专题01 函数重难点题型专训（28大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题01 函数重难点题型专训（28大题型+20道拓展培优） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 已知函数值求自变量或参数 题型四 区间的定义与表示 题型五 区间的关系与运算 题型六 具体函数的定义域 题型七 抽象函数的定义域 题型八 复合函数的定义域 题型九 实际问题中的定义域 题型十 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型十一 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型十二 根据值域求参数的值或者范围 题型十三 已知函数类型求解析式 题型十四 已知f(g(x))求解析式 题型十五 求抽象函数的解析式 题型十六 判断两个函数是否相等 题型十七 根据函数的值域求定义域 题型十八 求函数值 题型十九 解析法表示函数 题型二十 图象法表示函数 题型二十一 列表法表示函数 题型二十二 求分段函数解析式或求函数的值 题型二十三 分段函数的定义域 题型二十四 分段函数的性质及应用 题型二十五 已知分段函数的值求参数或自变量 题型二十六 映射的判断 题型二十七 确定形成映射的个数 题型二十八 根据映射求象或原象 知识点01：函数的概念 函数 两集合A、B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 知识点02：函数的有关概念 1.函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2.函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 3.函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 【经典例题一 函数关系的判断】 【例1】（23-24高一上·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（    ） A．   B． C．   D． 1．（22-23高一上·北京·期中）下列四个图形中，不是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课前预习）分段函数的定义 若函数，对于自变量在中不同的 ，有着不同的 则称这样的函数为分段函数. 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【经典例题二 求函数值】 【例2】（23-24高一上·新疆·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，则 ． 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【经典例题三 已知函数值求自变量或参数】 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 1．（2021高三·全国·专题练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有    (　　)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为 ． 3．（22-23高一上·湖南郴州·阶段练习）已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【经典例题四 区间的定义与表示】 【例4】（2024·北京西城·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课前预习）实数集可以用区间表示为 ，符号读作“无穷大”或“无穷”，和分别读作“负无穷大”（或“负无穷”）和“正无穷大”（或“正无穷”）．用区间表示为 ，用区间表示为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【经典例题五 区间的关系与运算】 【例5】（23-24高一上·四川成都·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（2023高一·全国·专题练习）已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海·期中）已知集合，，则 ． 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 【经典例题六 具体函数的定义域】 【例6】（23-24高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·北京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的定义域为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 【经典例题七 抽象函数的定义域】 【例7】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知函数定义域为，则定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【经典例题八 复合函数的定义域】 【例8】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 1．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 3．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）（1）已知y＝f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(x2+1)的定义域； （2）已知y＝f(2x﹣1)的定义域为[0,1]，求y＝f(x)的定义域； 【经典例题九 实际问题中的定义域】 【例9】（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高一上·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·山东烟台·阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 . 3．（20-21高一上·上海·课后作业）一个等腰三角形的周长为10，设底边长为y，腰长为x，求y关于x的函数解析式． 【经典例题十 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【例10】（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 1．（2023高一·全国·课后作业）已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（    ） A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5 2．（24-25高一上·四川成都·开学考试）函数（为确定的实数）的因变量取值范围是 . 3．（23-24高一·全国·课堂例题）已知函数，函数的值域是什么？ 【经典例题十一 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【例11】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 1．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）函数的最大值是 . 3．（2024高三·北京·专题练习）求函数的值域． 【经典例题十二 根据值域求参数的值或者范围】 【例12】（2023·江西·模拟预测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2022高三·全国·专题练习）已知当，时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（    ） A．，， B． C． D． 2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为 . 3．（20-21高一·全国·课后作业）请写出一个函数，使得的定义域为，且值域为. 【经典例题十三 已知函数类型求解析式】 【例13】（22-23高三·全国·对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 1.（22-23高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条件的一个的解析式为 . ①，；②在上单调递减. 3．（23-24高一上·广东江门·期中）（1）求函数的定义域； （2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 【经典例题十四 已知f(g(x))求解析式】 【例14】．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）若满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，，则 ． 3．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【经典例题十五 求抽象函数的解析式】 【例15】（22-23高三上·山东·阶段练习）设为常数，，，则（    ） A． B． C．满足条件的不止一个 D．恒成立 1.（2024高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，以下说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 3．（2023高一·全国·专题练习）已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式. 