第三章 函数 专题集训突破练+易错排查矫正练-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）辽宁专用

、第三章函数 专题集训 突破练 2.函数的定义域是指使函数有意义的自变 专题①函数及其表示方法 量的取值范围 1.下列进口车的车标经过旋转后可以看成函 (1)分式的分母不能为零。 数图像的是( ). (2)二次方根的被开方数的被开方数必须大 A.I 人 于等于零，即x(其中n=2k,k∈N)中 x≥0. eH 三次方根的被开方数取全体实数，即匠（其 2.若函数f(2x一1)的定义域为[-1,1]，则函 中n=2k+1,k∈N·)中，x∈R. 数y=x-的定义城为( (3)零次暴的底数不能为零，即x》中x≠0. √x-i (4)如果函数是一些简单函数通过四则运算 A.(-1,2] B.[0,2] 复合而成的，那么它的定义域是各个简单简 C.[-1,2] D.(1,2] 单函教定义战的交集。 3.(多选)下列关于函数解析式的叙述中，正确 3.求解析式的方法 的是() (1)待定系数法：若已知函数的类型（如一次 A.若f(反+1)=x十2x,则f(x)=x2 函数、二次函数等)，可用待定系数法 1,x≥1 ①确定所有函数问题含待定系数的一般解 B.若f(x)+2f(-x)=-x+1,则f(x)= 析式： 叶号 ②根据恒等条件，列出一组含有待定系数的 方程： C.若一次函数f(x)满足f(f(x))=4x十3， ③解方程或消去待定系数，从而使问题得到 则f(x)=2.x+1 解决。 D.若奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)= (2)换元法：主要用于解决已知f(g(x))的 x-子则当x<0时)=是-x 解析式，求函数f(x)的解析式的问题 ①先令g(x)=t,注意分析1的取值范围： 4.函数f(x)= 8.x+15 的值域为( x2十3.x+4 ②反解出x,即用含1的代数式表示x: A[-7 B[-92] ③将f(g(x))中的x全替换为t的表示，可 求得f(t)的解析式，从而求得f(x)。 c[-4 D.以上答案都不对 (3)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x), 可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后 5.y=x十√2x一1的值域为 以x替代g(x),便得f(x)的解析式： 【归纳总结】 (4)方程组法：主要解决已知f(x)与 1.理解函数的定义，一定要抓住的要，点是 对一，或者多对一 -x、f()小f(-)…的方程，求 84 …数学· 专题集训突破练？ f(x)解析式。 内的值域，透而求出y=士当的值线。 例如：若条件是关于f(x)与f(一x)的条件 cx+d (4)判别式法：主要用于含有二次的分式函 (或者与)的条件， 数，形如：y= ax2+bx+c dr+ex+f 可把x代为一x(或者把x代为上)得到第二 将函数式化成关于x的方程，且方程有解， 个式子，与原式联立方程组，求出f(x). 用根的判别式求出参数y的取值范围，即得 4.求值域的方法 函数的值域。应用判别式法时必须考虑原 (1)配方法：主要用于二次函敏或可化 函数的定义战，并且注意变形过程中的等 为二次函数的函数，要特别注意自变量的取 价性。 值范国。 专题②函数的性质 (2)换元法：换元法是将函数解析式中关于 x的部分表达式视为一个整体，并用新元t 6.已知函数f(x)的定义域为R,f(x一1)的图 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解 像关于点(1.0)对称，f(3)=0,且对任意的 出最值（值域）. x1,x2∈（一∞，0)，x1≠x2,满足 ①在换元的过程中，因为最后是要用新元解 x2)-f)<0,则不等式(x-1)f(x+ T2- 决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取 1)≥0的解集为( 值范围 A.(-∞，1]U[2,+o∞) ②换元的作用有两个： B.[-4,-1]U[0,1] 「通过换元可将函数解析式简化，例如当解 C.[-4,-1]U[1,2] 析式中含有根式时，通过将根式视为一个整 D.[-4,-1]U[2,+o∞) 体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析 7.(多选)已知f(x),g(x)都是定义在R上的 式的目的. 增函数，则( ⅱ可将不熟悉的函数转化为会求值域的函 A.函数y=f(x)十g(x)一定是增函数 数进行处理 B.函数y=f(x)一g(x)有可能是减函数 (3)分离常数法：主要用于含有一次的分式 C.函数y=f(x)·g(x)一定是增函数 函数， 形知一将xy=@c至少 D函数y一侣有可能是减函数 cx+d 有一个不为零)的函数，求其值域可用此法 8定义运算g-lgx,lg+1gx=lg(, 以一柠为例解题多聚如下 x)=lg1=0(当且仅当x>0时成立)，则“@ =1”是“函数f(x)=lg(x2+a一x)是奇 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数 函数”的( 变形成y=a+e cr+a的形式， A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第二步，求出画数y一a千a在定义城范国 C.充要条件 ·数学 85 、第三章函数 D.