3.1 课时3 反比例关系 课件2024－2025学年人教版数学七年级上册

第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 第3课时 反比例关系 目 录 1. 学习目标 3. 知识点1 反比例关系 5. 知识点3 正比例与反比例关系的区别 6. 课堂小结 2. 新课导入 4. 知识点2 反比例关系的表示方法 7. 当堂小练 CONTENTS 1.掌握反比例关系的定义. 2.能理解并掌握反比例关系的概念，并能应用所学知识解决相关问题. 学习目标 新课导入 一列车从甲地驶往乙地，速度为280千米/小时，在这匀速行驶的过程中，设行驶路程为s（千米），时间为t（小时）. 【问题1】路程s与时间t之间满足怎样的关系？ s＝280 t（正比例关系） 路程=速度×时间 该列车 t 小时行驶的路程（单位：千米）. 列车行驶的路程与所用时间的比值总是一定的（等于280）. 因此列车行驶的路程与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系. 新课导入 一列车从甲地驶往乙地，甲乙两地的距离为1 668千米，在这匀速行驶的过程中，设列车的平均速度v（千米/小时），行驶时间为t（小时）. 【问题2】平均速度与时间具有关系吗？如果有，写出他们的关系式？ v＝（什么关系？） 路程=速度×时间 该列车的平均速度. 列车行驶的平均速度与所用时间的积总是一定的（等于1668）. 那么列车的平均速度与所用时间是成什么关系呢？ 新课讲解 知识点1 反比例关系 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市在冬季奥运会前，某赛场计划造雪300 000 m3. 解答下列问题： （1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写下表. （2）造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 每天造雪量/m3 3 000 5 000 6 000 ··· 造雪天数 ··· 探究 造雪天数＝ 每天造雪量为3 000 m2时，造雪天数为：＝100； 每天造雪量为5 000 m2时，造雪天数为：＝60； 每天造雪量为6 000 m2时，造雪天数为：＝50. 100 60 50 可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260 000. 新课讲解 定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 比例系数：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用或 来表示，其中k叫作比例系数． 无论x，y如何变化，x与y的乘积始终等于常数k. 新课讲解 例 1. 下列各量中，不是成反比例的是（ ） A. 路程一定，速度和时间 B. 正方形的边长与面积 C. 面积一定，平行四边形底和高 D. 工作量一定，工作效率与工作时间 解：A. 路程一定，速度和时间的乘积一定，则速度和时间成反比例，不符合题意； B. 正方形的边长与面积的乘积不一定，则正方形的边长与面积不成反比例。符合题意； C. 面积一定，平行四边形底和高的乘积一定，则平行四边形底和高，不符合题意； D. 工作量一定，工作效率与工作时间的乘积一定，则工作效率与工作时间成反比例，不符合题意. B 新课讲解 2. 张师傅加工600个零件，每小时加工个数和加工时间如下表： (1)将上表填写完整．表中有_______________和_________这两种相关联的量．每小时加工个数增加，加工时间________； (2)每组相关联的量相对应的两个数的积都是_________，这个积表示的是_______________________； (3)由此可知，_________________一定时，________________和_________成_______比例关系． 每小时加工个数 加工时间 减少 600 加工零件的总个数 加工零件的总个数 每小时加工个数 加工时间 每小时加工个数 10 30 40 … 加工时间/时 60 30 … 反 20 20 15 例 新课讲解 下列各题中的两种量成反比例关系的是(　 　) ①圆锥的体积一定，它的底面积和高； ②长方形周长一定，它的长与宽； ③比的前项一定，比的后项和比值； ④圆的面积和它的半径． A．①②　　　B．②③　　　C．①③　　D．③④　 C 练一练 新课讲解 知识点2 反比例关系的表示方法 例 3. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用6 h到达目的地. （1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的关系？ 解：（1）v＝＝＝ （2）如果该司机必须在4 h之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？ 故v与t成反比例关系. （2）当t＝4时v＝＝120（km/h） 答：返程时的平均速度不能小于120 km/h. 新课讲解 【思考】生活中，成反比例关系的例子是很常见的.例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系，你还能举出一些例子吗？ 机器加工一批零件，加工的总数量一定时，每小时加工的数量与加工的时间成反比例关系. 新课讲解 练一练 看一本120页的书，平均每天看的页数x和看完全书所需的天数y之间的关系式为y＝______，x和y成______比例. 解：由题意可得：关系式为y＝， 其中，x和y成反比例， 故答案为：y＝，反. 