【经典例题十六 判断两个函数是否相等】 【例16】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·北京·期中）下列各组函数表示同一个函数的是 . ①，  ② ③    ④ 3．（22-23高一·全国·随堂练习）下列哪一组中的函数与是同一个函数？ (1)，； (2)，； (3) 【经典例题十七 根据函数的值域求定义域】 【例17】（20-21高一上·江苏镇江·阶段练习）要使分式的值为0，你认为x可取得数是（    ） A．9 B．±3 C．﹣3 D．3 1． （20-21高一上·河南开封·阶段练习）若函数f(x)=5x+4的值域是[9，+∞)，则函数f(x)的定义域为（    ） A．R B．[9，+∞) C．[1，+∞) D．(-∞，1) 2．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是 3．（20-21高一·江苏·课后作业）设一个函数的解析式为，它的值域为，求此函数的定义域. 【经典例题十八 求函数值】 【例18】（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·安徽·开学考试）是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，，则 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，． (1)求，的值； (2)求的值； (3)求，，． 【经典例题十九 解析法表示函数】 【例19】（22-23高一上·河北廊坊·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为 ． 3．（2023高一上·上海·专题练习）某工厂有一面长14米的旧墙，现在准备利用这面墙建造平面图为矩形的面积为126平方米的厂房，考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过其总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料，具体工程条件如下： ①建1米新墙的费用为a元； ②修1米旧墙的费用为元； ③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为元； 问：设利用旧墙为x，建墙费用为y，试建立y与x的函数关系式y=f(x). 【经典例题二十 图象法表示函数】 【例20】（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·新疆伊犁·阶段练习）如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动.设顶点的轨迹方程是，在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东广州·期中）如图，函数的图象是折线段，其中A，B，C的坐标分别为，，，则 ．    3．（23-24高一·全国·课堂例题）作出函数的图象，如何作出函数的图象？ 【经典例题二十一 列表法表示函数】 【例21】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）某企业去年第一季度生产某种型号机器的数量y（单位：万台）与月份x的函数关系如下表所示： x（月份） 1 2 3 y（万台） 3 5 7 则该函数的定义域为 ． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x（）块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数吗？ 【经典例题二十二 求分段函数解析式或求函数的值】 【例22】（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 1．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2024·四川达州·二模）已知，则 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数的表达式为求，及，其中a为实数． . 【经典例题二十三 分段函数的定义域】 【例23】（20-21高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 1.（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一·全国·专题练习）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数． 3．（23-24高一·全国·课堂例题）分段函数的定义域部分可以相交吗？ 【经典例题二十四 分段函数的性质及应用】 【例24】（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数，若方程有4个不同的根，且，则的值为（    ） A．3 B．0 C．2 D．6 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·广东清远·期末）已知函数，则 . 3．（24-25高一上·全国·课前预习）函数是两个函数吗？ 【经典例题二十五 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例25】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 1．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 3．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【经典例题二十六 映射的判断】 【例26】（2023高一·全国·专题练习）下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（    ） A．   B．   C．   D．   1．（20-21高一上·湖北荆州·期中）下列从集合到集合的对应中，是函数的是（    ） A． B． C． D．， 2．（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）如图所示的对应中，能构成到的映射的序号是 . 3．（20-21高一·江苏·课后作业）假定某高中每个班级都有45位同学，每个班级学生按1~45进行编号，全校学生的姓名都不相同.设集合为某高中的学生的姓名，，f：每个学生姓名对应学生的编号；g：每个编号对应学生的姓名.问：f是否为从A到B的映射？g是否为从B到A的映射？ 【经典例题二十七 确定形成映射的个数】 【例27】（23-24高一上·辽宁·期中）已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（    ）种． A．4 B．6 C．7 D．9 1.(21-22高一上·江西抚州·阶段练习）集合下列表示从到的映射的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二下·浙江宁波·期中）函数：满足，则这样的函数个数共有 个． 3．（22-23高二·全国·单元测试）（1）若，，从集合A到集合B可以建立多少个不同的映射？从集合B到集合A呢？ （2）已知集合，，设映射，如果B中的元素都是A中的元素在下的对应元素，这样的映射有几个？ 【经典例题二十八 根据映射求象或原象】 【例28】（22-23高三·全国·对口高考）如图，已知四边形在映射作用下的象集为四边形，若四边形面积是，则四边形的面积是（    ）    A．9 B．6 C． D．12 1．（21-22高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知在映射下的像是，则在映射下的原像是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·陕西西安·阶段练习）已知点在映射作用下的象是，，，则点（5，1）的原象是 3．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射． (1)试在上给出一个非单射的映射； (2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则； (3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有． 1．（21-22高一上·浙江杭州·期中）函数满足：恒成立.若，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数的图象为折线，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）已知，，为大于0的常数，则的值域可能为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河北保定·期中）下列命题正确的是（ ） A．命题“”的否定是“” B．函数的单调递增区间为 C．函数的值域为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 8．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数对任意，恒有，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示的图象表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）下列有关函数的命题正确的是（     ） A．已知函数满足，且，则 B．函数，若，则实数 C．满足对任意的都有成立，则 D．若的定义域是，则的定义域为 11．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 12．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 13．