专题02 函数的单调性和最值重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题02 函数的单调性和最值重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优） 题型一 定义法判断或证明函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 利用函数单调性求最值或值域 题型五 根据函数的最值求参数 题型六 根据图像判断函数单调性 题型七 复合函数的单调性 知识点01：函数的单调性 1．函数的单调性与单调区间 设函数定义域是,是定义域上的一个区间: (1)如果对于任意的,当,时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.这时区间叫作函数的单调递增区间. (2)如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减,这时,区间叫作函数的单调递减区间 (3)如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就称函数在区间上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称单调区间. 2．增函数与减函数 (1)如果对于定义域上任意的,当,时,都有,那么就称函数是增函数. (2)如果对于定义域上任意的,当,时,都有,那么就称函数是减函数. 注意： 增(减)函数是针对整个定义域而言的,函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定是增(减)函数.如函数在区间和上都是单调递减的,但是在整个定义域上不具有单调性 3．常见函数的单调性 4．用定义法判断函数的单调性 用定义法判断函数单调性的一般步骤: (1)取值:设为给定区间内的任意两个值,且; (2)作差:计算; (3)变形:对进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、有理化等; (4)判号:将与0比较大小,当正负不确定时需要进行分类讨论; (5)定论:指出函数在给定区间上的单调性. 注意： (1)在用定义判断函数的单调性时,为了确定符号，一般是将(或)尽量分解出含有(或)的因式,再将剩下的因式化成积或商的形式,或化成几个非负实数的和的形式,这样有利于确定该因式的符号; (2)变形的关键是通过因式分解、配方、通分、分母(分子)有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. 知识点02：函数的最值 1. 函数的最大（小）值 注意： 函数的最值与值域的联系与区别 联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域. 区别:(1)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在; (2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素,如函数的值域为,最小值为; (3)若函数的值域是开区间(两端点值都取不到)的形式,则函数无最值;若函数的值域是闭区间的形式，则闭区间的端点值就是函数的最值. 2. 函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则函数,在处有最大值,如图(1)所示. (2)若函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,则函数,在处有最小值,如图(2)所示. (3)若函数在定义域上是增函数,则函数在处取得最大值,在处取得最小值,如图(3)所示. (4)若函数在定义域上是减函数,则函数在处取得最小值,在处取得最大值,如图(4)所示 注意： (1)对于在一个闭区间上的连续函数来说,它一定有最小值,也一定有最大值. (2)当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得. (3)当函数在闭区间上不单调时,要将单调区间分界点处的函数值与区间端点处的函数值比较,确定函数的最值. (4)开区间上的“单峰(谷)”函数一定存在最大(小)值. 3. 函数图像的变换 对勾函数(,且为常数)是高考的常考内容,也是中学阶段比较重要的函数. (1)单调性:在和[上单调递增;在和上单调递减.函数的图象如图. (2)最值:当时,在处有最小值;当时,在处有最大值. 注意： 如果函数为,可将解析式变形为,其单调性和最值可用上述结论求解. 知识点03：函数单调性的运算性质 若函数,在区间上具有单调性,则在区间上具有以下性质: (1)与(为常数)具有相同的单调性 (2)若为常数,则当时,与具有相同的单调性;当时,与具有相反的单调性.特别地,与的单调性相反. (3)若的函数值恒为正或恒为负,为常数,则当时，与具有相反的单调性;当 时,与具有相同的单调性. (4)在,的公共单调区间上,有如下结论: (5)当,都是增(减)函数时,若两者的函数值都恒大于零,则也是增(减)函数;若两者的函数值都恒小于零,则是减(增)函数. 知识点04：复合函数的单调性 利用单调性的定义可知在区间上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”. 注意： 判断复合函数的单调性的步骤 (1)求出函数的定义域 (2)将复合函数分解成简单函数(所谓简单函数即我们熟悉其单调性的函数). (3)判断简单函数的单调性 (4)若这两个函数同增或同减(即单调性相同),则复合函数为增函数;若这两个函数一增一减(即单调性相异),则复合函数为减函数.简记为“同增异减” 【经典例题一 定义法判断或证明函数的单调性】 【例1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·北京东城·期中）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）能说明“若是上的减函数，则，至少一个是上的减函数”为假命题的一组函数是 ， . 3．（22-23高一上·广东肇庆·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增. 【经典例题二 求函数的单调区间】 【例2】（24-25高三上·吉林·开学考试）下列命题为真命题的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．