满足：对，且，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（    ） A． B．0 C． D．1 8．（23-24高一上·江西南昌·期中）下列说法正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．和表示同一个函数 C．不是幂函数 D．若满足，则不是单调递增函数 9．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．的解集为 D． 10．（21-22高一上·江苏常州·期中）下列四个命题是真命题的是（    ）． A．函数与函数表示同一个函数 B．奇函数的图像不一定通过直角坐标系的原点 C．函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到 D．若函数，则 11．（2024·内蒙古包头·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则 ． 12．（23-24高一上·四川成都·期末）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是 . 13．（2024高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为 . 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个． 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设a、b、c是实数，对于下列命题：①如果，那么，其中是正整数；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，其中是正整数；⑤如果，那么；⑥如果，那么.其中真命题的序号为 . 16．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有..，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； 17．（23-24高一上·福建宁德·期末）定义域为的奇函数只能同时满足下列的两个条件： ①在区间上单调递增    ②    ③ (1)请写出这两个条件的序号，并求的解析式； (2)判断在区间的单调性，并用定义证明. 18．（21-22高一上·安徽·期中）已知幂函数的图像过点. (1)求的值； (2)证明：函数是增函数. 19．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数，且图像不过原点. (1)求出的表达式，并写出它的单调区间； (2)记，判断函数的奇偶性，并证明. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）写出一个图象经过第一、第二象限但不经过原点的幂函数的表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的奇偶性与幂函数重难点题型专训（23大题型+20道拓展培优） 题型一 函数奇偶性的定义与判断 题型二 由奇偶性求函数解析式 题型三 函数奇偶性的应用 题型四 抽象函数的奇偶性 题型五 函数图像的识别 题型六 画出具体函数图象 题型七 根据实际问题作函数图像 题型八 函数图象的应用 题型九 判断函数是否是幂函数 题型十 求幂函数的值 题型十一 求幂函数的解析式 题型十二 根据函数是幂函数求参数值 题型十三 求幂函数的定义域 题型十四 求与幂函数有关的复台函数定义域 题型十五 求幂函数的值域 题型十六 幂函数图象的判断及应用 题型十七 幂函数图象过定点问题 题型十八 判断一般幂函数的单调性 题型十九 判断与幂函数相关的复合函数的单调性 题型二十 幂函数的单调性的其他应用 题型二十一 判断五种常见幂函数的奇偶性 题型二十二 幂函数的奇偶性的应用 题型二十三 函数图象的变换 知识点01：函数奇偶性的概念 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： 1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立． 3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔＝-1. ②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔＝1. 知识点02：函数奇偶性的常用结论 1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. 2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 知识点03：幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 注意点： (1)自变量前的系数是1. (2)幂的系数为1. (3)α是任意常数． (4)函数的定义域与α有关． 注意点： (1)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近． (2)在第一象限内，在x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高). 知识点04：幂函数的性质及应用 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 增函数 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 注意点： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上，函数单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义． (4)若α为奇数，则幂函数为奇函数， 若α为偶数，则幂函数为偶函数． 【经典例题一 函数奇偶性的定义与判断】 【例1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 1．（23-24高一上·北京西城·期中）函数的奇偶性是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性定义判定即可. 【详解】由函数解析式可知，即定义域关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. 故选：A 2．（23-24高一上·北京朝阳·期中）已知函数.关于的性质，有以下四个推断： ①的定义域是；    ②是奇函数； ③在区间上单调递增；    ④的值域是. 其中推断正确的是 . 【答案】②③④ 【分析】由，即可判断①，由函数奇偶性的定义即可判断②，由定义法证明函数的单调性，即可判断③，由基本不等式结合函数的奇偶性，即可判断④. 【详解】因为，所以函数的定义域为，故①错误； 因为，所以是奇函数，故②正确； 任取，且，则 ， 因为，且，所以，， 所以，即在区间上单调递增，故③正确； 当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 由②可知，函数为奇函数，所以时，， 当时，，所以的值域是，故④正确； 故答案为：②③④ 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值、最小值分别为. 