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）满足的非零有理系数多项式的最低次数为 . 14．（23-24高一上·重庆·期末）若，则方程在内的所有实根之和为 . 15．（2024高三上·江苏南京·学业考试）已知函数满足，且，则 ． 16．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 17．（23-24高一上·陕西汉中·期中）（1）已知函数是一次函数，且，，求的解析式． （2）已知，求的解析式； 18．（22-23高一下·安徽·开学考试）设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求函数的值域. 19．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 20．（22-23高一上·全国·课后作业）已知函数,（）. (1)分别计算， 的值. (2)由（1）你发现了什么结论?并加以证明. (3)利用（2）中的结论计算的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 函数重难点题型专训（28大题型+20道拓展培优） 题型一 函数关系的判断 题型二 求函数值 题型三 已知函数值求自变量或参数 题型四 区间的定义与表示 题型五 区间的关系与运算 题型六 具体函数的定义域 题型七 抽象函数的定义域 题型八 复合函数的定义域 题型九 实际问题中的定义域 题型十 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型十一 复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型十二 根据值域求参数的值或者范围 题型十三 已知函数类型求解析式 题型十四 已知f(g(x))求解析式 题型十五 求抽象函数的解析式 题型十六 判断两个函数是否相等 题型十七 根据函数的值域求定义域 题型十八 求函数值 题型十九 解析法表示函数 题型二十 图象法表示函数 题型二十一 列表法表示函数 题型二十二 求分段函数解析式或求函数的值 题型二十三 分段函数的定义域 题型二十四 分段函数的性质及应用 题型二十五 已知分段函数的值求参数或自变量 题型二十六 映射的判断 题型二十七 确定形成映射的个数 题型二十八 根据映射求象或原象 知识点01：函数的概念 函数 两集合A、B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 知识点02：函数的有关概念 1.函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2.函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 3.函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 【经典例题一 函数关系的判断】 【例1】（23-24高一上·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（    ） A．   B． C．   D． 【答案】C 【分析】根据各选项一一判断其定义域与值域，即可得解. 【详解】对于A：函数的定义域为，但是值域不是，故A错误； 对于B：函数的定义域不是，值域为，故B错误； 对于C：函数的定义域为，值域为，故C正确； 对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误. 故选：C 1．（22-23高一上·北京·期中）下列四个图形中，不是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义分析判断. 【详解】根据函数的定义可知：直线与函数图象至多有一个交点， 所以ABD选项中的图象符合，C选项不符合. 故选：C. 2．（23-24高一下·全国·课前预习）分段函数的定义 若函数，对于自变量在中不同的 ，有着不同的 则称这样的函数为分段函数. 【答案】 取值范围 对应关系 【分析】根据分段函数的定义即可得到答案. 【详解】对于同一函数关系，当自变量的取值范围不同，函数的关系式也不同时，这样的函数成为分段函数. 3.（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数解析式代入运算可得解； （2）根据函数解析式列式运算可得证； （3）由（2）的结论，组合运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以； （2）证明：为定值； （3）由（2）可知，，， 所以 ． 【经典例题二 求函数值】 【例2】（23-24高一上·新疆·期中）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】代入解析式求值即可. 【详解】由，得. 故选：C. 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，令，代入运算求解. 【详解】因为， 则，即，解得. 故选：C. 2．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，则 ． 【答案】21 【分析】代入求值即可． 【详解】由，可得． 故答案为：21. 3．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数 (1)求的值． (2)求证：是定值． (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数解析式代入运算可得解； （2）根据函数解析式列式运算可得证； （3）由（2）的结论，组合运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以； （2）证明：为定值； （3）由（2）可知，，， 所以 ． 【经典例题三 已知函数值求自变量或参数】 【例3】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 1．（2021高三·全国·专题练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有    (　　)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】试题分析：由得，由得，∴函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，共3个．． 考点：函数的定义域和值域． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为 ． 【答案】1或2 【分析】根据图中所给对应关系，直接判断即可. 【详解】由图可知，，，，， 若，则或. 故答案为：或. 3．（22-23高一上·湖南郴州·阶段练习）已知函数． (1)点在的图象上吗? (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)不在 (2) (3) 【分析】（1）计算的值，可得出结论； （2）直接计算的值即可； （3）解方程可得出的值. 【详解】（1）解：，故点不在的图象上. （2）解：. （3）解：由可得，解得. 【经典例题四 区间的定义与表示】 【例4】（2024·北京西城·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集和交集运算求解即可. 【详解】因为集合，所以或， 又集合，所以或. 故选：B 1．（22-23高三上·北京朝阳·期末）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由补集的定义即可求解. 【详解】因为全集，集合， 由补集的运算可得或， 对应区间为. 故选：B. 2．（23-24高一上·全国·课前预习）实数集可以用区间表示为 ，符号读作“无穷大”或“无穷”，和分别读作“负无穷大”（或“负无穷”）和“正无穷大”（或“正无穷”）．用区间表示为 ，用区间表示为 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·上海·课堂例题）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】由区间的书写形式即可求解． 【详解】（1）写成区间即为． （2）不等式解得，写成区间即为． 【经典例题五 区间的关系与运算】 【例5】（23-24高一上·四川成都·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用集合的并集及区间的表示即可求得结果. 【详解】如图所示， 所以. 故选：. 1．（2023高一·全国·专题练习）已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据图确定集合为，再求集合，即可求解. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为集合，又全集， 所以，因为， 所以. 故选：B 2．（23-24高三上·上海·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先有，得，结合包含关系列出方程组即可求解. （2）结合A是B的真子集列出不等式组即可求解. 【详解】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数m的取值范围是. （2）若AB，则（等号不同时取得），解得，即实数m的取值范围是. 【经典例题六 具体函数的定义域】 【例6】（23-24高一下·广东湛江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、分式以及零次方成立的条件分析求解. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 1．（23-24高一下·北京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数为非负数得到不等式，解得即可. 