既不充分也不必要条件 足对任意的实数，且≠，都有 9.已知函数f(x)=(x一1)3，则下列函数是奇 [f(x)一f(x2)](x一x2)<0,则实数a的 函数的是( 取值范围为( A.f(x)+1 B.f(x)-1 A[7 B[o,) C.f(x+1) D.f(x-1) 【归纳总结】 c[后》 D.后 1.增减性的判定 11.已知f(x)=x2-2x,对任意的x1x2∈[0， (1)函数f(x)在区间[a,b们上是增函数： 3].方程|f(x)-f(x1)|+|f(x)-f(x2) 台任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有 =m在[0,3]上有解，则实数m的取值范围 f(x1)-f(xe)<0: 是( 台任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有 A.[0,3] B.[0,4] fx)-fx)>0: C.{3} D.{4 x1一xg 任取x1,x2∈[a,b们，且≠x2,(-x2) 专题④抽象函数问题 [f(x1)-f(x2)]>0: 12.已知定义在(0，十∞)上的函数f(x),满足 台任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x, f(x)>0,对于任意正实数x,y都有f(xy) 7>0 ),当x>1时1且/2)=号 (2)函数f(x)在区间[a,b们上是减函数： 台任取x1,xg∈[a,b们，且x1<x2,都有 a求证：x =1(.x>0): f(x1)-f(x2)>0: (2)求证：f(x)在(0，十∞)上为减函数： 台任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x,都有 (3)若f(n)=3,求实数m的值. f(x)-fx）<0: T1一X2 台任取x1,x2∈[a,b],且x1≠r2,(x1一x2) ·[f(x1）-f(x)]<0: 【方法总结】 台任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2, 抽象函数大题，基本技巧是赋值，有如下规 : fm)-/4)<0. 律技巧： 2.常见奇函数、偶函数的类型及应用 1.第一层次赋值：常常令字母取0，一1,1. (1)f(x)=ax+b+a.x-b为偶函数： 2.第二层次赋值：若题中有条件f(x。)=t, (2)f(x)=|a.x+b-|a.x-b为奇函数. 则再令字母取x. 3.第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式 专题③函数与方程、不等式之间的关系 子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和 (3a-1)x+4a(x<1), 与积（较多）或者差与商（较少）。如4=2X 10.已知函数f(x) 2,8=4×2:拆成和，3=1十2=1+1十2 4(x21D 满 等等 86 数学· 专题集训突破练？ 13.已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x 15.吉祥物“冰嫩墩”在北京2022年冬奥会强 一y)+f(x十y)=f(2x)成立，且当x<0 势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物 时，f(x)>0. 手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的 (1)求f(0)的值： 生产，已知生产此玩具手办的固定成本为 (2)判断f(x)的单调性，并证明； 200万元.每生产x万盒，需投人成本h(x) (3)解关于x的不等式：f几x2-(a十2).x]+ 万元，当产量小于或等于50万盒时h(x) f(a+y)+f(a-y)>0. =180x十100：当产量大于50万盒时h(x) =x2+60x+3500,若每盒玩具手办售价 200元，通过市场分析，该企业生产的玩具 手办可以全部销售完（利润=售价一成本， 成本=固定成本十生产中投入成本)》 (1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万 元)关于产量x(万盒)的函数关系式： 专题⑤函数的应用 (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中 14.”活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经 所获利润最大？ 济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养 鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的 平均生长速度（单位：千克/年）表示为养 殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当0< x≤4时，v的值为2；当4<x≤20时，v是 关于x的一次函数.当x=20时，因缺氧等 原因，v的值为0. (1)当0<x≤20时，求函数v(x)的表 达式： (2)当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千 克/立方米)f(x)=x·v(x)可以达到 最大？并求出最大值. ·数学· 87 、第三章函数 易错排查 矫正练 易错点1不理解函数的概念 4.