反 新课讲解 知识点3 正比例与反比例关系的区别 正比例关系 反比例关系 两个相关联的量x，y的比值一定，这两个量就叫作正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系.即=k（k是一个确定的值，且k≠0）. 两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.即xy=k（k是一个确定的值，且k≠0）. 新课讲解 例 4. 判断下面各题中的两个量x，y是否成反比例关系，并说明理由. （1）普通投影仪灯泡的使用寿命约为1 500小时，它的可使用天数y（天）与平均每天使用的时间x（时）； （2）一种商品的单价为a（元/件），所花费的钱数y（元）与购买的件数x（件）； （3）小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y； （4）一批零件300个，一个工人每小时做15个，人数x与完成任务所需的时间y. 解：（1）y = 是反比例关系，因为y与x的积是定值. （2）y = ax，不是反比例关系，因为y与x的比值是定值，是正比例关系. （3）x+y = a，不是反比例关系，因为y与x的和是定值. （4），是反比例关系，因为y与x的积是定值. 新课讲解 练一练 判断下面各题中的两个量x，y成什么关系，并说明理由. （1）某住宅小区要种植一个面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化； （2）六一儿童节，六（一）班有x名同学，每名同学发10颗糖果，共要买 y 颗糖果. 解：（1）y = ，是反比例关系，因为y与x的积是定值. （2）y = 10x，是正比例关系，因为y与x的比值是定值. 课堂小结 反比例关系 反比例关系 正比例关系与反比例关系的区别 反比例关系的表示方法 当堂小练 1. 下面各选项中，两个量成反比例关系的是 （ ） A.长方形的周长一定，长和宽 B.速度一定，路程和时间 C.总价一定，单价和数量 D.时间一定，每分钟打字个数和打字总个数 C 当堂小练 2. 用四根木条制作成一个长方形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动．在这个变化过程中，平行四边形的面积和高之间的关系是（       ） A．不成反比例关系 B．成反比例关系 C．成正比例关系 D．不成正比例关系 分析：根据题意得出平行四边形的面积=底×高，底是一定的，即可判断. 解：平行四边形的面积=底×高，底是一定的， 所以，平行四边形的面积和高的关系是成正比例关系. 故选：C. C 当堂小练 D 3. 下列等式中，x，y这两个量成反比例关系是（       ） A．x+y=15 B．y=7x C．x∶2=y∶3 D．x∶2=3∶y 分析：根据反比例关系的定义进行逐一判断即可：两种相关联的变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，如果这两个变量对应的两个数的乘积一定，那么它们的关系就叫做反比例关系. 解： A．x+y=15，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意. B．y=7x，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意. C．x∶2=y∶3，即2y=3x，x与y的积不是定值，不是反比例关系，不符合题意. D．x∶2=3∶y ，即xy=6，x与y的积是定值，是反比例关系，符合题意. 故选D. 当堂小练 4. 已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积 y（单位：平方千米/人）随全市总人口x（单位：人）的变化而变化.判断题中的两个量x，y成什么关系，并说明理由. 解： ，是反比例关系，因为y与x的积是定值，是反比例关系. 当堂小练 5. 一个游泳池的容积为2 000 m3，注满游泳池所用的时间t（单位：h）随注水速度v（单位：m3/h）的变化而变化， t，v成什么关系，并说明理由. 解：t = ，是反比例关系，因为t与v的积是定值. 当堂小练 6. 判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： （1）一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的质量； （2）长方体的体积一定，长方体的底面积与高； （3）购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用. 解：（1）成反比例关系. 因为总质量一定，装箱数×每箱的质量=总质量， 所以装箱数与每箱的质量成反比例关系. （2）成反比例关系. 因为长方体的体积一定，底面积×高=长方体的体积，所以长方体的底面积与高成反比例关系. （3）不成反比例关系. 因为总费用=荧光笔的费用+中性笔的费用，是和一定而不是积一定，所以不成反比例关系. 当堂小练 7. 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表所示. （1）这批货物共有多少吨？ （2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ （3）用t表示运输的天数，用a表示每天运输的吨数，用式子表示t与a的关系. t与a成什么比例关系？ 解：（1）500×1=500（吨），所以这批货物共有500吨. 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … （2）运输的天数随着每天运输的吨数的减小而增大. （3）at=500，t与a成反比例关系. $$