若，则 C．的单调减区间为 D．是的必要不充分条件 1．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数y＝的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·北京·期中）函数的单调区间为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列函数的图像（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性． 【经典例题三 根据函数的单调性求参数值】 【例3】（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1．（23-24高一上·北京昌平·期中）已知函数．若满足：对于任意的，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）（1）已知，求的解析式． （2）已知一次函数的图象经过点和，且．若的单调递增区间是，求的解析式． 【经典例题四 利用函数单调性求最值或值域】 【例4】（22-23高一上·北京·期中）已知，则函数的最小值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 1．（20-21高三·北京·强基计划）函数在区间上的最大值与最小值之差等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．前三个选项都不对 2．（23-24高三下·北京·开学考试）函数的最小值为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，.若，，使得，求实数a的取值范围. 【经典例题五 根据函数的最值求参数】 【例5】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上存在最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）函数，的最小值为0，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的最大（小）值： 设是函数的定义域，是的一个非空子集． （1）如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最大值，称M为的 ，a为的 ． （2）如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最小值，称M为的最小值，a为的最小值点． 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数，其中为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，存在2023个不同的实数，使得，求实数的取值范围. 【经典例题六 根据图像判断函数单调性】 【例6】（22-23高一上·北京·期中）如图所示，函数在下列哪个区间上是增函数（    ）    A． B． C． D． 1．（21-22高一上·北京·期中）下列函数中在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2． （24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）观察以下两个函数图象，思考函数值随自变量的增大而怎样变化？    【经典例题七 复合函数的单调性】 【例7】（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·河北保定·期中）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的单调区间． 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 4．（2024·全国·模拟预测）命题，命题：函数在上单调，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 6．（23-24高一上·吉林白山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 7．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 9．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知定义在上的函数，下列结论正确的为（    ） A．函数的值域为 B． C．函数在上单调递减 D．当时，函数的最大值为4 10．（23-24高三上·安徽·阶段练习）若正实数满足，记，则（    ） A．的最小值是2 B．当取最小值时，的最小值为 C．当取最仦值时，的最大值为 D．当取最小值时，一定有 11．（21-22高一上·北京·期中）设定义在R 上的函数满足： （1）当时， ；  （2） ；  （3）当时， ， 则在下列结论中： ① ② 在R 上是递减函数； ③ 存在，使 ④ 若，则，． 其中正确结论的命题为 ． 12．（21-22高二下·北京·期中）已知函数，．若函数在上单调递减，则a的取值范围是 ． 13．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知函数，若对于，不等式恒成立，则正整数的最小值为 ． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调严格增区间为 ． 15．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 16．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，. (1)证明：当时，； (2)判断的单调性并加以证明； 17．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）判断函数的单调递减区间并加以证明. 18．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 19．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若函数在上的最小值为0，求的值． 