2.1 等式-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）辽宁专用

第二章等式与不等式 课时夯基 过关练 2.1等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集· 核心素养达标李实基础 一、选择题 中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问 1.下列运用等式的性质进行的变形中，正确的 上、下禾每束之实各为多少升？设上下禾每 是() 束之实各为x升和y升，则可列方程 A.如果a=b,那么a十c=b一c 组为() B.如果a=6a,那么a=6 6x+18=10y, 6.x-18=10y, A. B. C.如果a=b,那么a=b 15y+5=5x 15y-5=5.x 6.x-18=15y, 6.x+18=15y, C. D. D.如果g=么，那么a=b 15y-5=10.x 15y+5=10.x 6.曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上 2.已知多项式2x2十bx+c分解因式为2(x 目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的 3)(x十1)，则b,c的值为( 青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的 A.b=3,c=-1 音乐并做旋宫转调.其初始四音为宫、微、 B.b=-6,c=2 商、羽.我国古代定音采用律管进行“三分损 C.b=-6,c=-4 益法”，将一支律管所发的音定为一个基音， D.b=-4,c=-6 然后将律管长度减短三分之一（即“损一”） 3.已知关于x的方程受=号+1的解集为☑. 或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他 则实数a的值( ) 的音.若以宫音为基音，宫音“损一”得徽音 A.0 B.1 c号 3 微音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音， 0. 则羽音律管长度与宫音律管长度之 4.如果方程士1=2红十m解集为单元素集， 比是( x十1 那么该方程的解集可以是( ) A号 A.{1} B.{2) c n C.{3 D.{4} 5.《九章算术》记载了一个方程的问题，译为： 7.(多选)若正数a,b满足a2十ab十=6，则(a十 今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与 b)(√8-a2十v8-)的值可能为() 下禾10束之“实"相当：下禾15束，减损其 A.10 B.12 C.73D.83 24 ·数学· 课时夯基过关练？ 8.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的 12.设a,b∈R,求关于x的方程a2x=x十ab 一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八， b的解集 欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人 出钱576，买竹子78根，拟分大，小两种竹子 为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1 钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单 价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每 根的单价可能为() A.6钱B.7钱C.8钱 D.9钱 二、填空题 9.若关于x的方程3(x+1)=k(x一2)的解为 非正数，则实数k的取值范围是 13.阅读下面的材料，解答提出的问题： 10一般情况下，号+号-g考不成立，但也有 已知：二次三项式x2一4.x十m有一个因式 是(x十3)，求另一个因式及m的值 数可以使它城立，如m=n=0.使得罗十 解：设另一个因式为(x十)，由题意，得 x2一4.x十m=(x十3)(x+n),则 号一十智成立的一对数m,”我们称为”“相 x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n. 伴数对”，记为(m,n).若(x,1)是“相伴数 n十3=-4， m=-21, 解得 对”，则x的值为 m=3n, n=-7. 三、解答题 ∴.