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明. （2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论. （3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值． 【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，， 所以函数为奇函数. （2）对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即， 所以函数在区间上为增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 【经典例题二 由奇偶性求函数解析式】 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 当时可将其代入时的解析式求出，再通过奇偶性将其转化为即可. 【详解】设，则. 可得，又函数f(x)是奇函数． ∴， ∴. 故选：B. 1．（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】解：由题意得： 当时，， 函数是R上的奇函数，故 故选：C 2．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③，都有. 试写出一个函数解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题设写出一个定义域为R，值域为的偶函数即可. 【详解】由题设，是定义域为R，值域为的偶函数， 所以满足. 故答案为：（答案不唯一） 3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是奇函数，且． (1)求的解析式； (2)判断在区间上的单调性并用定义证明； (3)直接写出的单调区间（不需要证明过程）． 【答案】(1) (2)在区间上单调递减，证明见详解 (3)增区间为和，减区间为和 【分析】（1）根据奇函数的定义及，即可求解； （2）依据函数的解析式判断出函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）根据函数的图象直接写出函数的单调区间即可. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 所以，即， 因为不恒等于零， 所以，所以， 又，即，故， 所以的解析式为. （2）在区间上单调递减，证明如下： 任取且， 又， 则 ， 因为且， 所以， 故，即， 所以在区间上单调递减. （3）函数的定义域为，其图象如下： 故函数的增区间为和，减区间为和 【经典例题三 函数奇偶性的应用】 【例3】（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】由函数为奇函数，有，代入函数解析式求值即可． 【详解】是定义在上的奇函数，当时，， 则． 故选：B． 1．（23-24高一上·北京·期中）已知为上的奇函数，当时，，则（　　） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，为上的奇函数，所以， 且， 所以. 故选：A 2．（2024高三·北京·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，那么不等式的解集是 ．    【答案】或 【分析】根据偶函数图象关于y轴对称，补全函数在上的图象，找到自变量x与函数异号的部分，进而求解. 【详解】因为偶函数的图象关于y轴对称，所以函数在上的图象如图所示， 所以的解集为或. 故答案为：或.    3．（23-24高一上·北京顺义·期中）设是定义在R上的奇函数，当时，， (1)求 (2)求在R上的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由代入求解即可. （2）当时，，代入函数解析式根据奇函数性质得到答案. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以. （2）当时，，则， 因为函数为奇函数，所以， 即时，的解析式为； 则在R上的解析式为： 【经典例题四 抽象函数的奇偶性】 【例4】（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，进行赋值求解即可. 【详解】因为是奇函数， 所以有 即. 故选：A 1．（21-22高一上·北京西城·期中）已知函数g(x)=f(x)+2，若f(x)是奇函数，且g(1)=3，则g(-1)=(    ) A．-1 B．-3 C．1 D．3 【答案】C 【分析】结合已知条件首先求出，然后利用奇函数的性质求出，进而即可求出. 【详解】由题意可知，，则， 因为是奇函数，所以， 故. 故选：C. 2．（23-24高一上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论： ①； ②是上的偶函数， ③若，则； ④函数在上是减函数. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】通过对分别赋值，逐个分析四个结论. 【详解】对于①，令，则，当时，，所以，所以，故①正确； 对于②，令，则，， 由当时，，所以，所以，得， 故②错误； 对于③，令，则，得， 令，则，得， 故③正确 对于④，设，则， 当时，，所以， 由已知得， 所以，故④正确. 故答案为：①③④ 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立. (1)求 (2)判断的奇偶性并证明 (3)证明在上单调递减 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令计算可得，再由可得结论； （2）由可得证； （3）由可证． 【详解】（1）由对任意，总有， 令，则，则， 又由，得， 则， （2）令，则， 则有，故，则是奇函数 （3）设任意，， 则， 又，则，则， 则在上单调递减. 【经典例题五 函数图像的识别】 【例5】（22-23高一上·北京·期中）已知函数和的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数和的性质和符号即可得到结论. 【详解】由已知，函数和均为偶函数， 所以，函数为偶函数； 又因为，当时，，，则应有恒成立. 只有A项符合要求. 故选：A. 1．（23-24高一上·北京昌平·期中）函数表示的图象可能是下图中的（    ） A．  B．  CD．   【答案】C 【分析】根据的正负去绝对值，再利用反比例函数的图象判断即可. 【详解】由题意可知当时，，排除BD， 当时，，排除A， 故选：C 2．（21-22高一上·上海黄浦·阶段练习）已知常数，函数，则a，b，c的大小关系用“＜”可以表示为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数的图像分析其定义域，可得；由图像经过，可得c=0； 由区间上，，判断出.即可得到答案. 【详解】由函数，则， 而函数的图像由两个间断点，则有，即函数的定义域为. 由图像经过，则有f(0)＝c=0； 在区间上，，而，则有，故必有. 所以. 故答案为： 3．