第二章 函数重难点检测卷 -2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

第二章 函数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2021·全国·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（22-23高一上·湖北武汉·期中）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）设是定义域为的奇函数，，当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（2024高二下·湖南·学业考试）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）命题，命题：函数在上单调，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024高三·全国·专题练习）设，函数是定义在上的奇函数，且当时，．若是上的增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·山东济宁·开学考试）“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高三上·重庆·阶段练习）定义在上的函数满足:对任意，都有，且为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（22-23高一上·湖南常德·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．若函数过定点，则函数经过定点 C．幂函数 在是减函数 D．图象关于点成中心对称 10．（23-24高一上·四川遂宁·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递增区间为 B．函数的值域为 C．若定义在R上的幂函数，则 D．若是奇函数，则一定有 11．（21-22高一上·江苏常州·期中）下列四个命题是真命题的是（    ）． A．函数与函数表示同一个函数 B．奇函数的图像不一定通过直角坐标系的原点 C．函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到 D．若函数，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（22-23高一·江苏·课后作业）设偶函数f(x)满足：，且当时时，， 则 ． 13．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ． 14．（23-24高一上·安徽淮北·期中）若函数，且，则实数a的值为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数为奇函数． (1)求常数的值； (2)判断函数在上的单调性． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 17．（23-24高一上·天津·期末）函数， (1)若的解集是或，求实数，的值； (2)当时，若，求实数的值； (3)，若，求的解集. 18．（22-23高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知幂函数是偶函数． (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围． 19．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列函数的值域： (1) (2) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2021·全国·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意得：，可得函数的图象与的图象关于直线对称，根据的单调性及题干条件，可得，即可得答案. 【详解】由题意得：， 所以函数的图象与的图象关于直线对称， 因为函数在R上单调递增，函数在R上单调递减，且，即， 所以，所以，即. 故选：C. 【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的对称性，即“同周期异对称”，若，则表示函数对称轴为；若，则表示函数对称中心为，属中档题. 2．（22-23高一上·湖北武汉·期中）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求得的值域，根据题意可得的值域为[1,2]是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案. 【详解】因为， 所以，即的值域为[1,2]， 因为对于任意，总存在，使得成立， 所以的值域为[1,2]是在上值域的子集， 当时，在上为增函数，所以，所以， 所以，解得， 当时，在上为减函数，所以，所以 所以，解得， 综上实数a的取值范围是， 故选：C 【点睛】解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题. 3．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）设是定义域为的奇函数，，当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据奇函数的性质得到，从而得到，再计算即可. 【详解】是定义域为的奇函数，， 当时，， 所以， 所以当时，，. 故选：A 4．（2024高二下·湖南·学业考试）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将点的坐标代入函数解析式即可求得. 【详解】将代入得：，解得：. 故选：A 5．（2024·全国·模拟预测）命题，命题：函数在上单调，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可. 【详解】设，则可化为． 充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增，因此充分性成立． 必要性：当时，在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，所以，则，此时函数在上单调递减． 综上可知，当函数在上单调时，或，因此必要性不成立．所以是的充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】易错点点睛：本题以含有参数的对数型函数的单调性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，体会函数思想、分类讨论思想的应用．先考虑充分性，再考虑命题为真命题时，参数的取值范围，对参数进行分类讨论，同时不要忘记考虑真数大于0这一情况，这是本题的易错点. 6．（2024高三·全国·专题练习）设，函数是定义在上的奇函数，且当时，．若是上的增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质可求解，即可利用分段函数的单调性求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，且． 当时，函数， 当时，，则，则， 即当时，函数， 所以，因为函数是上的增函数， 则有解得，所以实数的取值范围为 故选：B． 7．（24-25高三上·山东济宁·开学考试）“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系 【详解】因为是幂函数且在上是减函数， 故，故， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件， 故选：B. 8．