【详解】函数，令， 等价于，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D 2．（24-25高一上·全国·单元测试）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由根式、分式的定义域，解不等式组得到定义域. 【详解】解不等式组得，故函数的定义域是． 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）利用具体函数定义域的求法，分类讨论的取值范围即可得解. 【详解】（1）当时，，此时函数的定义域为， 当时，，解得，此时函数的定义域为； 当时，，此时函数的定义域为； （2）令，解得或， 当时，此时的定义域为或， 当时，恒成立，此时的定义域为， 当时，此时的定义域为或. 【经典例题七 抽象函数的定义域】 【例7】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域可得，对于可得，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，即，则； 对于函数，可知，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 1．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知函数定义域为，则定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的定义域为，可得的范围，也是的范围，解出的范围即是的定义域. 【详解】因为的定义域为， ，对于函数有，解得定义域为. 故选： 2．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，则，则， 即的定义域为； 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可. （2）利用抽象函数定义域的性质求解即可. 【详解】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为. ②由已知，得，解得，故的定义域为. （2）先求的定义域： 因为的定义域是，所以， 所以，即的定义域是. 再求的定义域： 因为，解得， 所以的定义域是. 【经典例题八 复合函数的定义域】 【例8】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复合函数的定义域的意义列式求解即得. 【详解】函数定义域为，由函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 1．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知求出中的取值范围，它即为中的范围，再结合分母不等于0，二次根式中被开方数非负得出结论． 【详解】中，，则， 所以函数中，解得， 故选：A． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可. 【详解】∵函数的定义域为，即，可得， ∴函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为. 故答案为： 3．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）（1）已知y＝f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(x2+1)的定义域； （2）已知y＝f(2x﹣1)的定义域为[0,1]，求y＝f(x)的定义域； 【答案】（1）；（2）． 【分析】根据函数的定义求解，注意整体思想的应用． 【详解】（1）由题意，解得，所以的定义域是； （2）由于中，因此，所以的定义域是． 【经典例题九 实际问题中的定义域】 【例9】（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义分析即可. 【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 1．（20-21高一上·福建泉州·阶段练习）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系即可得到函数的定义域. 【详解】由题知：，， 根据三角形三边关系得到， 所以函数的定义域为. 故选：A 2．（22-23高一上·山东烟台·阶段练习）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 . 【答案】 【分析】由三角形相似得，再根据面积不小于，即可求得x的取值范围. 【详解】设矩形另一边的长为m， 由三角形相似得：，（）, 所以, 所以矩形草坪的面积， 解得：. 故答案为： 3．（20-21高一上·上海·课后作业）一个等腰三角形的周长为10，设底边长为y，腰长为x，求y关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】根据三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为10厘米，即可得出底边长关于腰长的函数解析式，再由三角形的三边关系即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围． 【详解】解：由已知 得： 三角形的三边关系式可得：， 解得：． 则与之间的函数关系式为 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元一次不等式组，解题的关键是根据等腰三角形的周长得出底边长关于腰长的函数解析式．本题属于基础题，难度不大. 【经典例题十 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【例10】（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可. 【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确； 的定义域为，值域为，B错误； 的定义域为R，值域为，C错误； 的定义域为R，值域为，D错误. 故选：A 1．（2023高一·全国·课后作业）已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（    ） A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5 【答案】D 【分析】由函数的定义域求出值域，然后由集合中元素的互异性与集合相等分类讨论求解即可. 【详解】函数的定义域为A，值域为B， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以，又， 所以若，解得或，因为，所以. 此时，所以，则； 若，又，所以不成立. 综上，. 故选：D. 2．（24-25高一上·四川成都·开学考试）函数（为确定的实数）的因变量取值范围是 . 【答案】当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是. 【分析】对进行分类讨论，根据一次函数、二次函数的知识求得正确答案. 【详解】当时，，则； 当时，二次函数，则顶点的纵坐标为， 所以，当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是. 故答案为：当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是；当时，因变量的取值范围是. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）已知函数，函数的值域是什么？ 【答案】答案见解析 【分析】直接代入的值即可得到值域. 【详解】当时，； 当时，； 当时，. 所以函数的值域是{0，1，4} 【经典例题十一 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【例11】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】令（），通过求出的范围，则配方后即可求得最大值. 【详解】由解析式易知的定义域为， 令（）， 所以，则， 由，可知， ，所以，则， 所以（）， 则， 所以的最大值为. 故选：C. 1．（21-22高二下·重庆沙坪坝·期末）设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过特殊法，代值法代入题目中的函数式即可求得，从而求出解析式，利用换元法得出答案. 【详解】令，得，即； 令 ，则，即； 令，则 所以的值域是. 故选：B. 2．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）函数的最大值是 . 【答案】 【分析】对函数进行平方处理，结合二次函数的最值情况求解即可. 【详解】 当时取最大值，则的最大值是. 故答案为：. 3．（2024高三·北京·专题练习）求函数的值域． 【答案】 【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域. 【详解】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 【经典例题十二 根据值域求参数的值或者范围】 【例12】（2023·江西·模拟预测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出二次函数在上的值域为，分、、两种情况讨论，求出函数在上的值域，由题意可得出，当时，直接验证即可，在、两种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】函数， 当时，，则，则， 函数在的值域记为， 对任意的，存在，使，则， ①当时，，则，则； ②当时，因为，则，则， 所以，，解得； ③当时，因为，则，即， 所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 1．