第三单元长方形和正方形（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学苏教版

长方形和正方形 板块一：考点精讲 1．长方形的特征及性质 【知识点归纳】 长方形：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等． 长方形的性质： 1．长方形的4个内角都是直角； 2．长方形对边相等； 3．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点． 4．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质 长方形的判定： ①定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形 ②定理1：有三个角是直角的四边形是长方形 矩形的面积：S矩形＝长×宽＝ab． 黄金长方形： 宽与长的比是（√5﹣1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金长方形． 黄金长方形给我们一协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙等． 2．正方形的特征及性质 【知识点归纳】 1．概念：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．性质： （1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直 （2）内角：四个角都是90°； （3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角； （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）． （5）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质． （6）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． （7）正方形是特殊的长方形． 3．长方形的周长 【知识点归】 周长：图形一周的长度，就是图形的周长；周长的长度等于图形所有边的和．一般用字母C来表示． 计算方法： ①周长＝长+宽+长+宽 ②周长＝长×2+宽×2 ③周长＝（长+宽）×2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求长方形的周长，分别找出长和宽，代入公式即可求得． （2）周长概念和公式要理解牢记． 4．正方形的周长 【知识点归纳】 正方形周长是围成正方形的边长总和，由于正方形的特征是4条边都相等，所以正方形周长＝边长×4． 用字母表示为c＝4a． 【解题思路点拔】 （1）常规题求正方形周长，先求出边长，代入公式即可得． 板块二：高频考点 一、选择题 1．淘气用4个边长是15厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（    ）厘米。 A．75 B．120 C．150 2．学校大门口所设的滑动门是由平行四边形钢架组成的，这是利用其（　　） A．稳定性 B．不稳定性 C．易折叠性 3．把一根长36厘米的铁丝围成一个正方形，求正方形的边长是多少，可以列式为（    ）。 A．36×4 B．36÷4 C．36÷2 4．如图两个平行四边形的面积相等，甲乙两个三角形的面积（    ）。    A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 5．一个正方形的边长增加2厘米，它的周长就会增加（    ）厘米。 A．2 B．4 C．8 6．小明剪了一个边长为4厘米的正方形，这个正方形的周长是（    ）。 A．4厘米 B．8厘米 C．16厘米 7．小张同学在研究正方形的特征时，把正方形对折（如图），他是为了验证（    ）。 A．正方形邻边相等 B．正方形有4条边 C．正方形对边相等 8．长方形的长和宽都扩大到原来的3倍，周长会扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．12 二、填空题 9．在如图的长方形里画一个最大的正方形，正方形的周长是（ ），剩下图形的周长是（ ）（单位：cm） 10．用2个边长是2厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的长是( )厘米，宽是( )厘米，周长是( )厘米。 