（22-23高一上·甘肃庆阳·阶段练习）根据如图所示的函数的图象，（）， （1）写出f(x)的解析式. （2）写出f(x)的值域。 【答案】（1） （2）值域为 【分析】（1）当时，设即可得解析式，当，时，由图象可直接得解析式； （2）结合函数图象即可得到函数的值域. 【详解】（1）当，设， 由的图象经过，即，解得 故； 当时，； 当时，， 综上：. （2）结合函数的图象知，当时，； 当时，； 综上：的值域为. 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，属于基础题. 【经典例题六 画出具体函数图象】 【例6】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得在区间上，可得，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数满足，且当时， 当时，可得； 当时，可得， 所以在区间上，可得， 作函数的图象，如图所示， 所以当时，， 故选：B.    1．（20-21高三上·江苏徐州·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用函数的奇偶性排除C和D，代入特值排除B，可得选项． 【详解】是偶函数，排除C和D 又，排除B 故选：A 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数奇偶性的应用，属于基础题． 2．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】将绝对值去掉，转化为分段函数，画出图象求解即可. 【详解】，画出函数图象，    结合图象得函数的单调递增区间为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）作出函数的大致图像． 【答案】详见解析 【分析】将函数化为，利用反比例函数的图象，由平移变换即可作出图象. 【详解】， 可由向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 图象如图所示： 【经典例题七 根据实际问题作函数图像】 【例7】（23-24高一上·河南南阳·期末）如图，一高为的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为.若鱼缸水深为时，匀速注水所用的时间为，则函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将容器看做一个球体，根据的实际意义求解． 【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的时间， 高度的变化较大，即较大， 到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，的变化率较小，接近于球体的顶端时，的变化率又较大． 故选：D． 1．（22-23高一上·全国·单元测试）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论点P处于不同位置时的面积y与x之间的关系，得出解析式，继而可得其大致图象. 【详解】根据题意可得，当时（如图1所示），S△APM＝=x； 当时（如图2所示），S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM ＝； 当时（如图3所示），S△APM＝， ∴ 根据函数解析式，结合图形，可知选项A符合， 故选A． 2．（22-23高一·全国·课后作业）某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了，再折回匀速前进，则此人距起点的距离与时间的关系示意图正确的是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】根据，知道图像的第一段应为正比例函数模型，到达目的地后游玩了一段时间即第二段应为常值函数，原路返回匀速行驶了即第三段应为一次函数模型且呈下降趋势，再折回匀速前进，即第四段又为上升趋势. 【详解】注意理解两坐标轴，的含义，这里是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知③符合． 【点睛】本题考查函数图像的识别，根据实际问题中距离与时间的关系选出合适的函数图像，属于基础题. 3．（22-23高一·全国·课后作业）整个上午（8:00～12:00）天气越来越暖，中午时分（12:00～13:00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.画出这天8:0～20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间. 【答案】图见解析，单调增区间：，；单调减区间：，. 【分析】依题意得到函数的大致图象，结合图象分析单调性. 【详解】解：依题意可得函数的一个可能图象如下图所示. 单调增区间：，；单调减区间：，. 【点睛】本题考查函数图象以及函数的单调性及应用，属于基础题. 【经典例题八 函数图象的应用】 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）已知图甲是函数的图象，图乙是由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图可知，甲、乙轴右侧部分的图象一致，再将乙图右侧的图象沿翻折即可得到图乙的图象，据此可得到答案. 【详解】设图乙对应的函数为， 由图可知当时，， 当时，， 所以. 故选：A. 1．（2024高一下·上海·专题练习）已知函数则下列描述中正确的是（   ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数有最小值，无最大值 D．函数的图象是两条射线 【答案】B 【分析】画出函数图象即可求解. 【详解】函数的图象如下图所示： 由图可得：函数的图象无对称轴，故A选项错误； 函数的图象关于点对称，故B选项正确； 函数有最小值，有最大值，故C选项错误； 函数的图象是两条射线和一条线段，故D选项错误. 故选：B． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 【答案】，. 【分析】根据函数图象即可求解最大值和最小值. 【详解】由图可知：当时，取最大值，当时，取最小值， 故答案为：， 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，． (1)作出，的图像； (2)对任意，用表示、中的较小者，记作，请用图像法和解析法表示． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据绝对值的性质去绝对值，即可得函数表达式，进而根据一次函数的性质作出图象即可， （2）根据的定义，即可结合函数图象求解. 【详解】（1） 图像如图． （2）函数的图像如图． 表达式为 【经典例题九 判断函数是否是幂函数】 【例9】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义即可得解. 【详解】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 1．