另一个因式为(x一7)，m的值为一21. 11.求关于x的方程ax=x十1的解集，其中a 提出问题： 是常数 (1)已知：二次三项式x2十5.x一p有一个因式 是(x一1)，求p的值. (2)已知：二次三项式2x2+3x一k有一个 因式是(x一5)，求另一个因式及k 的值. ·数学· 25 、第二章等式与不等式 核心素养培优 拓展提升 1.若a2+b=4,b2+c2=3,c2+a2=3(a,b,c∈ 例：分解因式：x2+2xy-3y2+3.x十y十2. R),则ab十bc+ca的最小值为( 解：如图2，其中1=1×1，一3=（一1）×3， A.-5 B.-2 2=1×2: C.2-22 D.-2-22 而2=1×3+1×(-1)，1=(-1)×2+3× 2.我们用记号“”表示两个整数间的整除关 1,3=1×2+1×1: 系，如312表示3整除12，试类比课本中不 ∴.x2+2.xy-3y2+3x+y+2=(x-y+1) 等关系的基本性质，写出整除关系的两个性 (x+3y+2). 质：① ,② 请同学们通过阅读上述材料，完成下列 3.“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对 问题： 于形如ax2+bry十cy的x,y二次三项式 (1)分解因式：①6x2-7xy+2y:②x2-6.xy 来说，方法的关键是把x2项系数a分解成 +8y2-5.x+14y+6. 两个因数a1,a2的积，即a=a1·a2,把y项 (2)若关于x,y的二元二次式x+7xy 系数c分解成两个因数c1,c2的积，即c-c 18y2一5.x十my一24可以分解成两个一 ·c2,并使a:·c2十a2·c正好等于xy项的 次因式的积，求m的值。 系数b,那么可以直接写成结果：a.x2十bxy+ (3)已知x,y为整数，且满足x2十3xy十2y cy=(aix+ciy)(a:x+czy). 十2x十4y=-1,求x,y. 例：分解因式：x2-2xy一8y2. 其中1=1×1，-8=（一4）×2，而-2=1× (-4)+1×2,.x2-2xy-8y2=(x-4y) (x+2y).而对于形如a.x2+bxy+cy2+ dx十ey十f的x,y的二元二次式也可以用 十字相乘法来分解。 如图1，将a分解成m,n两个因数作为一 列，c分解成p,q两个因数作为第二列，f分 解成j,k两个因数作为第三列，如果mg十 np=b,pk+gj=e,mk十nj=d,即第1,2 列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规 则，则原式=(mx十py十j)·(nx+qy十k). 26 ·数学· 课时夯基过关练 ·2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 核心素养达标夯实基础 一、选择题 (ap2-bp+4a)(ag2-bg+4a)的值() 1.若m,n满足m2一3m-1=0,-3n-1= A.仅与a有关 0,且m≠n,则”+的值为( B.仅与b有关 m n C.与ab均有关 A.-11 B.-9 D.是与ab无关的定值 C.9 D.11 二、填空题 2.如果方程ax2十b.x一2=0的解为 7.若x1十x2=3,x十x3=5,则以x1,x2为根的 {一2一，则实数a,6的值分别是( 一元二次方程可以是 A.-4,-9 B.-8,-10 8.关于x的方程x2一9x十m=0的两个根为 C.-1,9 D.-1,2 素数，则m= 3.若关于x的方程x2-6x+2=0的两根分别 三、解答题 是则时十诗( 9.关于x的一元二次方程x2一(2k一1).x+2+1 ) =0有两个不相等的实数根x1·x, A.6 B.7 (1)求实数k的取值范围： C.8 D.9 (2)若方程的两实数根x1,x2满足x1|十 4.已知关于x的方程x8+2(m-2)x十m2+ x2|=x1·x2,求k的值. 4=0有两个实数根，并且这两个实数根的 平方和比两个根的积大21.则实数m的值 是() A.17 B.-1 C.17或-1 D.-17或1 10.关于x的一元二次方程x2一mx十m一1=0. 5.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x+ (1)求证：方程总有实数根： 2ax十a2十a=0的两个实数根，则x十x号= (2)若方程有一根大于3，求m的取值 12,则a的值是() 范围. A.a=3 B.a=-2 C.a=3或a=-2D.a=-3或a=2 6.已知p,q是关于x的一元二次方程a.x2 (b十2)x十4a=0的两根，其中a,b∈R,则 ·数学 27 、第二章等式与不等式 核心素养培优 拓展提升 1.