11．一个长方形的长是9厘米，宽是3厘米，把3个这样的长方形拼成一个正方形，拼成的正方形的周长是( )厘米。 12．一个长方形操场长70米，宽30米，围着这个操场跑2圈，要跑( )米． 13．5个边长是1厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是( )厘米。 14．一张长10厘米的长方形纸对折后，正好得到一个正方形（如图所示），那么这个正方形的周长是( )。 15．如图，小正方形的周长是4厘米，大长方形的周长是( )厘米。 16．一个平行四边形相邻的两条边的长度是7厘米和8厘米，它的周长是（ ）厘米． 三、判断题 17．正方形的两组对边分别平行．( ) 18．一张正方形纸不能剪成2个相同的小正方形。( ) 19．一个图形的边的条数越多，它的周长就越长．( ) 20．周长相等的两个正方形卡片可以完全重叠在一起．（ ） 21．至少4个同样的小正方形可以拼成一个大正方形。( ) 22．正方形和长方形一定是四边形。( ) 23．两个边长是3厘米的正方形，能拼成一个周长是24厘米的长方形。( ) 24．正方形的周长是4厘米，两个这样的正方形拼成的长方形周长是8厘米。( ) 四、解答题 25．一个正方形花圃，边长8米，在这花圃四周围上栅栏，栅栏长多少米？如果花圃一面靠墙，栅栏至少多少米？ 26．一块长方形菜地，长是15米，宽比长少5米，这块菜地的周长是多少米？ 27．王阿姨连续一周每天向支付宝存入135元，然后在网上购物用去了276元。王阿姨的支付宝里还有多少元？ 28．一根铁丝可围成边长是6厘米的正方形。如果围成一个等边三角形，它的边长是多少厘米？ 29．用9张边长为3厘米的正方形纸片拼成一个大长方形或者一个大正方形，拼成的图形的周长各是多少厘米？（先画图，再解答） 30．一个长方形操场，长60米，宽40米。小明沿操场跑了2圈，跑了多少米？ 31．一个正方形的边长是48厘米，把它剪成3个同样大的小长方形（如图）．每个小长方形的周长是多少厘米？ 32．张大伯利用自家一面院墙，用篱笆围了一个鸡舍，如图所示，篱笆长多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A C C C A 1．C 【分析】用4个边长15厘米的正方形拼成一个长方形，摆成后的长方形的长是4×15厘米，宽是15厘米，然后根据长方形的周长公式求出它的周长，据此解答。 【详解】长方形的周长＝（长＋宽）×2，列式可得： （4×15＋15）×2 ＝（60＋15）×2 ＝75×2 ＝150（厘米） 所以这个长方形的周长是150厘米。 故答案为：C 2．B 【详解】试题分析：由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门运用了平行四边形易变形的特性． 解：据分析可知： 学校大门口所设的滑动门是由平行四边形钢架组成的，这是利用其不稳定性； 故选B． 点评：此题主要考查了平行四边形的特性是容易变形． 3．B 【分析】正方形的周长＝边长×4，所以边长＝正方形的周长÷4，据此列式即可。 【详解】由分析可知，正方形的周长：36÷4 故选择：B。 【点睛】牢记正方形周长公式，并能灵活运用。 4．A 【分析】平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，平行四边形面积是同底等高的三角形面积的2倍，据此解答。 【详解】甲与左边的平行四边形同底等高，所以甲的面积是左边平行四边形面积的一半，同理，乙的面积是右边平行四边形面积的一半。又因为两个平行四边形的面积相等，所以甲乙面积相等。因此上图中两个平行四边形的面积相等，甲乙两个三角形的面积相等。 故答案为：A 【点睛】考查平行四边形与三角形的面积关系。关键要清楚，同底等高的平行四边形是三角形面积的2倍。 5．C 【分析】根据正方形的特征，4条边的长度都相等，正方形的周长＝边长×4，边长增加2厘米，意味着每条边的长度都增加了2厘米。 【详解】正方形的周长＝边长×4 一个正方形的边长增加2厘米，它的周长就会增加8厘米。 故答案选：C 【点睛】此题主要考查正方形的特征和周长的计算方法。 6．C 【分析】正方形的边长乘4即可解答。 【详解】4×4＝16（厘米） 故答案为：C。 【点睛】熟练掌握正方形的周长公式是解答本题的关键。 7．C 【分析】将正方形如图对折后，正方形的一组对边重合，说明正方形的对边相等。据此解答即可。 【详解】由分析得： 他是为了验证正方形对边相等。 