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列函数中幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接得出结果. 【详解】A：函数为一次函数，故A不符合题意； B：函数为二次函数，故B不符合题意； C：函数为二次函数，故C不符合题意； D：函数为幂函数，故D符合题意. 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课前预习）幂函数的概念 一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数 叫作（α次）幂函数． 【答案】 【分析】略 【详解】一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数叫作（α次）幂函数． 故答案为：. 3．（23-24高一下·全国·课后作业）判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)不是幂函数； (2)不是幂函数； (3)幂函数 (4)不是幂函数； (5)不是幂函数； (6)幂函数 【分析】形如的函数叫幂函数，由幂函数的定义可知（1）（2）（4）（5）不是幂函数，只有（3）（6）为幂函数. 【详解】（1），当时，不是幂函数，所以该函数不是幂函数； （2），两个幂函数和的形式，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （3），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数； （4），底数不是，属于复合函数，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （5），系数不为，与幂函数的定义不相符，所以该函数不是幂函数； （6），满足幂函数的定义相符，所以该函数是幂函数. 【经典例题十 求幂函数的值】 【例10】（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用分段函数的概念计算即可. 【详解】由题意知. 故选：D 1．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）已知幂函数，满足，，，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的解析式列方程，化简求得正确答案. 【详解】依题意，， 两边平方得. 故选：D 2．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 【答案】2 【分析】设，是常数，代入已知条件运算求解． 【详解】设，是常数，则，解得 则． 故答案为：2． 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数，. （1）求证：是奇函数并求的单调区间； （2）分别计算合的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个式，并加以证明. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义证明出函数为奇函数，然后利用函数单调性的性质得出函数的单调区间； （2）分别求出和的值，然后根据等式的规律得出结论，并进行证明. 【详解】（1）函数的定义域，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数. 幂函数在上单调递增，幂函数的单调递减区间为和， 所以，函数的单调递增区间为和； （2）， 同理可得， 由此概括出对所有不等于零的实数有：，证明如下： ，因此，等式成立. 【点睛】本题主要考查函数单调性与奇偶性的判断，考查指数幂的运算，解题时要熟悉函数单调性和奇偶性定义的基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 【经典例题十一 求幂函数的解析式】 【例11】（23-24高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【详解】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知幂函数的图象经过点，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】运用待定系数法求幂函数解析式，再代入求值即可. 【详解】幂函数的图象经过点， 设幂函数，将点代入解析式得到，即，解得. 故.故. 故选：A. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由幂函数解析式结合图象过点得，则，由分母中根式内部的代数式大于0求解定义域. 【详解】设幂函数． 的图象过点， ，． ， ， 则，即， 的定义域为． 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）若幂函数的图象经过点，求此幂函数的表达式． 【答案】 【分析】代入点的坐标，即可求幂函数的解析式. 【详解】代入点得，，即，得， 所以幂函数的表达式为 【经典例题十二 根据函数是幂函数求参数值】 【例12】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，则， 所以. 故选：D. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式即可. 【详解】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以 所以该幂函数的解析式是. 故选：B 2．（24-25高二上·四川泸州·开学考试）已知函数是幂函数且图象与轴无交点，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义得到或，再判断与轴是否有交点即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，，因为，所以与轴无交点. 当时，，过，与轴有交点，舍去. 综上：. 故答案为：2 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，当取何值时： (1)该函数是正比例函数； (2)该函数是反比例函数； (3)该函数是幂函数． 【答案】(1)． (2)或2． (3) 【分析】（1）根据正比例函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可； （2）依题意可得，解得即可； （3）根据幂函数的定义得到，解得即可. 【详解】（1）∵为正比例函数， ∴． （2）∵为反比例函数， ∴， ∴或． （3）∵为幂函数， ∴， ∴． 【经典例题十三 求幂函数的定义域】 【例13】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数定义域得到不等式，结合求出，检验后得到答案. 【详解】因为幂函数的定义域为R，故， 解得， 又，所以， 检验，时，，即，满足题意． 故选：C 1．（21-22高一上·湖南益阳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】因为，则，可得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个． 