20．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）讨论函数在上的单调性，并求函数的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数的单调性和最值重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优） 题型一 定义法判断或证明函数的单调性 题型二 求函数的单调区间 题型三 根据函数的单调性求参数值 题型四 利用函数单调性求最值或值域 题型五 根据函数的最值求参数 题型六 根据图像判断函数单调性 题型七 复合函数的单调性 知识点01：函数的单调性 1．函数的单调性与单调区间 设函数定义域是,是定义域上的一个区间: (1)如果对于任意的,当,时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.这时区间叫作函数的单调递增区间. (2)如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减,这时,区间叫作函数的单调递减区间 (3)如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就称函数在区间上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称单调区间. 2．增函数与减函数 (1)如果对于定义域上任意的,当,时,都有,那么就称函数是增函数. (2)如果对于定义域上任意的,当,时,都有,那么就称函数是减函数. 注意： 增(减)函数是针对整个定义域而言的,函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定是增(减)函数.如函数在区间和上都是单调递减的,但是在整个定义域上不具有单调性 3．常见函数的单调性 4．用定义法判断函数的单调性 用定义法判断函数单调性的一般步骤: (1)取值:设为给定区间内的任意两个值,且; (2)作差:计算; (3)变形:对进行有利于判断符号的变形,如因式分解、配方、有理化等; (4)判号:将与0比较大小,当正负不确定时需要进行分类讨论; (5)定论:指出函数在给定区间上的单调性. 注意： (1)在用定义判断函数的单调性时,为了确定符号，一般是将(或)尽量分解出含有(或)的因式,再将剩下的因式化成积或商的形式,或化成几个非负实数的和的形式,这样有利于确定该因式的符号; (2)变形的关键是通过因式分解、配方、通分、分母(分子)有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. 知识点02：函数的最值 1. 函数的最大（小）值 注意： 函数的最值与值域的联系与区别 联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域. 区别:(1)函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在; (2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素,如函数的值域为,最小值为; (3)若函数的值域是开区间(两端点值都取不到)的形式,则函数无最值;若函数的值域是闭区间的形式，则闭区间的端点值就是函数的最值. 2. 函数的最值与单调性的关系 (1)若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则函数,在处有最大值,如图(1)所示. (2)若函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,则函数,在处有最小值,如图(2)所示. (3)若函数在定义域上是增函数,则函数在处取得最大值,在处取得最小值,如图(3)所示. (4)若函数在定义域上是减函数,则函数在处取得最小值,在处取得最大值,如图(4)所示 注意： (1)对于在一个闭区间上的连续函数来说,它一定有最小值,也一定有最大值. (2)当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得. (3)当函数在闭区间上不单调时,要将单调区间分界点处的函数值与区间端点处的函数值比较,确定函数的最值. (4)开区间上的“单峰(谷)”函数一定存在最大(小)值. 3. 函数图像的变换 对勾函数(,且为常数)是高考的常考内容,也是中学阶段比较重要的函数. (1)单调性:在和[上单调递增;在和上单调递减.函数的图象如图. (2)最值:当时,在处有最小值;当时,在处有最大值. 注意： 如果函数为,可将解析式变形为,其单调性和最值可用上述结论求解. 知识点03：函数单调性的运算性质 若函数,在区间上具有单调性,则在区间上具有以下性质: (1)与(为常数)具有相同的单调性 (2)若为常数,则当时,与具有相同的单调性;当时,与具有相反的单调性.特别地,与的单调性相反. (3)若的函数值恒为正或恒为负,为常数,则当时，与具有相反的单调性;当 时,与具有相同的单调性. (4)在,的公共单调区间上,有如下结论: (5)当,都是增(减)函数时,若两者的函数值都恒大于零,则也是增(减)函数;若两者的函数值都恒小于零,则是减(增)函数. 知识点04：复合函数的单调性 利用单调性的定义可知在区间上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”. 注意： 判断复合函数的单调性的步骤 (1)求出函数的定义域 (2)将复合函数分解成简单函数(所谓简单函数即我们熟悉其单调性的函数). (3)判断简单函数的单调性 (4)若这两个函数同增或同减(即单调性相同),则复合函数为增函数;若这两个函数一增一减(即单调性相异),则复合函数为减函数.简记为“同增异减” 【经典例题一 定义法判断或证明函数的单调性】 【例1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【详解】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 1．（22-23高一上·北京东城·期中）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用增函数的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故A项正确； 对于B项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故B项不成立； 对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立. 