故答案为：C 【点睛】本题考查正方形的特点，关键是明确将正方形对折后能得出正方形有什么特点，就是为了验证正方形的这个特点。 8．A 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，假设出原来长方形的长和宽，用原来长方形的长和宽分别乘3，求出现在长方形的长和宽，然后分别求出原来长方形和现在长方形的周长，用现在长方形的周长除以原来长方形的周长，即可求出这个长方形的周长扩大的倍数。 【详解】假设原来长方形的长为2厘米，宽为1厘米。 原来长方形的周长： （2＋1）×2 ＝3×2 ＝6（厘米） 现在长方形的长为2×3＝6（厘米），宽为1×3＝3（厘米） 现在长方形的周长： （6＋3）×2 ＝9×2 ＝18（厘米） 18÷6＝3 所以长方形的长和宽都扩大到原来的3倍，周长会扩大到原来的3倍。 故答案为：A 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握长方形周长的计算公式。 9． 28厘米 30厘米 【详解】正方形的周长是：7×4＝28（厘米）； 剩下部分是长为15﹣7＝8厘米，宽为7厘米的长方形； 所以它的周长是： （7+8）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 答：正方形的周长是 28厘米，剩下图形的周长是 30厘米． 故答案为28厘米，30厘米． 10． 4 2 12 【分析】用2个正方形拼成一个长方形，这个长方形的长为正方形的边长乘2、宽为正方形的边长；长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此解答。 【详解】根据分析：2×2＝4（厘米），所以这个长方形的长是4厘米，宽是2厘米； （4＋2）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 所以周长是12厘米。 11．36 【分析】把3个长方形拼成一个正方形，正方形的边长等于长方形的长，再根据正方形的周长＝边长×4解答。 【详解】9×4＝36（厘米） 拼成的正方形的周长是36厘米。 【点睛】本题考查正方形周长公式的应用，关键是求出正方形的边长。 12．400 13．12 14．20 【分析】如图，正方形的边长是（10÷2）厘米，正方形的周长＝边长×4，把数据代入计算即可。 【详解】10÷2＝5（厘米） 5×4＝20（厘米） 一张长10厘米的长方形纸对折后，正好得到一个正方形（如图所示），那么这个正方形的周长是（20）厘米。 【点睛】此题考查长方形的折叠问题，关键是明确长方形纸对折后正好得到一个正方形，正方形的边长是长方形长的一半。 15．22 【分析】小正方形的周长是4厘米，小正方形的边长是4÷4＝1厘米，通过观察图可知，大长方形的长是7个小正方形的边长，即7厘米，大长方形的宽是4个小正方形的边长，即4厘米，再根据长方形的周长公式计算大长方形的周长即可。长方形的周长＝（长＋宽）×2。 【详解】小正方形的边长：4÷4＝1（厘米） （7＋4）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） 如图，小正方形的周长是4厘米，大长方形的周长是（22）厘米。 16．30 【详解】试题分析：根据平行四边形对边平行且相等得出，四条边的长度分别为：7厘米、7厘米、8厘米、8厘米；求周长就是把四条边的长度相加即可． 解：7+7+8+8=30（厘米）， 答：它的周长是30厘米． 故答案为30． 点评：解决本题的关键是明确平行四边形对边平行且相等，先求出剩下两条边的长度． 17．√ 【分析】 【详解】四条边都相等的是正方形；也就是说：正方形的两组对边分别平行，它是特殊的平行四边形；由此解答即可。 【点睛】 18．√ 【分析】根据正方形的特点，一张正方形纸上下对折，再左右对折，就能剪成4个相同的小正方形，据此解答即可。 【详解】根据分析：一张正方形纸不能剪成2个相同的小正方形，所以题干的说法是正确的， 故答案为：√。 【点睛】本题考查了正方形的特点，注意仔细阅读题干的说法。 19．× 20．√ 【分析】根据两个正方形的周长相等，用周长除以4得边长，可知它们的边长一定相等，两个正方形的边长相等，它们就完全一样，就可以完全重叠． 【详解】周长相等的两个正方形，它们的边长就相等，它们是完全相同的两个正方形，可以完全重叠． 故答案为√． 21．√ 【分析】要求所得到的正方形最小，则每条边长是由两个小正方形的边长组成。 【详解】要组成新的大正方形至少要小正方形：2×2＝4（个）。 