（2022高三·全国·专题练习）已知当，时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（    ） A．，， B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根据函数单调性求出值域，再根据只有一个交点得值域端点值之间的大小关系，解不等式即可. 【详解】解：根据题意，由于为正数， 为二次函数，在区间为减函数，，为增函数， 函数为增函数， 分2种情况讨论： ①当时，有， 在区间，上， 为减函数，且其值域为，， 函数为增函数，其值域为，， ， 此时两个函数的图象有1个交点，符合题意； ②当时，有， 在区间为减函数，，为增函数， 函数为增函数，其值域为，， 若两个函数的图象有1个交点，则有， 解可得， 综合可得：的取值范围是，，； 故选：A． 2．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）定义在上的函数满足，且当时，，，对，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出在上的值域，利用得到在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围. 【详解】当时，， 由于为对称轴为开口向下的二次函数， ，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 可得在上单调递减，在上单调递增，， 在上的值域为，在上的值域为， 在上的值域为， ， 故当， 在上的值域为， 当时，为增函数，在上的值域为， ，解得，故的范围是； 当时，为单调递减函数，在上的值域为， ，解得故的范围是， 综上可知故的范围是. 3．（20-21高一·全国·课后作业）请写出一个函数，使得的定义域为，且值域为. 【答案】，.（答案不唯一） 【分析】由题意，只需写出一个即可.为了简单，我们可以选择一次函数，因为定义域中可以取到最大值2，而值域中可以取到最小值1，所以要考虑函数值随自变量的增大而减小的函数. 【详解】不妨设，，则有 解得，. 所以，.（答案不唯一） 【经典例题十三 已知函数类型求解析式】 【例13】（22-23高三·全国·对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式. 【详解】设，， ∵，则， 又∵， 令，则，∴，即，， 令，则，，即，， ∴，，. 故选：D. 1. （22-23高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设出一次函数的解析式，根据题意列出方程，待定系数法求解即可. 【详解】设一次函数， 则， 即，所以解得， 所以， 故选:C. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条件的一个的解析式为 . ①，；②在上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数的性质直接得解. 【详解】由题意为指数型函数，且在R上单调递减，可以为，如． 故答案为：．（答案不唯一）． 3．（23-24高一上·广东江门·期中）（1）求函数的定义域； （2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据分式和根式的性质列式求解； （2）设所求的二次函数为，依题意得到方程组，解得即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以函数的定义域为； （2）由题意可设所求的二次函数为. 因为，，则. 又因为， 即 整理得， 由恒等式性质可得，解得， 所以所求二次函数为. 【经典例题十四 已知f(g(x))求解析式】 【例14】．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）若满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件即可得出函数的表达式. 【详解】由题意， 在中，， ∴， 故选：B. 1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对的式子适当变形，即可直接求出. 【详解】因为， 所以，则. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，，则 ． 【答案】 【分析】直接由的定义即可代入得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 3．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】 【分析】可由配凑法等式右边用表达或换元法令求解； 【详解】法一：把的右边配成的表达式， 即，然后整体换成， 得：， 故的解析式为：． 法二：令，得代入得： ， 然后t换成x即， 故的解析式为： 【经典例题十五 求抽象函数的解析式】 【例15】（22-23高三上·山东·阶段练习）设为常数，，，则（    ） A． B． C．满足条件的不止一个 D．恒成立 【答案】D 【分析】利用赋值法逐一对各选项进行验证. 【详解】令，可得， 因为，所以，故选项A不正确； 令，得， 代入，得， 原等式变形为，故选项B不正确； 在中， 令，得，即函数取值非负， 令，得，所以， 即恒成立，满足条件的只有一个， 故选项D正确，C不正确. 故选:D. 1．（2024高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，以下说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】通过反例可说明ABD错误，根据抽象函数关系式可直接说明C正确. 【详解】对于A，取函数（表示不超过的最大整数）， ①当时，； ②当时，； 此时满足； 令，则，， 不满足，A错误； 对于B，取函数， ①当时，； ②当时，； ③当且时，， 若，即时，， 若，即时，， 若且，； 综上：此时满足； 令，则， 不满足，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，取函数， ①当时，； ②当时，， i.若，即，则， ii.若，即，则， 当，即时，， 当，即时，； 综上：此时满足； 令，， 不满足，D错误. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的性质，本题解题的基本思路是通过构造反例的方式，采用排除法确定正确选项；而对于正确选项，则根据抽象函数关系式直接推导即可. 2．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可. 【详解】若设，则由， 得，解得：， 所以， 故答案为：（答案不唯一）. 3．（2023高一·全国·专题练习）已知函数满足：对一切实数、，均有成立，且.求函数的表达式. 【答案】. 【分析】根据所给关系对于合理赋值后求出，再令可得解. 【详解】由已知等式， 令，，得． 又，所以． 再令，可得，即． 因此，函数的表达式为． 【经典例题十六 判断两个函数是否相等】 【例16】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相同函数的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是. 故选：D 1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项. 【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为， 所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R， 可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 故选：D. 2．（23-24高一上·北京·期中）下列各组函数表示同一个函数的是 . ①，  ② ③    ④ 【答案】①④ 【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是，从而得解. 【详解】对于①，，因为两个函数的定义域都为， 且对应关系也一样，所以是同一个函数，故正确； 对于②，因为的对应关系不一样， 所以不是同一个函数，故错误； 对于③，的定义域为， 的定义域为，两个函数的定义域不一样，故错误； 对于④， 所以两个函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一个函数，故正确． 故答案为：①④. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）下列哪一组中的函数与是同一个函数？ (1)，； (2)，； (3) 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 【分析】根据函数相同的判定方法即可. 【详解】（1）因为定义域为，而的定义域为R， 所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数； （2）对于C，易知函数和的定义域为， 而的值域为，的值域为，两函数值域不同，故不能表示同一函数； （3）易知函数和的定义域为，值域为， 且，所以是同一函数. 【经典例题十七 根据函数的值域求定义域】 【例17】（20-21高一上·江苏镇江·阶段练习）要使分式的值为0，你认为x可取得数是（    ） A．9 B．±3 C．﹣3 D．3 【答案】D 【分析】解方程，即可. 【详解】令，解得（∵分母不为0，∴） 故选：D 1．（20-21高一上·河南开封·阶段练习）若函数f(x)=5x+4的值域是[9，+∞)，则函数f(x)的定义域为（    ） A．R B．[9，+∞) C．[1，+∞) D．(-∞，1) 【答案】C 【分析】解：由题意可得，从而可求出函数的定义域 【详解】解：因为函数f(x)=5x+4的值域是[9，+∞)， 所以，解得， 故选：C 【点睛】此题考查由函数的值域求函数的定义域，属于基础题 2．