故选：A. 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）能说明“若是上的减函数，则，至少一个是上的减函数”为假命题的一组函数是 ， . 【答案】 【分析】注意到二次函数的特殊性，任何一个二次函数都不是上的单调函数，由此举出反例即可求解. 【详解】不妨令，， 一方面：是上的减函数； 另一方面：因为开口向上，其图象对称轴为， 所以当时，单调递增，即不为上的减函数， 因为开口向下，其图象对称轴为， 所以当时，单调递增，即不为上的减函数， 因此，都不是上的减函数. 满足题意的一组函数可以是，. 故答案为：，. 3．（22-23高一上·广东肇庆·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义创建相关不等式证明即可. 【详解】，，且，有 . 由，，得，，所以，， 又由，得，于是，即. 所以，函数在区间上单调递增. 【经典例题二 求函数的单调区间】 【例2】（24-25高三上·吉林·开学考试）下列命题为真命题的是（    ） A．命题“”的否定是“” B．若，则 C．的单调减区间为 D．是的必要不充分条件 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的否定判断A；举例说明判断B；求出函数的单调区间判断C；利用充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，A错误； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，函数的单调减区间为，C错误； 对于D，或，因此是的必要不充分条件，D正确. 故选：D 1．（23-24高一下·全国·课堂例题）函数y＝的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反比例函数的性质即可求解. 【详解】由反比例函数的性质可得函数的单调递增区间为. 其中C项中，单调区间是不能用“”的． 故选：D. 2．（20-21高一上·北京·期中）函数的单调区间为 . 【答案】减区间为 【解析】求出定义域，再确定单调区间． 【详解】的定义域是， 是增函数，在和上都是减函数， ∴的单调减区间是和． 故答案为：减区间和． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列函数的图像（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性． 【答案】答案见详解 【分析】根据图象结合单调性的定义分析求解. 【详解】对于图（1）可知：的单调区间为， 其中单调递减区间为，单调递增区间为； 对于图（2）可知：的单调区间为， 其中单调递增区间为，单调递减区间为. 【经典例题三 根据函数的单调性求参数值】 【例3】（23-24高一上·北京顺义·期末）已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可. 【详解】函数的对称轴为， 当函数在区间上单调递增时，有， 因此“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 1．（23-24高一上·北京昌平·期中）已知函数．若满足：对于任意的，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判断出在区间上的单调性，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于对于任意的，且，都有， 所以在区间上单调递增， 所以. 故选：B 2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得，解得即可. 【详解】因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）（1）已知，求的解析式． （2）已知一次函数的图象经过点和，且．若的单调递增区间是，求的解析式． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）可由配凑法等式右边用表达或换元法令求解； （2）待定系数法，设函数，代入，求出，从而得到，再由的单调递增区间是可确定m求解. 【详解】解：（1）法一：把的右边配成的表达式， 即，然后整体换成， 得：， 故的解析式为：． 法二：令，得代入得： ， 然后t换成x即， 故的解析式为：． （2）设，由题意得： 即，解得， 所以， 故， 由函数的图象的对称轴为，单调递增区间是， 故，解得， 所以， 故的解析式为： 【经典例题四 利用函数单调性求最值或值域】 【例4】（22-23高一上·北京·期中）已知，则函数的最小值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由双勾函数的性质即可得出函数的单调性，即可得出答案. 【详解】因为，由双勾函数的性质知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：A. 1．（20-21高三·北京·强基计划）函数在区间上的最大值与最小值之差等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．前三个选项都不对 【答案】B 【分析】将表示为分段函数后可求其最大值和最小值，从而可得正确的选项. 【详解】, 故，， 故， 故选：B. 2．（23-24高三下·北京·开学考试）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】换元后，利用对勾函数的单调性即可求得最小值. 【详解】设， 则， 又函数在上单调递增， 所以当，即时， 函数有最小值， 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，.若，，使得，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】根据存在性的定义、二次函数的对称性、一次函数的单调性，结合集合交集的性质、补集的思想进行求解即可. 