【答案】3 【分析】根据次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域． 【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域，并作出它们的大致图象： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)定义域为，图象见解析 (2)定义域为，图象见解析 (3)定义域为，图象见解析 【分析】根据幂函数的性质求定义域，再根据性质画出函数的图象. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以函数在第一象限单调递增，且满足， 所以函数是奇函数，关于原点对称，过点，，， 作出函数的大致图象，如下图所示， （2）函数的定义域为， 因为，所以函数在第一象限单调递减，且过点，，， 作出函数的大致图象，如图所示， （3）的定义域为， 因为，所以函数在第一象限单调递增，且满足， 所以函数是偶函数，关于轴对称，且过点，，， 【经典例题十四 求与幂函数有关的复台函数定义域】 【例14】．（23-24高一上·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：B 1．（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合，集合，集合C为函数的定义域. （1）求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由集合得到集合，由集合得到，则的答案可求； （2）由集合为函数的定义域得到，若，则，即可求出的取值范围． 【详解】集合，集合，， （1）； （2）集合为函数的定义域， ．解得：且． 所以且； 若，所以，则， 解得：． 【点睛】本题考查集合的包含关系判断及应用，考查交集及其运算，考查运算求解能力，属于基础题． 【经典例题十五 求幂函数的值域】 【例15】（24-25高三上·福建·阶段练习）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件． 故选：A 1．（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出值域，得到，故A是B的真子集，得到答案. 【详解】由幂函数的性质可知，则A是B的真子集， 则是的充分不必要条件. 故选：A 2．（22-23高一·全国·课堂例题）（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 【答案】 【分析】（1）（2）（3）（4）将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域． 【详解】（1）的定义域为， 因为，所以，所以值域为． （2） 由，得，所以定义域为， 由，得，所以值域为． （3） 由，得，所以定义域为， 因为，所以，所以值域为． （4）， 由，得，所以定义域为， 因为，所以，则，所以值域为． 故答案为：，，，，，，， 3．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由幂函数的性质列出方程即可求得，从而得到函数的解析式； （2）根据题意，由幂函数的值域即可求得结果. 【详解】（1）∵，其中， 当时，当时，当时，（）， ∵在区间上单调递增，∴，或 选①时，可知函数为偶函数，则的解析式为， 选②时，可知函数为奇函数，则的解析式为. （2）若函数 易知在上单调递减，在上单调递增 当时，，当时，， ∴的值域为. 若，易知在上是增函数 当时，，当时，， ∴的值域为. 【经典例题十六 幂函数图象的判断及应用】 【例16】（24-25高一·上海·课堂例题）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和幂函数性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C. 故选：A. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图像经过的“卦限”是 ．    【答案】①⑤ 【分析】分别求出在和上的函数值范围，结合卦限概念即可判断. 【详解】对于函数，当时，， 故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过①卦限； 而当时，， 故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过⑤卦限. 故答案为：①⑤. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）函数是幂函数吗？它的图像怎样． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合幂函数的定义，即可求解. 【详解】解：结合幂函数的定义，可得函数是幂函数，它的图像是平行于轴的一条直线，不包含点． 【经典例题十七 幂函数图象过定点问题】 【例17】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 1．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知定义在上的幂函数，则（    ） A．0 B． C．1 D．不确定 【答案】B 【分析】根据常见幂函数的图象特点求解即可. 【详解】由题意函数过点，， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·课前预习）幂函数的性质 （1）所有幂函数图像都过定点 ； （2）在第一象限，当时，函数图像随着的（严格）增大而（严格）增大．此时称幂函数在区间上是严格增函数；当时，函数图像随着的（严格）增大而（严格）减小．此时称幂函数在区间上是严格减函数． 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）解关于的不等式：． 【答案】 【分析】由已知可得，根据幂函数的图象即可求解. 【详解】因为，所以， 画出，的图象如图， 由图知解集为. 【经典例题十八 判断一般幂函数的单调性】 【例18】（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则“”是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】运用充分，必要条件知识，结合幂函数单调性可解. 【详解】,则，且在单调递增.故. 反过来，如果，则,可以为负数.推不出. 故“”是的充分不必要条件. 故选：Ａ． 1．（23-24高一·上海·课堂例题）下列命题中，正确的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线； B．幂函数的图象都经过和两个点； C．若幂函数的图象关于原点成中心对称，则在区间上是严格增函数； D．幂函数的图象不可能在第四象限． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象和性质，即可判断选项. 【详解】A. 的定义域为，所以表示除去点的直线，故A错误； B.幂函数，当时，过点和两个点，时，只过点，故B错误； C.当时，幂函数的图象关于原点成中心对称，在区间上是严格减函数，故C错误； D.由幂函数的性质可知，幂函数不可能在第四象限，故D正确. 