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是 【答案】（答案不唯一） 【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可. 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 3．（20-21高一·江苏·课后作业）设一个函数的解析式为，它的值域为，求此函数的定义域. 【答案】 【分析】利用函数的单调性求解. 【详解】因为函数为单调递增函数，且其值域为， 所以，解得； ，解得； ，解得， ，解得， 所以此函数的定义域. 【经典例题十八 求函数值】 【例18】（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故选：D. 1．（24-25高二上·安徽·开学考试）是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】首先推导出，从而得到，再根据计算可得. 【详解】因为，即， 所以 ， 又，所以， 所以. 故选：C 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，，则 【答案】2 【分析】令， 或 ，再说明不合题意. 【详解】令 ， 得得 或 ， 当 时，令得 不合题意， 故 . 故答案为：2 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数，． (1)求，的值； (2)求的值； (3)求，，． 【答案】(1)， (2) (3)，， 【分析】（1）根据函数解析式求得. （2）根据函数解析式求得. （3）根据函数解析式求得，，． 【详解】（1），． （2）由（1）得． （3）， ， ． 【经典例题十九 解析法表示函数】 【例19】（22-23高一上·河北廊坊·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数解析式，直接代入即可. 【详解】依题意． 故选：A. 1．（23-24高一上·山西·期中）如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件可求得，依题分析即可得到结果. 【详解】因为是等腰直角三角形，， 所以．当点在线段上运动时， ． 故选：A. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算，求出函数的表达式，进而求函数的值域. 【详解】由题意知， 即， 所以, 所以，且， 所以． 故答案为：. 3．（2023高一上·上海·专题练习）某工厂有一面长14米的旧墙，现在准备利用这面墙建造平面图为矩形的面积为126平方米的厂房，考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过其总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料，具体工程条件如下： ①建1米新墙的费用为a元； ②修1米旧墙的费用为元； ③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为元； 问：设利用旧墙为x，建墙费用为y，试建立y与x的函数关系式y=f(x). 【答案】 【分析】结合题意，分别计算出新墙、旧墙、及利用剩余的旧墙材料建新墙的费用，加起来即可. 【详解】结合题意：利用旧墙的一段米为矩形一面边长，则修旧墙费用为元， 将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为元， 其余建新墙的费用为元， 故总费用为. 【经典例题二十 图象法表示函数】 【例20】（23-24高二下·四川绵阳·期中）小明骑车上学，开始时匀速行驶，中途因车流量大而减速行驶，后为了赶时间加速行驶，与以上事件吻合得最好的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据速度的变化快慢得答案. 【详解】开始时匀速行驶，故图像为直线，然后减速行驶，故图像上升速度变慢，后为了赶时间加速行驶，故图像上升速度变快，选项C符合. 故选：C. 1．（22-23高三上·新疆伊犁·阶段练习）如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动.设顶点的轨迹方程是，在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分析函数的周期性，再分析点的运动轨迹，从而得解. 【详解】从某一个顶点（比如）落在轴上的时候开始计算，到下一次点落在轴上， 这个过程中四个顶点依次落在了轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4. 下面考查点的运动轨迹，不妨考查正方形向右滚动，点从轴上开始运动的时候， 首先是围绕点运动个圆，该圆半径为1，然后以点为中心，滚动到点落地， 其间是以为半径，旋转，然后以为圆心，再旋转，这时候以为半径， 因此最终构成图象如下：    所以. 故选：B 2．（23-24高一上·广东广州·期中）如图，函数的图象是折线段，其中A，B，C的坐标分别为，，，则 ．    【答案】 【分析】根据函数图象直接求解即可. 【详解】由图象可知， 所以有， 故答案为： 3．（23-24高一·全国·课堂例题）作出函数的图象，如何作出函数的图象？ 【答案】答案见解析 【分析】利用描点法作出图象即可. 【详解】函数的图象是一些离散的点，图象如图所示： 将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点，自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点， 所有这些点组成的集合（点集）为，这些点组成的曲线就是函数的图象． 【经典例题二十一 列表法表示函数】 【例21】（23-24高一上·广东惠州·期末）已知定义在上的函数表示为: x 0 y 1 0 2 设，的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据自变量所在区间判断出的值，然后根据表中数据可知值域. 【详解】因为满足，所以， 由表中数据可知：的取值仅有三个值，所以， 故选：B. 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格先求，再求的值. 【详解】由表格可得，， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）某企业去年第一季度生产某种型号机器的数量y（单位：万台）与月份x的函数关系如下表所示： x（月份） 1 2 3 y（万台） 3 5 7 则该函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由函数的表示方法、定义域的概念即可得解. 【详解】由表格可知，所求函数的定义域为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x（）块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数吗？ 【答案】答案见解析 【分析】运用函数3种表示方法表示即可. 【详解】解  函数的定义域是数集， 用解析法可将函数表示为，． 列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 图象法可将函数表示为 【经典例题二十二 求分段函数解析式或求函数的值】 【例22】（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 1．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：D. 2．（2024·四川达州·二模）已知，则 . 【答案】1 【分析】应用分段函数解析式分层计算即可. 【详解】. 故答案为：1. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数的表达式为求，及，其中a为实数． 【答案】答案见详解 【分析】根据题意分段函数解析式运算求解，注意讨论a的符号. 【详解】由题意可得：， 若，即，则； 若，即，则； 综上所述：. 【经典例题二十三 分段函数的定义域】 【例23】（20-21高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案. 【详解】对A，的定义域为R，的定义域为，则A错误； 对B，和的定义域均为R，且，则B正确； 对C，的定义域为，的定义域为R，则C错误； 对D，的定义域为，的定义域为R，则D错误. 故选：B. 1．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对分段函数的定义域的理解可得. 【详解】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 2．（2023高一·全国·专题练习）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数． 【答案】对应关系 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一·全国·课堂例题）分段函数的定义域部分可以相交吗？ 【经典例题二十四 分段函数的性质及应用】 【例24】（23-24高一下·四川泸州·期末）已知函数，若方程有4个不同的根，且，则的值为（    ） A．3 B．0 C．2 D．6 【答案】A 【分析】作出函数图象，由对称性可知，，，计算得，再计算的结果； 【详解】作出函数的图象如下 由对称性可知，，因为， 由图可知， 所以 则， ， 故选：A. 1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，其中，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出分段函数，分类解不等式即可． 【详解】由题意，， 当时，不等式，即，解得，又，则； 当时，不等式，即，解得或，又，则； 当时，不等式，即，解得，又，则； 综上，实数的取值范围是． 