【详解】因为，对称轴为， 当时，， 所以此时函数的值域为， 一次函数是实数集上的增函数， 所以当时，函数的值域为， 因为，，使得， 所以函数的值域与函数的值域的交集不是空集， 先求交集是空集情况或，所以或， 所以a的取范围是. 【经典例题五 根据函数的最值求参数】 【例5】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，则“”是“函数在区间上存在最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用对勾函数性质求出的范围，然后利用充分条件、必要条件判断即可. 【详解】因为函数在区间上存在最小值，所以函数不单调，且为先减再增函数， 故，由对勾函数单调性知，在单调递减，在上单调递增，则， 所以，则反向成立； 若，则，根据对勾函数单调性知，在单调递减，在上单调递增，所以在时取得最小值，故正向成立， 所以“”是“函数在区间上存在最小值”的充分必要条件. 故选：C. 1．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）函数，的最小值为0，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可求的取值范围，注意结合定义域分类讨论. 【详解】， 因为，故， 若，则在为减函数， 故的最小值为，解得， 故. 若，则在为减函数， 故的最小值为，解得，矛盾. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的最大（小）值： 设是函数的定义域，是的一个非空子集． （1）如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最大值，称M为的 ，a为的 ． （2）如果有，使得不等式对一切成立，就说在处取到最小值，称M为的最小值，a为的最小值点． 【答案】 最大值 最大值点 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数，其中为常数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，存在2023个不同的实数，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值符号，根据二次函数直接写出函数单调区间即可； （2）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解. 【详解】（1）， 可知开口向上，对称轴为， 且开口向上，对称轴为， 当，即时，的单调递增区间为； 当，即时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当，即时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）， （i）当，即时，在上单调递增， 因为，所以， 则 ， 即，解得； （ⅱ）当，即时，在上单调递增， 因为， 由（i）可得，解得； （ⅲ）当，即时，则在内单调递增，在内单调递减， 则， 即，矛盾； （ⅳ）当，即时，不单调， 则， 即，矛盾. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于求 的最大值或利用放缩法求函数的最大值的上界，最大值只需满足不小于12，而最大值的上界小于12不符合题意即可得出参数的取值范围，结合二次函数及绝对值不等式的性质对需结合单调性分类讨论. 【经典例题六 根据图像判断函数单调性】 【例6】（22-23高一上·北京·期中）如图所示，函数在下列哪个区间上是增函数（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数图象上升所对区间确定函数单调递增区间即可. 【详解】观察函数图象，在、上随x的增大，函数的图象是下降的， 在上随x的增大，函数的图象是上升的， 因此函数在、上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上是增函数. 故选：C 1．（21-22高一上·北京·期中）下列函数中在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的单调性逐一判断即可求解 【详解】对于A：在上单调递减，故A错误； 对于B：在上单调递增，故B正确； 对于C：在上单调递增，故C错误； 对于D：在上单调递减，故D错误； 故选：B 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 【答案】 【分析】根据图象的变化情况直接求解即可. 【详解】由的图象看，图象在是上升的，在上是下降的， 所以此函数的增区间是. 故答案为： 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）观察以下两个函数图象，思考函数值随自变量的增大而怎样变化？    【答案】答案见解析 【分析】由基本函数的单调性求解． 【详解】对于函数，函数值随自变量的增大而增大； 对于函数，当时，函数值随自变量的增大而减小， 当时，函数值随自变量的增大而减小. 【经典例题七 复合函数的单调性】 【例7】（23-24高一上·北京·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性，即可求得函数的递减区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 内层函数在上单调递减，在上单调递增， 外层函数在上为增函数， 所以，函数的单调递减区间为. 故选：C. 1．（23-24高一下·河北保定·期中）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将命题等价转化为研究在上的的性质，然后分类讨论即知使得命题成立的充要条件是，最后比较选项即可得出答案. 【详解】由于是定义在上的递减函数，故命题等价于在上单调递增且取值恒为正. 若，则，从而在上取值不恒为正，不满足条件； 若，则对任意都有， 且由知对任意都有. 故在上单调递增且取值恒为正，满足条件. 所以使得原命题成立的充分必要条件是，从而观察选项可知A是充分不必要条件，B是充要条件，C，D是既不充分也不必要条件. 故选：A. 2．（2024高一·全国·专题练习）函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【答案】 【分析】先确定的定义域，然后利用的单调性和的单调性即可确定的单调性. 