故选：D 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，即可判断函数的单调递减区间. 【详解】设幂函数为，由题意可知，，则， 即，由幂函数性质可知，函数在单调递减， 因为函数为偶函数，所以在单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点． (1)求幂函数解析式； (2)求证：幂函数在区间上是严格增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由幂函数的解析式列出方程，求解即可； （2）由函数单调性的定义结合不等式的性质证明即可. 【详解】（1）因为的图像经过点，所以，则． （2）证明：由（1）可知，， 设，可得， 所以， 即， 所以在区间上是严格增函数． 【经典例题十九 判断与幂函数相关的复合函数的单调性】 【例19】（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）函数在区间上的最小值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性计算可得. 【详解】因为，所以在上单调递增， 所以. 故选：B 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 2．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题设，结合二次函数性质确定开口和对称轴，讨论、，应用复合函数单调性判断的增区间，结合已知求参数范围. 【详解】由题设，对于，开口向上且对称轴为， 而对于在定义域上递增， 当，则定义域为，故在 上递减，在上递增， 此时在上递增，结合题设递增区间，有，显然恒成立； 当，则定义域为，故在 上递减，在上递增， 此时在上递增，结合题设递增区间，有， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 3．（21-22高一上·广西·阶段练习）已知幂函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2)设函数，写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为． 【分析】（1）待定系数法去求函数的解析式； （2）依据反比例函数性质即可得到函数的单调区间和值域． 【详解】（1）设，则，则， ∴函数的解析式为． （2）因为， ∴函数的单调递增区间为，，无单调递减区间，值域为． 【经典例题二十 幂函数的单调性的其他应用】 【例20】（21-22高一上·四川凉山·期末）已知，若，则（ ） A．－2 B．－1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据指数的运算性质，结合幂函数的性质进行求解即可. 【详解】设，由 ， 当且时，即时，等式显然成立， 当时，则有，因为， 所以， 当时，则有，即， 因为函数是实数集上的增函数， 由，而与矛盾， 所以不成立， 当时，则有，即， 因为函数是实数集上的增函数， 由，而与矛盾， 所以不成立， 综上所述：， 故选：A 【点睛】关键点睛：利用幂函数的单调性是解题的关键. 1．（22-23高一·全国·课后作业）已知.若满足：当时，恒成立，则k取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以.要使， 则在区间上应大于0，所以，，，1时显然不成立. 当时，，在区间上有成立； 当时，，在区间上有成立； 当时，，在区间上有成立； 当时，，由及，知成立； 当时，，由及，知成立. 综上所述，k可取的值共有4个. 故选：A 2．（23-24高一下·江苏镇江·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ． ①； ②对于任意两个不同的正数，都有恒成立； ③对于任意两个不同的实数，都有． 【答案】（答案不唯一） 【分析】取，再逐一验证即可. 【详解】当时， 对于①，，故满足①； 对于②，由对于任意两个不同的正数，都有恒成立， 得函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，故满足②； 对于③，任取， 则， 因为，所以， 即， 所以，故满足③. 故答案为：（答案不唯一）. 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知幂函数的图像与、轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的草图. 【答案】 ；草图见祥解 【分析】根据幂函数的性质，可得到，再有图像关于对称，即可求得的值． 【详解】因为幂函数的图像与坐标轴无交点，所以，解得 ，又因为，所以， 因为图像关于对称，所以幂函数为偶函数， 当时，则为奇函数，不满足题意； 当时，则 为偶函数，满足题意； 当时，则为奇函数，不满足题意； 综上所述：       草图（如下） 【点睛】本题考查幂函数的性质和图像，需熟练掌握幂函数的性质和图像． 【经典例题二十一 判断五种常见幂函数的奇偶性】 【例21】（24-25高一·上海·课堂例题）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由各幂函数的性质判断各项是否符合要求即可． 【详解】A项，函数图象在第一象限，故不关于轴对称，故不符合； B项，函数图象关于原点对称，且过，符合； C项，指数小于0，故其图象不过点，故不符合； D项，函数图象关于原点对称，故不符合； 故选：B 1．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 【详解】对于A，为偶函数，不符合题意； 对于B，为奇函数，且在区间上单调递减，符合题意； 对于C，为偶函数，不符合题意； 对于D，为奇函数，且在区间上单调递增，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数m的值. 【详解】由为幂函数知：，解得或， ∴当时，；当时， 又是偶函数，故，即. 故答案为：. 3．（23-24高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点． (1)求此函数的解析式． (2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减． (3)判断函数的奇偶性并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)非奇非偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义求解即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）判断出函数的定义域，结合奇偶性的定义求解即可． 【详解】（1）由题意，设，则，故， 所以； （2）设任意且， 则， 而，，， 故，即 函数在上单调递减． （3）函数的定义域为，不关于原点对称， 则函数为非奇非偶函数． 【经典例题二十二 幂函数的奇偶性的应用】 【例22】（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知函数为幂函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据幂函数求解，再判断函数为奇函数，从而利用奇函数性质求解即可. 