下列四个函数中，与y=x表示同一函数的 1.(多选)下列各图中，可能是函数图像 是( 的是( A.y=() B.y=√ C.y=V 易错点3混淆“单调区间是”和“在区间上单 D. 调” 2.下列对应或关系式中是A到B的函数的序 5.函数f(x)=2x一a十3在区间[1，十c∞) 号为 ①A=B=[0,1],x2+y2=1: 上不单调，则实数a的取值范围是() ②A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系 A.[1.+∞) 如图： B.(1,+∞) C.(-o∞，1) D.(-o∞，1] 6.若f(x)=x2-2(a-1)x十2在(-o∞，5]上 ③A=R,B=R,f:x→y x-2 单调递减，则实数a满足() ④A=Z,B=Z,f:x→y=√2x-1 A.a>6 易错点2求定义域时对解析式变形导致自变 B.a≥6 量范围扩大 C.a<6 3.函数f(x)=一2”的定义域为( D.a=6 √2x+I 易错点4忽略函数的定义域致错 A.(-7+∞ 7.已知奇函数f(x)是定义在（一1,1）上的减 &(2合+∞) 函数，则不等式f(1一x)+f(1一3x)<0的 解集为 C(-2 8.已知函数f(x)在定义域[0，+∞)上单调递 减，则f(1一x)的定义域是 ,单调 D.(-,-2)】 递减区间是 88 ·数学· 易错排查矫正练？ 9.已知函数f(x)=a+是定义在(-2,2)上 易错点五使用换元法，使自变量范围扩大 4一x2 致误 的奇函数，且f(1)= 2 10.函数y=2x+4√3一x的最大值为( (1)求实数a和b的值： A.8 B.-8 (2)判断函数f(x)在（一2,2）上的单调性， C.2 D.4 并证明你的结论： 11.已知f(√x十1)=3x十√x,则f(x)的解析 (3)若f(一1)+f(1一t)<0,求t的取 式为 值范围. 易错点六二次函数相关问题忽略讨论二次 项系数为“0” 12.若函数y= x牛4k十3的定义域是一切 kx十7 实数，则实数k的取值范围是( A.(0,+∞) B.(-o∞，0] c[o,别 no,别 ax2+2x,x≥-1， 13.已知f(x) (1-3a).x- 3 满足 r<-1 x,∈R,x1≠x,都有）-fx） 1一xg >0,则实数a的取值范围为 易错点七复合函数忽略讨论根号下大于等 于零 14.(多选)关于函数f(x)=√一x十2x+3的 结论正确的是( ) A.定义域、值域分别是[-1,3]，[0，+∞) B.单调增区间是（一∞，1] C.定义域、值域分别是[一1,3]，[0,2] D.单调增区间是[一1,1] 15.函数y=√x2+3.z的单调递减区 间为( A(∞，-] B[-3+e) C.[0,+∞) D.(-∞，-3] ·数学 89012.能r的取渔感国是0,2， =2480一40r,其中r61.10地]且x€N, 2,A过0解折：时于A,量Fx)=f(x) 长2D解拆：A,B两架直母机飞行所酒的时风 I2由t1PNx)■-91r+2E00r-4G0间 2r一e0,斯情0 一十是，B五 E(r,置x,n 风一屏的，但展非机5飞并了两今甲地到☑ -一要)+415， 对十C,设》=ar十b,期r)1=aa Fr,-F2Jm(,)+t一f题} 用的亚属，那含填个题写染成达时风即是围 -1+6-4山+J,聊a上+ab+6=u+1, e5)=n)-f)门+g1-] 4解：1)良生长时间为女年，高度为)来，想幅 机母小时比A北多飞什的压写，南凝周可加 元由代：)：r小在是黑且燕N上的增函量 7419. 表修中的量满，在平面流角全样感中进行幅 甲地到乙张是国m.40十401十4 男a4s 副t-)CD里g(一31C0年 20kn1, 由1和伊列x)是流函数，所民域着产量的 点，图，可但看出，两射的点此如地落在 从/代》=2x+1线r1=一2-3C错暖， 傅房F气一F(工心0，故击显yw上 集直我上，可选体一实品数建点喷型 3,1务解析：黄1炎的平为精级是为巴 增加，每合基要难线发置与结一合植北柱 对下山0时，一>，且西典为★品投，所 1一完虎增品题，A正确： 时于我fXr)rxr)=2r:龙时y +6-4++o>+m 喻于C,理1r)=起{3)=2红：处时y- 【%,布直食春r一5 rxr》m2x,在《一，01上为减高题，G 2合反整及桃装重与生产第1台的感利到道 错该 序=1的.等专友1，里4E(0,可，故量少有 量大 《ay-81r+4y-150 时于身代x)=,e(x=”时：击数于 【核心素养培忧·拓展耀开】 其所从的西根表6人可视为)一十州其 系解：(1)点A的家尽意风为，新乘客量者D〔单 当y-0时a=-马 LA制析：横线龙林相等销品载序y=,与 ,6得定，0，xeN, 桂明，必司号辑1单位人.是B的其降查发 占y士0时，观其为关于A的二火方置， J一1有义克即存在完美点， 花直收通坟的商A心，a01和9,3,47》代入 就道AH国 为，当来客量为1以羊生》解，会可收上神平 料利人4=1一5P一5《5一15)0 .A朝析：当函t/r1=T十m一》为 解汽B上的点的实移省是为：雪意客量小 干L5队单)时公可将骨相，香桌家量大于 上天，得岁程m十b-1,7 青函数， A(0,0)4 解得=0,4925,6=1，回75， 1.(单且1时公可将直制，当来果量军于L,3 y*0, 副《x1十一上)m√w一)+n 单位)时，台厚观L持平 标上女慎线为[-华小共选 1,+0+一2一0，银得-生L. 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