【详解】函数的定义域为，故函数的定义域为，即的定义域为. 由于在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故单调递增区间是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调减区间为，单调增区间为 【分析】首先求函数的定义域，再结合复合函数的单调性，判断函数的单调性. 【详解】令，则函数． ∵，即，得， 即函数的定义域为． ∵的对称轴为直线， ∴当时，为增函数，∴函数为减函数， ∴函数的单调减区间为； 当时，为减函数，∴函数为增函数， ∴函数的单调增区间为． 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 2．（23-24高一上·北京·期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，根据一次函数、二次函数性质运算求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意； 当时，因为函数的对称轴为， 若函数在区间上是增函数， 则或，所以或； 综上，，故实数的取值范围是. 故选：D 3．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义，据反例可得不是的充分条件；综合可得答案． 【详解】根据题意，对于：任意，，都有， 令，则有， 再令，有，变形可得， 则函数为奇函数； 设，有， 则有， 必有， 故函数是上的严格增函数， 则是的充分条件； 对于，例如，当，满足时，都有；但不是单调递增函数，故不是的充分条件； 故选：B． 4．（2024·全国·模拟预测）命题，命题：函数在上单调，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可. 【详解】设，则可化为． 充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增，因此充分性成立． 必要性：当时，在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，所以，则，此时函数在上单调递减． 综上可知，当函数在上单调时，或，因此必要性不成立．所以是的充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】易错点点睛：本题以含有参数的对数型函数的单调性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，体会函数思想、分类讨论思想的应用．先考虑充分性，再考虑命题为真命题时，参数的取值范围，对参数进行分类讨论，同时不要忘记考虑真数大于0这一情况，这是本题的易错点. 5．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】先将分离常数得，再根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 6．（23-24高一上·吉林白山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 B．若对于，，，都有，则函数在上是增函数 C．若对于，都有成立，则函数在上是增函数 D．若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数 【答案】AB 【分析】利用函数的单调性定义结合举反例的方法对选项逐一分析即可. 【详解】， 化简为， 设，则， 设，则， 故函数在上是增函数，故正确； 设， 由得， 即， 设， 由得， 即， 故函数在上是增函数，故正确； 令，表示不超过x的最大的整数， 满足，但在上不是增函数；故错误； 令，则，为增函数， 但函数在上不单调，故错误. 故选：. 7．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知命题函数在上单调递减，则下列是命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】 求出命题为真时的范围，再根据必要不充分条件的定义判断． 【详解】由命题函数在上单调递减，可得或，即， 由必要不充分条件的定义知只有C,D选项符合. 故选：CD. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 【答案】AD 【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值. 【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 当，即时，在上单调递减，所以， ， 所以，解得，不符合题意，故舍去； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或，两个解均舍去； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD 9．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知定义在上的函数，下列结论正确的为（    ） A．函数的值域为 B． C．函数在上单调递减 D．当时，函数的最大值为4 【答案】ABD 【分析】通过对函数的分析，可以得到函数的图象，进而求出函数的值域，以及BCD三个选项的正确与否. 【详解】当时，， 所以， 当时，， ， 当时，， ， 以此类推，我们作出函数的图象，如图， 对于A，由图可知，函数的值域为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由图可知，函数在上先增后减，故C错误； 对于D，由图可知，当时，函数的最大值为4，故D正确； 故选：ABD 10．（23-24高三上·安徽·阶段练习）若正实数满足，记，则（    ） A．的最小值是2 B．当取最小值时，的最小值为 C．当取最仦值时，的最大值为 D．当取最小值时，一定有 【答案】AC 【分析】利用基本不等式判断AD；将问题转化为，利用换元法与函数的单调性即可得解判断BC；从而得解. 【详解】因为， 由可得， 所以，当且仅当时，等号成立，所以A正确，D错误； 当取最小值时，，， 所以，解得， 又，所以， 又，当且仅当时等号成立， 记，则，所以， 易得函数在时单调递减， 所以当时，取得最大值， 则无最小值，所以B错误，C正确． 