【详解】由题意有，可得，其定义域为R， 且，则函数为奇函数， 所以. 故选：A. 1．（22-23高一上·北京·期末）已知幂函数的图象经过点，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出幂函数的解析式，利用幂函数的单调性可求出函数的单调递增区间. 【详解】设，则，所以，可得， 所以，，该函数的定义域为， ，即函数为偶函数， 所以，函数的减区间为，增区间为. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数的图象经过点，则该函数的图象关于 ．（填“原点中心对称”或“y轴成轴对称”） 【答案】y轴成轴对称 【分析】利用待定系数法求出解析式，通过判断图象上任意一点关于y轴的对称点坐标，是否在满足解析式可得. 【详解】设，依题意可得，解得，所以， 设为函数图像上任意一点，易知其关于y轴的对称点也在的图象上， 所以其图像关于y轴成轴对称． 故答案为：y轴成轴对称 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数和，说明这两个函数图象之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图象． 【答案】见解析 【分析】根据平移规律，以及幂函数的性质，画出函数的图象. 【详解】函数的图象向上平移1个单位得到函数的图象， 的定义域为，满足，是偶函数，且，则函数在第一象限单调递增，过点，，， 如图画出函数的图象， 【经典例题二十三 函数图象的变换】 【例23】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】A 【分析】先求的对称中心，结合图象变换可得答案. 【详解】因为，所以，即的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 所以函数的图象关于点对称. 故选：A. 1．（23-24高一上·广东肇庆·开学考试）把抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象变换的规则，准确化简，即可求解. 【详解】将抛物线向下平移3个单位长度，得到， 再向左平移4个单位长度，所得到的抛物线为. 故选：B. 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象右移 个单位. 【答案】1 【分析】利用函数图象的平移规律进行求解即可 【详解】为了得到函数的图象，根据平移规律，可以把函数的图象右移1个单位， 故答案为：1 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）作出函数的大致图像． 【答案】图像见解析 【分析】类比反比例函数的图像画出即可. 【详解】.对称中心.类比反比例函数的图像得到的大致图像. 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）设函数是定义在上的奇函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】结合严格增函数与奇函数定义，假设在上为严格增函数去推导能否得到在上的最小值为，及假设在上的最小值为去推导能否得到在上为严格增函数，即可得解. 【详解】若在上为严格增函数， 由奇函数性质可得在上为严格增函数， 则在上的最小值为， 若在上的最小值为， 不能得到在上为严格增函数， 即不能得到在上为严格增函数， 故“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的充分非必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【详解】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 3．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】由函数是幂函数，得，解得或， 当时，是R上的偶函数，不符合题意， 当时，是上的奇函数，符合题意， 所以. 故选：D 4．（23-24高三上·上海·期中）设函数，则点不可能在函数（    ）的图像上． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表示出点的坐标，然后逐项代入函数中判断点在函数上的可能性即可. 【详解】因为即为， 对于A：若点在函数上，则有，所以， 显然，所以点不可能在上； 对于B：若点在函数上，则有，所以， 所以当，时，点在上； 对于C：若点在函数上，则有， 若取时，显然成立，所以点可能在上； 对于D：若点在函数上，则有， 若取时，显然成立，所以点可能在上； 故选：A. 5．（22-23高一上·江苏南通·阶段练习）幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2 【答案】B 【分析】由题得，且是奇数，且是整数，根据条件求出的值即可． 【详解】由于幂函数是奇函数，且在是减函数， 故，且是奇数，且是整数， ，， 当时，，是奇数，； 当时，，不是奇数； 当时，，是奇数； 故或2． 故答选：B 6．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知定义在上的函数满足：对，且，则以下结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用赋值法进行运算，逐项判断. 【详解】因为定义域为R的函数，有， 令，则，又， 所以，故A正确； 令，则， 所以，故B错误； 令，则， 得到，， 所以是偶函数，C正确； 取， 则 所以，则，D正确. 故选：ACD. 7．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABD 【分析】由奇偶性联立方程得出，进而由得出，构造函数，讨论的值，由二次函数的性质确定实数的取值范围. 【详解】由题得：是奇函数，所以；是偶函数，所以， 将代入得：， 联立，解得：， ，等价于， 即，令，则在上单调递增， ①当时，函数的对称轴为，所以在上单调递增， ②当时，函数的对称轴为，若在上单调递增， 则，得： ③当时，单调递增，满足题意. 综上可得： 故选：ABD 8．（23-24高一上·江西南昌·期中）下列说法正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．和表示同一个函数 C．不是幂函数 D．若满足，则不是单调递增函数 【答案】BD 【分析】对A，考虑0在不在定义域内；对B，结合定义域，值域，解析式判断；对C，结合幂函数的定义判断；对D，结合函数单调性的性质进行判断. 【详解】当奇函数在处有定义时，才有， 例如为奇函数，但是不满足，故A错误， 和的定义域均为，对应关系也一样， 故表示同一个函数，B正确， 形如（为常数）的函数是幂函数，则是幂函数，故C错误， 若满足，则不是单调递增函数，故D正确， 故选：BD 9．（23-24高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．的解集为 D． 【答案】BCD 【分析】根据点的坐标确定，函数为奇函数得到A错误，函数为增函数得到B正确，计算得到CD正确，得到答案. 