（23-24高三上·重庆·阶段练习）定义在上的函数满足:对任意，都有，且为奇函数，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】根据已知条件推出是周期为4，关于、对称的偶函数，再结合、与的平移伸缩关系判断各项的正误. 【详解】由为奇函数，则，即，B错； 所以关于对称， 由，令，则，即， 所以关于对称，则关于，即y轴对称，C对； 所以，则，故， 则，即的周期为4，则， 综上，是周期为4，关于、对称的偶函数， 将所有横坐标缩短为原来的一半得到函数， 所以是周期为2，关于、对称的偶函数，D错； 则，A错； 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（22-23高一上·湖南常德·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．若函数过定点，则函数经过定点 C．幂函数 在是减函数 D．图象关于点成中心对称 【答案】BD 【分析】根据抽象函数定义域判断A；根据函数图像平移判断BD；根据幂函数的性质判断C. 【详解】解：对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故错误； 对于B，函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数图像，由于过定点，故函数经过定点，正确； 对于C，幂函数 在是减函数，由于，定义域为，，为偶函数，故幂函数 在是增函数，故错误； 对于D，，其图像由向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，且图像关于原点对称，故图像关于点成中心对称，正确. 故选：BD 10．（23-24高一上·四川遂宁·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递增区间为 B．函数的值域为 C．若定义在R上的幂函数，则 D．若是奇函数，则一定有 【答案】BC 【分析】求出的定义域即可判断A；利用分离常数法求值域判断B；利用幂函数的性质求值判断C；利用奇函数的定义结合举例判断D. 【详解】由，解得，可知当时，函数无意义，故A错误； ，∵，∴， ∴，即函数的值域为，故B正确； 若定义在R上的幂函数，则，得，故C正确； 若是奇函数，令，是奇函数，但函数在处无意义，故D错误. 故选：BC. 11．（21-22高一上·江苏常州·期中）下列四个命题是真命题的是（    ）． A．函数与函数表示同一个函数 B．奇函数的图像不一定通过直角坐标系的原点 C．函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到 D．若函数，则 【答案】BCD 【分析】A定义域不同，命题为假命题；B定义域不含0时，命题为假命题；C根据图象变换论可知该命题为真命题；D换元法求解析式，可知该命题为真命题. 【详解】A：函数y=|x|的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以该命题为假命题； B：定义域：若含0图象过原点，若不含0时图像不过原点，是真命题； C：根据图象平移变换结论，可知该命题为真命题； D：，，则，，是真命题； 故选：BCD． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（22-23高一·江苏·课后作业）设偶函数f(x)满足：，且当时时，， 则 ． 【答案】 【解析】利用初始值和递推关系，逐渐求得，，，，，最后求得再利用偶函数的性质得出所求. 【详解】解：， ， , , , , ∵f(x)是偶函数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用抽象函数的解析式求函数值，涉及偶函数的性质，属中高档题，关键在于利用初始值和递推关系，逐渐递推计算. 13．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ． 【答案】 【分析】设幂函数为，根据题意求得，得到，代入即可求解. 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 14．（23-24高一上·安徽淮北·期中）若函数，且，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】先求出函数解析式，进而求解结论. 【详解】函数，又的值域为， ， ，可得，解得. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（21-22高一·全国·课后作业）已知函数为奇函数． (1)求常数的值； (2)判断函数在上的单调性． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增 【分析】（1）由奇函数的定义可知对于定义域内任意有恒成立，由此即可求出答案； （2）设，由函数单调性的定义易知在单调递减，利用复合函数的单调性判断“同增异减”，则说明函数在上单调递增. 【详解】（1）∵函数为奇函数， ∴恒成立，即， ∴， 则，则恒成立，解得． 当时，，舍去； 当时，，满足题意． 故． （2）由（1）知， 设， 任取，，且， ． ∵，∴， 又∵,，， ∴ ∴函数在上单调递减． 又函数在上单调递减， ∴函数在上单调递增． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）设是常数，求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）利用具体函数定义域的求法，分类讨论的取值范围即可得解. 【详解】（1）当时，，此时函数的定义域为， 当时，，解得，此时函数的定义域为； 当时，，此时函数的定义域为； （2）令，解得或， 当时，此时的定义域为或， 当时，恒成立，此时的定义域为， 当时，此时的定义域为或. 17．（23-24高一上·天津·期末）函数， (1)若的解集是或，求实数，的值； (2)当时，若，求实数的值； (3)，若，求的解集. 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值. （2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值. （3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解. 【详解】（1）不等式的解集为或， ，且的两根为，， ，，，. （2）， 得，. （3），， 即， （1）当时， （2）当时，则， ①当时，； ②当时，若，即时，或 ， 若，即时， ； 若，即时，或 ； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18．（22-23高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知幂函数是偶函数． (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义求得的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式； （2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x的取值范围． 【详解】（1）已知幂函数，则，解得或， 所以或，又函数为偶函数，所以； （2）由于幂函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在单调递减， 若，则，平方后解得， 所以x的取值范围是. 19．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列函数的值域： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合基本不等式得出值域； （2）由换元法结合二次函数的性质得出值域. 【详解】（1）解：，故. 当且仅当时“”成立，值域为. （2）设, 则. ， 对称轴为，由二次函数的性质可知，故值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$