故选：D． 2．（22-23高一上·广东清远·期末）已知函数，则 . 【答案】2 【分析】根据分段函数性质可得，又，即可得. 【详解】由分段函数解析式可知，将代入可得， 再将代入可得， 即可计算出. 故答案为：2 3．（24-25高一上·全国·课前预习）函数是两个函数吗？ 【答案】不是，这是一个分段函数， 【分析】根据函数的解析式即可判断. 【详解】函数是一个分段函数，不是两个函数， 只不过x的取值范围不同，解析式不同． 【经典例题二十五 已知分段函数的值求参数或自变量】 【例25】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数，若，则实数a的值为（    ） A．或 B．或4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，先分类讨论求得的值，再分类讨论求得的值，从而得解. 【详解】设，则， 当时，由，解得，当时，由，解得， 于是或， 当时，由或，解得或，因此； 当时，由或，解得或，因此， 所以实数a的值为或. 故选：C 1．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】分与两段讨论，分别建立方程求解即可. 【详解】①当时，由，解得， 其中不满足题意，故； ②当时，由，解得，满足，故； 综上所述，则的值为或. 故选：C. 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 【答案】或 【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值. 【详解】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 3．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【答案】(1)0 (2)或或 【分析】（1）根据分段函数的特征可计算； （2）就的不同取值范围构建不同的方程后可求的值. 【详解】（1）. （2）当时，，∴； 当时，，解得：； 当时，，∴， 综上所述：或或． 【经典例题二十六 映射的判断】 【例26】（2023高一·全国·专题练习）下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据映射的定义逐个分析判断即可 【详解】A选项：集合A中的在集合B中有3、4两个数与它对应，故A选项错误； B选项：集合A中的在集合B中没有元素与它对应，故B选项错误； C选项：集合A中的在集合B中有3、5两个数与它对应，故C选项错误； D选项：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，故D选项正确. 故选：D 1．（20-21高一上·湖北荆州·期中）下列从集合到集合的对应中，是函数的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【解析】根据映射的定义，逐一判断四个答案中的对应，是否满足映射的定义，可得答案． 【详解】解：中对应，当时中无对应元素，故不是映射； 中对应，中任一元素的绝对值在中均无对应元素，故不是映射； 中对应，当时，中无对应元素，故不是映射； 中对应，任意，都有唯一与之对应，故是映射； 故选：． 2．（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）如图所示的对应中，能构成到的映射的序号是 . 【答案】（2）（3） 【解析】由题意利用映射的定义，判断各个选项是否符合条件，从而得出结论. 【详解】按照映射的定义，集合中的每一个元素在集合中都有唯一确定的象，而对于选项（1），集合中的元素在集合中没有象，故排除选项（1）；显然，（2）（3）满足条件； 选对于项（4），集合中的元素2在中有2个元素､和它对应，故排除选项（4）， 故答案为：（2）（3）. 3．（20-21高一·江苏·课后作业）假定某高中每个班级都有45位同学，每个班级学生按1~45进行编号，全校学生的姓名都不相同.设集合为某高中的学生的姓名，，f：每个学生姓名对应学生的编号；g：每个编号对应学生的姓名.问：f是否为从A到B的映射？g是否为从B到A的映射？ 【答案】f是从A到B的映射，g不是从B到A的映射. 【分析】根据映射的定义可判断. 【详解】解：f是从A到B的映射，g不是从B到A的映射，理由如下: 因为每个学生姓名对应学生的编号唯一确定，编号对应的学生姓名不唯一，所以f是从A到B的映射，g不是从B到A的映射. 【经典例题二十七 确定形成映射的个数】 【例27】（23-24高一上·辽宁·期中）已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（    ）种． A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据函数的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合，，f：为定义在集合上的一个函数， 根据函数的定义知： 若函数是一对一对应，则函数的值域可能为，三种情况； 若函数是二对一对应，则函数的值域可能为，三种情况， 所以函数的值域的不同情况有种. 故选：B. 1．(21-22高一上·江西抚州·阶段练习）集合下列表示从到的映射的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据映射的定义依次判断选项即可. 【详解】A：集合A中每一个元素，在集合B中都能找到两个元素与之对应，不符合映射的定义， 所以不表示A到B的映射，故排除A； B：集合A中元素4，在集合B中不能找到元素与之对应，不符合映射的定义，所以不表示A到B的映射，故排除B； C：集合A中元素4，在集合B中不能找到元素与之对应，不符合映射的定义，所以不表示A到B的映射，故排除C； D：集合A中每一个元素，在集合B中都能找到唯一元素与之对应，符合映射的定义， 所以表示A到B的映射，故A正确. 故选：D 2．（21-22高二下·浙江宁波·期中）函数：满足，则这样的函数个数共有 个． 【答案】10 【分析】根据函数的定义，分别在一对一映射，三对一映射和三对二映射三种情况下讨论得到函数个数. 【详解】若为一对一映射，则，，，只有个函数； 若为三对一映射，则或2或，共有个函数； 若为三对二映射，则从中选出两个元素作为象，共种选择，其中与所选元素相同的原象对应的象必定是它本身，而另一个原象可以选择两个象中的任意一个，共有种选择.如：象为，则，，或 共有种选择，即共有个函数 综上所述：共有满足题意的函数个数为个 故答案为：10 3.（22-23高二·全国·单元测试）（1）若，，从集合A到集合B可以建立多少个不同的映射？从集合B到集合A呢？ （2）已知集合，，设映射，如果B中的元素都是A中的元素在下的对应元素，这样的映射有几个？ 【答案】（1）8个；9个；（2）30个. 【分析】（1）由映射的定义直接求解即可； （2）先求出集合A到集合B的映射总个数，再排除A中1，2，3，4，5都对应-1和1，2，3，4，5都对应-2这两个，即可求解． 【详解】（1），， 则从A到B的映射共有：个． 反过来从B到A的映射共有：个． （2）由题意知，从集合A到集合B的映射总个数是， 因为B中的元素都是A中的元素在f下的对应元素， 所以要除去A中1，2，3，4，5都对应-1和1，2，3，4，5都对应-2这两个， 故满足题意的映射共有个． 【点睛】本题主要考查学生对映射的理解和应用，属于基础题． 【经典例题二十八 根据映射求象或原象】 【例28】（22-23高三·全国·对口高考）如图，已知四边形在映射作用下的象集为四边形，若四边形面积是，则四边形的面积是（    ）    A．9 B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】根据题意知映射时左右平移和纵坐标的伸缩变换，通过变换，得到面积的关系，即可求解. 【详解】因为映射之间的一一对应是一次函数的线性关系， 所以这种作用下相当于是将横坐标向左平移1个单位，纵坐标变为原来的2倍， 又因为四边形面积是，所以的面积为. 故选：B. 1．（21-22高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知在映射下的像是，则在映射下的原像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由映射的定义列方程组求解． 【详解】设原象为，由题意，解得，即原象为． 故选：C． 2．（20-21高一上·陕西西安·阶段练习）已知点在映射作用下的象是，，，则点（5，1）的原象是 【答案】（3，2） 【分析】根据题意列出方程组即可求出原象. 【详解】解：由题意知，，解得 ，所以原象是. 故答案为: . 3. （2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射． (1)试在上给出一个非单射的映射； (2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则； (3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可； （2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可； （3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可. 【详解】（1）由题意不妨设，当（非0）互为相反数时，满足题意； （2）一方面若是单射，且，则，即（否则若，有，矛盾）， 另一方面，若对任意，由可以得到， 我们用反证法证明是单射， 假设不是单射，即存在，有， 又由可以得到，即，这就产生了矛盾， 所以是单射， 综上所述，命题得证； （3）一方面若是单射，则由可得， 同理存在单射，使得，，有， 另一方面，若存在映射，使对任意，有， 我们用反证法来证明是单射， 若不是单射，即存在，有， 又若，则由题意，这与产生矛盾， 所以此时是单射， 综上所述，命题得证. 【点睛】关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利得证. 1．（21-22高一上·浙江杭州·期中）函数满足：恒成立.