【详解】设幂函数，函数过点，即，解得，即， 对选项A：函数定义域为，，函数为奇函数，错误； 对选项B：函数是增函数，正确； 对选项C：，解得，正确； 对选项D：，正确； 故选：BCD. 10．（21-22高一上·江苏常州·期中）下列四个命题是真命题的是（    ）． A．函数与函数表示同一个函数 B．奇函数的图像不一定通过直角坐标系的原点 C．函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到 D．若函数，则 【答案】BCD 【分析】A定义域不同，命题为假命题；B定义域不含0时，命题为假命题；C根据图象变换论可知该命题为真命题；D换元法求解析式，可知该命题为真命题. 【详解】A：函数y=|x|的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以该命题为假命题； B：定义域：若含0图象过原点，若不含0时图像不过原点，是真命题； C：根据图象平移变换结论，可知该命题为真命题； D：，，则，，是真命题； 故选：BCD． 11．（2024·内蒙古包头·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由已知，得，又，可得，则，即可求得. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，所以， 又，所以，解得， 经检验符合题意，所以，则. 故答案为：. 12．（23-24高一上·四川成都·期末）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性可得的值，结合已知求出；由是偶函数推出，利用赋值法求出，即可得答案. 【详解】由题意知是定义域为的奇函数，， 故，则， 由是偶函数，得， 令，则，即； 令，则，即， 故， 故答案为：. 13．（2024高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象过点，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的性质求解参数得到解析式，再求值即可. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得，即， 因为，所以，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个． 【答案】 （答案不唯一） 4 【分析】作出五个函数图象，根据图象即可得解. 【详解】作出五个函数图象，如图： 由图可知： 图像与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点； 图像与、、的图像有1个、1个，1个交点； 图像与、的图像有2个、2个交点； 图像与的图像有3个交点. 综上可得，函数与的图象若有1个交点， 则，，，，； 满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个： ，，，． 故答案为：（答案不唯一）；4. 15．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设a、b、c是实数，对于下列命题：①如果，那么，其中是正整数；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，其中是正整数；⑤如果，那么；⑥如果，那么.其中真命题的序号为 . 【答案】①③⑥ 【分析】①结合的乘方的性质进行考虑；②考虑的情况；③考虑的性质；④考虑的情况；⑤取特殊值考虑，⑥结合的单调性进行考虑 【详解】对①，因为表示个相乘，则，那么，①正确； 对②，当时，满足，但，②错误； 对③，若，则且，所以，③正确； 对④，取，则，，④错误； 对⑤，取，满足，但，⑤错误； 对⑥，函数在上单调递增，若，则，⑥正确.     故答案为：①③⑥ 16．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有..，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； 【答案】(1)奇函数 (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）由奇函数的定义证明； （2）变形，然后结合单调性的定义判断． 【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数. （2）在上单调递增.证明：由题意，可知， 假设，使得，则， 而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立. 设，且，则， 因此， 因为，且当时，，所以， 又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增. 17．（23-24高一上·福建宁德·期末）定义域为的奇函数只能同时满足下列的两个条件： ①在区间上单调递增    ②    ③ (1)请写出这两个条件的序号，并求的解析式； (2)判断在区间的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)①③; ; (2)在区间的单调递减，证明见解析. 【分析】（1）利用奇偶性与单调性，易判断选出①③，再利用待定系数法求出参数即可; （2）利用单调性的定义证明即可. 【详解】（1）若选①②，因为在是奇函数，所以，又，则不满足在区间上单调递增，故舍去； 若选②③，因为在是奇函数，所以，而，不满足，故舍去； 故只能选①③，在区间上单调递增，，且易验证符合题意. 结合题意：，解得，所以. 经验证当时，满足为奇函数. 故. （2）结合（1）问可知. 在区间的单调递减，证明如下： 任取，且， ， 因为，所以，, 因为，所以，即， 所以，即， 所以在区间的单调递减. 18．（21-22高一上·安徽·期中）已知幂函数的图像过点. (1)求的值； (2)证明：函数是增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）待定系数法求得幂函数的解析式后，即可求得的值； （2）以增函数定义去证明即可解决. 【详解】（1）设幂函数，将点代入得，解得，所以， 则 （2）函数的定义域为 设，且， 则 由，得，， 则，即， 故函数是上增函数. 19．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数，且图像不过原点. (1)求出的表达式，并写出它的单调区间； (2)记，判断函数的奇偶性，并证明. 【答案】(1)，单调减区间为，无单调减区间. (2)奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义列出方程结合图象不过原点即可得函数不等式，进一步得单调区间. （2）直接根据函数奇偶性的定义进行判断并证明即可. 【详解】（1）由，解得或， 又图像不过原点，故，单调递减区间为，无单调递增区间. （2）函数是定义域上的奇函数， 证明：，定义域为， 任取，都有，即定义域关于原点对称， 又由， 所以函数是定义域上的奇函数. 20．（23-24高一·上海·课堂例题）写出一个图象经过第一、第二象限但不经过原点的幂函数的表达式． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据幂函数的性质，即可求解. 【详解】幂函数经过第一、第二象限，说明是偶函数，且在第一象限单调递减， 所以其中一个是. 学科网（北京）股份有限公司 $$