故选：AC. 11．（21-22高一上·北京·期中）设定义在R 上的函数满足： （1）当时， ；  （2） ；  （3）当时， ， 则在下列结论中： ① ② 在R 上是递减函数； ③ 存在，使 ④ 若，则，． 其中正确结论的命题为 ． 【答案】①②③ 【分析】通过赋值可得，进而可判断①，再根据单调性的定义及条件可判断②，由②得单调性和可判断③，由可判断④. 【详解】当时， 令时， ， 因为，所以， 所以，所以①正确； 由①知，，所以有， 任意的且， 因为，则，所以，， 所以，所以在R 上是递减函数，②正确； 因为，在R 上是递减函数，所以当时，，③正确； 由，结合①得，，④错误. 故答案为：①②③. 12．（21-22高二下·北京·期中）已知函数，．若函数在上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】将函数在上单调递减转化为在上恒成立,然后分离参数转化为最值问题来解决. 【详解】由题意得， 函数在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立， ∴在上恒成立， 令，二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， ∴， ∴， 故实数a的取值范围是， 故答案为：． 13．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知函数，若对于，不等式恒成立，则正整数的最小值为 ． 【答案】3037 【分析】先利用定义判定函数在上的单调递增，得到当时，；并利用分子实数化变形和不等式放缩得到时，，进而得到的取值范围是，然后利用不等式恒成立的意义得到，从而求得的取值范围，得到的最小值. 【详解】设，则 ， 又∵， 同理， ∴， ∴，即， ∴在上单调递增， 又∵，∴当时，； 又∵时， ，∴时，， 且当趋近于时，无限趋近于， ∵，∴的取值范围是， 为使不等式恒成立，必须且只需， ∴，∴正整数的最小值为3037， 故答案为：3037. 【点睛】难点点睛：本题难点在于利用分子有理化方法进行恒等变形，并利用放缩法得到有关不等关系，进而证明函数的单调性和求得函数的值域. 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调严格增区间为 ． 【答案】和 【分析】首先去绝对值，画出函数的图象，由图象判断函数的增区间. 【详解】， 由图像知，    该函数的单调增区间为和． 故答案为：和 15．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 【答案】（开闭区间均可） 【分析】求出函数的定义域，再结合复合函数单调性可得． 【详解】由得，又在上递减，在上是增函数， 所以的减区间是， 故答案为：（写成开区间也正确）． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，. (1)证明：当时，； (2)判断的单调性并加以证明； 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递减，证明见解析 【分析】（1）由求得，然后由进行证明； （2）设，利用可证明． 【详解】（1）；； 当时，；；当时，. （2）单调递减. 证明：， ， ，，， 即,单调递减． 17．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）判断函数的单调递减区间并加以证明. 【答案】函数的单调递减区间为，证明见解析. 【分析】首先根据对勾函数单调性得到其单调区间，再利用定义法即可证明. 【详解】函数的单调递减区间为，证明如下： 令， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减，即函数的单调递减区间为. 18．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出的解析式，利用待定系数法求出即得. （2）利用（1）的解析式，分段讨论求出单调递增区间，再借助集合包含关系求解即得. 【详解】（1）设二次函数， 则， 由，得，解得，又， 即，于是， 所以的解析式是. （2）由（1）得， 当时，的单调递增区间为，依题意，，则； 当时，的单调递增区间为，依题意，， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 19．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，若函数在上的最小值为0，求的值． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)或 【分析】（1）写出分段函数形式，画出其图象，数形结合得到单调区间； （2）结合函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性和图象，表达出在上的最小值，得到方程，求出的值. 【详解】（1）当时，， 画出函数图象，如下：    故函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时， 因为，所以， 开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递减， 在上的最小值为， 令，解得，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最小值为， 令，解得（舍去）； 当时，因为， 所以， 此时图象如下：    函数在上的最小值为或， 当，解得（负值舍去），符合题意； 当，即，，符合题意； 综上，或. 20．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）讨论函数在上的单调性，并求函数的最大值和最小值． 【答案】在上单调递减，最大值为，最小值为 【分析】利用单调性的定义推得的单调性，从而求得最值，由此得解. 【详解】因为，令，则， 对于，在上单调递减，证明如下： 在上任取，，且. 则 ， 因为，则， 所以，，. 故，即， 所以在上单调递减， 而在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以在的最大值为， 最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$