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号 5.已知x1,x1是关于x的一元二次方程4kx Max{a,b}表示a,b中的较大值，如：Max{2, 一4k.x+k十1=0的两个实根 4}=4,按照这个规定，方程Max{x,一x}= (1)若一=寻，求实数k的值： 2x一1的解集为( (2)是否存在实数k,使(2x1一x)(x一2x) A.1-√2} B.{2-2》 成立？若存在，求出k的值，若不 C.1+2,1-√2}D.{-1-2,1} 存在，说明理由： 2.欧儿里得的《原本》记载，形如x2十a.x=b的 方程的图解法是：画Rt△ABC,使∠ACB (3)若+-2∈1，求整数k的值. 90,BC=受，AC=b,再在斜边AB上截取 BD=受，则该方程的一个正根是( A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长 3设集合U=-222.3A=2-5x+ 2=01,B= 3,合若A=B6 4.已知x1,x2是一元二次方程(a一6)x2十 2ax+a=0的两个实数根. (1)求a的取值范围： (2)求使代数式(x1十1)(x2十1)值为负整数 的实数a的整数值； (3)如果实数a,b满足b=√a一5+√10一2a+ 50,试求代数式+10x+5x2一b的值. 28 ·数学· 课时夯基过关练 ■■2.1.3方程组的解集 核心素养达标夯实基础 一、选择题 x-y=4.5, x-y=4.5, 2x+y=-1, A.1 2x-y=1 1.若关于x,y的方程组 与 y- 2x1 ax+by=3 ax-by=5, x+y=4.5, r-y=4.5, 的解集相等，则a,b的 C D. x-2y=-3 1 y-2x=1 x-2y=1 值为( kx-y+2=0, A.a=4,b=-1 B.a=-4,b=-1 6.(多选)方程组 的解集为 x2+y+2x-8=0 C.a=4,b=1 D.a=-4,b=1 {(0%),(2)},若x十=一3，则( ) m.x+4y=7, 2.若关于x,y的方程组 的解集 3.x一my=n Ak=1或长=号 为{(1,2)}，则m一n=() B.y十2=-3或y1十y2=-1 A.4 B.-4 C.y1十y2=1或y+y2=3 C.6 D.-6 D.x号+x=12或x号十x=15 ax-3y=6, 3.关于x,y的方程组 的解集，不 1+2y=k, 3.x-2y=4 7.(多选)已知关于y的方程组 2x+3y=3k-1, 正确的说法是( 给出下列结论，其中正确的是( A,可能是空集 B.必定不是空集 x=4 C.可能是单元素集合D.可能是无限集 A. ”是方程组的一组解 y=-11 x2+y-2=0, 4.若相异两实数x,y满足 则 y2+x-2=0, B当k=号时x,y的值互为相反数 x-2xy十y之值为( C.若方程组的解也是方程x十y=4一k的 A.3 B.4 解，则k=1 C.5 D.6 x=3k-2, D. 是方程组的解 5.我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题： y=1+k “今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五， 二、填空题 屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思 y=2x+3, 8.若关于x,y的二元一次方程组 的 是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5 y=kx十1 尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问 解集为⑦，则实数k= 木条长多少尺？”，设绳子长x尺，木条长y x十y=2, >0, 9.若方程组 的解满足 则 尺，根据题意所列方程组正确的是() x-2y=-3+a v>0. ·数学· 29 、第二章等式与不等式 实数a的取值范围是 13.水果市场将120吨水果运往各地商家，现 10.