若，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据题意采用赋值法求出，进而求出. 【详解】，， 又，， , ,且， 故选：C 2．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 3．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用赋值法对进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论. 【详解】令得； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令4得. 综上只有正确. 故选：A 4．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知函数的图象为折线，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由待定系数法求出，的解析式，再代入求解即可. 【详解】因为在函数的图象上， 当时，设解析式为 ，即， 当时，设解析式为， ，即， ， 即. 故选：B. 5.(23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，，所以，， 又因为，所以， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， 故B正确，A错误，且无证据表明CD正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 6．（20-21高一上·江苏南通·阶段练习）已知，，为大于0的常数，则的值域可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对二次函数进行配方，得最低点，计算出，根据二次函数的性质可得结果. 【详解】因为，， 当时，的值域为， 由二次函数的性质可得值域不可能是， 当且满足时，的值域为， 无论取任何正实数，二次函数的最小值定小于，即值域不可能为， 故可得的值域可能为，， 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了二次函数的值域问题，考查了数形结合思想，属于中档题. 7．（23-24高一上·河北保定·期中）下列命题正确的是（ ） A．命题“”的否定是“” B．函数的单调递增区间为 C．函数的值域为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【分析】根据全称命题的否定判断A，根据函数定义域判断B，根据换元法求函数值域判断C，根据抽象函数的定义域判断D. 【详解】根据全称命题的否定可知，“”的否定是“”，故A正确； 由，解得，即函数的定义域为，故单调递增区间为错误，故B错误； 令，则，因为，， 所以，即函数的值域为，故C错误； 因为函数的定义域为，则，解得，所以函数的定义域为，故D正确. 故选：AD 8．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数对任意，恒有，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】赋值法，分别令，，即可得出答案. 【详解】令，得，则.故A错误，C正确； 令，得.故B错误，D正确. 故选：CD. 9．（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示的图象表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由分段函数图象利用待定系数法分段求解函数的解析式即可. 【详解】由图可知，当时，为一次函数，可设为， 代入得：； 当时，为一次函数，可设为， 代入，得：解得：，. 所以；所以. ，所以BD正确. 故选：BD. 10．（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）下列有关函数的命题正确的是（     ） A．已知函数满足，且，则 B．函数，若，则实数 C．满足对任意的都有成立，则 D．若的定义域是，则的定义域为 【答案】ABD 【分析】对A：通过赋值，即可求得参数值； 对B：讨论的范围，代入不同的解析式，求解即可； 对C：对已知关系式进行赋值，即可求得结果； 对D：根据已知函数定义域，求得的定义域，再求目标函数定义域即可. 【详解】对A：，令，则，故，故A正确； 对B：，，故可得； 若，则，该方程在实数范围内无解； 若，则，解得，满足； 综上所述，，故B正确； 对C：，对任意的成立， 令，可得；令，可得； 令，可得；令，可得； 则，故C错误； 对D：的定义域是，故可得，则， 则对，，则，其定义域为，故D正确； 故选：ABD. 11．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】（1）根据根式以及0次方的性质即可由不等式求解， （2）根据根式的性质即可求解， （3）根据抽象函数的定义域性质即可求解. 【详解】（1）由得且，∴函数的定义域是． （2）由得，∴函数的定义域是． （3）∵的定义域是， ∴，∴，即的定义域是， ∴，∴， ∴函数的定义域是． 故答案为：；； 12．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】利用换元法，结合对勾函数性质求解即可. 【详解】令，则原函数化为函数 函数图像如下：    由对勾函数性质得在上单调递增， 所以当时，函数取最小值 故答案为：2 13．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）满足的非零有理系数多项式的最低次数为 . 【答案】 【分析】先对进行变形，构造出满足条件，然后证明如果非零有理系数多项式满足，则一定拥有个不同的零点，从而说明的次数至少为，即可得到答案. 【详解】设. 一方面，有. 所以，故. 从而，故有. 即. 移项，合并同类项，得. 这表明非零有理系数多项式满足条件； 另一方面，若非零有理系数多项式满足，即是的一个零点. 不妨设是非零整系数多项式，否则将乘以其系数的公分母，再替换即可. 设，则据假设有 . 再设，则. 设多项式展开后是. 根据的结构可以看出，每个都可以表示为的有理系数多项式形式. 从而每个都能表示为. 由于，故. 由于一定是整数或整数的倍，结合的形式，知一定存在，使得 . 从而，即. 比对每个根式的系数，即得. 所以亦有，故，即. 所以，这说明也是的零点. 采用相同的方法，可以证明，，，，，，，均为的零点. 所以非零多项式至少有个零点，从而的次数至少为. 综合以上两方面，可知的最低次数为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·重庆·期末）若，则方程在内的所有实根之和为 . 【答案】 【分析】根据条件，直接求出在上的解析式，再联立方程，求出所有实根，即可求出结果. 【详解】因为， 当时，，由，得到， 即，解得或（舍）， 当时，，由，得到， 即，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 当时，，， 由，得，解得或（舍）， 综上所述，方程在内的所有实根之和为， 故答案为：. 15．（2024高三上·江苏南京·学业考试）已知函数满足，且，则 ． 【答案】或2021. 【分析】，通过赋值法，求出t的值，进而得到，再求解即可. 【详解】令，则， 令，则，解得或. 而，故.因此. 则， 即， 因此或 当时，，时，此时； 当时，. 故答案为：或2021. 16．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 (1)若，求实数m及； (2)若，求的定义域； (3)若的定义域为，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据求出m的值，然后即可求出的值； （2）根据可得出的解析式，让解析式有意义即可求出的定义域； （3）根据的定义域可得出的最小值，从而得出m的范围. 【详解】（1），解得，所以，则， 所以； （2）当时，，要使有意义，则， 解得，所以的定义域为； （3）因为的定义域为， 所以在上恒成立， 所以的最小值，解得， 所以m的取值范围为. 17．（23-24高一上·陕西汉中·期中）（1）已知函数是一次函数，且，，求的解析式． （2）已知，求的解析式； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，根据已知列出方程，求解得出的值即可； （2）换元，，代入即可得出答案. 【详解】（1）设，则有 ，故 （2）令，则，， 因为，所以， 所以. 18．（22-23高一下·安徽·开学考试）设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，可得出的值，然后再令，可求得函数的解析式； （2）令，令，其中，利用二次函数的基本性质求出的值域，即为函数的值域. 【详解】（1）解：令，得，即. 令，则，则. （2）解：由（1）得，. 令，则，所以，， 令，其中，则， 即函数的值域为. 19．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取都为时，代入题中关系式即可证明； （2）令，分析可得，进而可求，令，分析可得，整理得，即可得结果. 【详解】（1）因为， 取都为时，所以. （2）令，则，可得或， 当时，令，则，即与矛盾， 所以， 因为， 令，则，可得， 令，则， 即， 即， 可得， 用代可得， 可得，即， 所以. 20．（22-23高一上·全国·课后作业）已知函数,（）. (1)分别计算， 的值. (2)由（1）你发现了什么结论?并加以证明. (3)利用（2）中的结论计算的值. 【答案】(1)，. (2)结论，证明见解析. (3). 【分析】（1）根据函数解析式，代入求值即得答案； （2）根据（1）的结果可得结论，并利用函数解析式进行证明即可； （3）求出，根据（2）的结论，分组求和，可得答案. 【详解】（1）由题意得， . （2）由（1），得结论. 证明如下: . （3）由，可得， 故 . 学科网（北京）股份有限公司 $$