所以原题的说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查图形拼组，解决的关键是要能想象出拼组后的大正方形的形状。 22．√ 【详解】正方形和长方形都是由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形，所以都是四边形。 所以题干说法正确。 故答案为：√ 23．× 【分析】两个边长是3厘米的正方形，拼成的长方形的长是3×2＝6厘米，宽是3厘米，再根据长方形的周长公式计算出周长，据此即可解答。 【详解】（3＋3＋3）×2 ＝9×2 ＝18（米） 故答案为：× 【点睛】首先要清楚拼成的长方形的长和宽是多少，再作进一步解答。 24．× 【分析】两个正方形拼成一个长方形，则长方形的长等于2个正方形的边长，宽等于正方形的边长。根据正方形的边长＝周长÷4，求出正方形的边长。再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2解答。 【详解】4÷4＝1（厘米） （2×1＋1）×2 ＝3×2 ＝6（厘米） 则长方形的周长是6厘米。 所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题关键是明确长方形的长与宽，再根据正方形和长方形的周长公式解答。 25．32米；24米 【分析】求栅栏长多少米，也就是求正方形的周长，根据正方形周长＝边长×4，代入数据计算，即可求出栅栏的长度； 根据题意可知，花圃一面靠墙，则正方形花圃需要用栅栏围3条边，已知边长为8米，用8乘3进行计算即可解答。 【详解】8×4＝32（米） 8×3＝24（米） 答：栅栏长32米；如果花圃一面靠墙，栅栏至少24米。 26．这块菜地的周长是50米 【分析】这道题根据长和宽的关系可以求出这块长方形菜地的宽，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2即可求出这块菜地的周长。 【详解】15－5＝10（米） （15＋10）×2＝50（米） 答：这块菜地的周长是50米。 【点睛】这道题的关键是求出这块长方形菜地的宽，再用长方形的周长公式求出这块菜地的周长即可。 27．669元 【分析】1周＝7天，用一周的天数×每天存入的钱数求出存入的总钱数，再减去购物用的钱数，即可解答。 【详解】135×7＝945（元） 945－276＝669（元） 答：王阿姨的支付宝里还有669元。 【点睛】本题主要考查乘法的实际应用，求几个相同加数的和，用乘法解答。 28．8厘米 【分析】根据题意可知，围成的正方形和三角形的周长都等于这根铁丝的长度，先根据“正方形周长＝边长×4”求出这根铁丝的长度，再除以3，就是围成的等边三角形的边长，据此解题即可。 【详解】6×4÷3 ＝24÷3 ＝8（厘米） 答：它的边长是8厘米。 【点睛】要明确，围成的正方形和三角形的周长相等，是解答此题的关键。 29．大长方形的周长是60厘米，大正方形的周长是36厘米 【分析】用9张正方形纸片拼成一个大长方形，可以拼成1行，这行有9个正方形，此时大长方形的长是（9×3）厘米，宽是3厘米。用9张正方形纸片拼成一个大正方形，可以拼成3行，每行有3个正方形。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，正方形的周长＝边长×4解答。 【详解】 （9×3＋3）×2 ＝（27＋3）×2 ＝30×2 ＝60（厘米） 3×3×4 ＝9×4 ＝36（厘米） 答：拼成大长方形的周长是60厘米，大正方形的周长是36厘米。 【点睛】本题考查长方形和正方形周长公式的应用，关键是求出长方形的长、宽以及正方形的边长。 30．400米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出跑一圈的路程，再乘2就是跑2圈的路程。 【详解】（60＋40）×2×2 ＝100×2×2 ＝200×2 ＝400（米） 答：跑了400米。 【点睛】本题考查了长方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 31．128厘米 【详解】48÷3＝16（厘米） 48＋16＝64（厘米） 64×2＝128（厘米） 答：每个小长方形的周长是128厘米． 32．41米 【详解】18＋18＋5＝41(米) 答：篱笆长41米． 从题图中可以看出靠墙的那边不需要围篱笆，只需要围出长方形的另外三条边，将这三条边的长度相加就得出篱笆的长度了． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$