我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足” 有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运 专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为： 载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均 “今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈 满载) (余)三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问 车理 甲 2 丙 人数、物价各几何”，请你回答本题中的人 汽车运载量（吨/辆）》 8 10 数是 ,物价是 (钱) 汽车运费（元/辆） 400 500 600 三、解答题 (1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运 11.在函数y=ax2十bx十c中，当x=1时，y= 送，需运费8200元，问分别需甲、乙两 0:当x=2时：y=4:当x=3时，y=10. 种车型各几辆？ (1)求a,b,c的值。 (2)当x=一2时，求y的值. 12.《孙子算经》中有一道题日：“今有木，不知 (2)为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙 长短.引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不 三种车型参与运送（每种车型至少1 足一尺，木长几何？”题大意为：“现在有一 辆)，已知它们的总辆数为16辆，你能 根长木，不知道它的长度.用绳子去量这根 通过列方程组的方法分别求出几种车 长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折后再 型的辆数吗？ 量这根长木，长木还剩下1尺，问长木长多 少尺？”请你用所学知识，求出长木长多 少尺. 30·数学· 课时夯基过关练？ 核心素养培优拓展提升 2.x+y=4, 4.某农场300名职工耕种51公顷土地，分别 L.若关于x,y的方程组 的 x+2y=-3m+2 种植水稻、蔬菜和棉花，种植这些农作物每 解满足x一y>一 ，则实数m的最小整数 公顷所需职工人数和预计产值如下表所示， 设水稻，蔬菜和棉花的种植面积分别为x公 解为( ) 顷、y公顷和之公顷 A.-3 B.-2 C.-1 D.0 农作物 每公顷所需职工人数 每公顷预计产值 2.加工爆米花时，爆开且不糊 +p 0.8 水稻 4 4.5万元 的粒数占加工总粒数的百 0.7 蔬菜 8 9万元 分比称为“可食用率”.在特 0.5 棉花 5 7.5万元 定条件下，可食用率p与 (1)用含x的式子表示y和： 加工时间t(单位：分钟)满 3457 (2)若总产值p(万元)满足：360≤p≤370， 足函数关系p=at十bt十c(a,b,c是常数)， 且x,y,之均为正整数，这个农场怎样安 如图记录了三次实验的数据.根据上述函数 排三种农作物的种植面积才能取得最优 模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 效益？ A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 3.我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一 道“竹九节”问题，大意是说：现有一根上细 下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开 始，每一节与前一节的容积之差都相等，且 最上面三节的容积共9升，最下面三节的容 积共45升，求第五节的容积，及每一节与前 一节的容积之差。 请解答上述问题。 数学· 31 、第二章等式与不等式 。习题课等式… 核心素养达标务实基础 L.把多项式x2+（p一q)x一pg分解因式，结果 a.xr+2y=7, 6.若关于x,y的方程组 有非负 正确的是( ) x-y=1 A.(z+p)(x+q) B.(x-p)(x-q) 整数解，则满足条件的所有整数a值的和为 C.(z+p)(x-q) D.(x-p)(x+q) ( 2.设集合A={-1},B={x|x2+mx-3=1}, A.-12 B.7 C.8 D.13 若A二B,则m=( 二、填空题 A.3 B.2 7.设集合A={xx2一3x+2=0},则满足AUB C.-2 D.-3 =(0,1,2}的集合B的个数是 8.A={xx2-x-2=0},B={xax-1=0},若A 3.已知关于x的一元二次方程x2-x一a+ ∩B=B,a= =0有两个不相等的实数根，则满足条件的 x+y=6, 9.方程组 的解集是 最小整数a的值为( x2-3.xy+2y2=0 A.-1 B.0 C.2 D.1 10.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2一 4.小明在某商店购买A,B两种商品共两次， 5.x十a=0的两个实数根，且|x1一x2|= 这两次购买A,B两种商品的数量和费用如 5,则a= 表所示，则小明购买3个A种商品和2个B 三、解答题 种商品需要的总费用为( 11.在关于x的一元二次方程x2-2a.x十b=0 期买商品A 购买商品B 购买总费用 中，若a”一b>0,则称a是该方程的中 的数量（个） 的数量（个） (元) 点值 第一次购物 4 3 93 (1)方程x2一8.x+3=0的中点值是 第二次购物 6 6 162 A.62元 B.65元 (2)已知x2一m.x十n=0的中点值是3，其 C.66元 D.67元 中一个根是2，求mn的值. 5.定义新运算，a*b=a(1一b),若a,b是关于 x的方程x2二x士子m三0(m<0)的两根，则 b*b一a*a的值为( A.0 B.1 C.2 D.与m有关 32 …数学 课时夯基过关练了 12.设集合A={x|(x-3)(x-a)=0,a∈R}, 13.已知关于x的方程x2一2(m十1).x十m2-3 B=(x|(x-4)(x-1)=0}. =0有两个不等实根。 (1)当a=1时，求A∩B,AUB: (1)求实数m的取值范围： (2)记C=AUB,若集合C的子集有8个， (2)设方程的两个实根为x,x,且 求实数a的取值集合. (x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,求实 数m的值： ·数学· 33e一2时，满见a.仅是s2,龄成敛 {因为A几出厘A.所这1二段 易错排童矫正练 上D朝丽：时子A,春a号64对，有6 利一，M无解。 套性点不或之，位·1世”是“。6”的风 装A②：制4一1+.解得4< 1,D解析：业地如，f=(Fy)y正}的代 1 1里a+6>2,柱日<1，A督还，时于B,有 不克命克不必是条样，且连五 =4a《合 表无，青是A,V山y一5的气表元★是需 s一26=-J时，有h>1且a一1(6 极.A汇解拆：根餐量函就的性黄可再 g-162a+1, 其，两专线有交集，就通 :博的农慎湛用为阳 10,性得不自>1：0>1，B酷议：时于 能A每属一2时：2行十不成立被图 装A4②，时w-1一2，解得一1G日 7.解：41)希集合A=《x1-1山+n=01里多 C,由一10(6一1)0，得到a1且>1 2C解新：网为A=4,y)川十y=,EN, 情议1当：“办”时，亡且有套义，效C错 2+ct. yeN0=1.41,1.3),(2.21,t3.11,t4 者1个元青，时一2十m=目名多一木片想 或a<1且女<1.义4+8，址a1且 1,其=1ix,y>x,两gA08=1(0 所日合=0，武博21 1:比时是虎是备得，已楼调，馆上，可加释合 误国为“+J>2,形y中是身有一个大 (2)由得意将A=②底x一十n=9只有 青作竹为远埔口统感且 于广的送香命理为“，y台小十等于1，则 馆上，考北■的点镇克国的和a<一4，高一1 41,(1-)1,弹是◆A门N中合有2个无士，镜 1.-1 十，几其命是，所从厚理有真命理 藏连ABC, Gac子.n) A解桥：为+十1>，十+一 A=时小=4-4G0,21 解折：南1寸厚4>1A一1 观龙专的是异相如十工十1>一于>一r一 与一2：十附=0片有身银时， 利为”>“见”<，“的的要备件，所以4写 1,AC解棵：时于A,知S=1,星感植果合 1,如：(1的命则是真◆理时，离风40，时 一1，故量的量大且为一1， 满花0十0=0E8,0二6=0E5,晋元A燕 4一6(g+30-解月u-2我4,1分】 .又∈t到十1=一专>-，★A= 14=1-4m530, 4十E,2CD,无解 故答案为一L 用对T5,我任幸上E4■如，后乙 ，非是真命观，：是视◆题，形“望<6 Er1如，长，则作金最.∈Z,,目 5) 厂一一学解者标m举二代入 f,=12-9 小题限时强化练 案址。鳞桌绩范国是一1,6)7分 可浮 -1=14 栓上，实数解的取值范的杏w>1, 1,AM所：Y【(AUB)=4,AUn=11 nEry=w,t∈：，一=(e-3 2}。观对的品是不无舟售作， 22 两差◆验红可得A一==1,1：问.此对 [m-1,m+1门面《-o,-t]0[6, 8.D超新：周为ACB,其+5>i,不 2, Ect-s,长乙引，图龙时经意无理我a x+y=+2= 文B=(1-2引，.A一定套花t8,不合L 集命=x-kE期是"和情集“，B层 十=9令3 ,B=3,,A0【B=8, 鸡：对下C.维理意。香5,5与灵”和西果 形将+1一2或博一13写， 4〔-10,11 平式框无解此感以 幅析：第合A1r,1)一1川，基章r长 9解：1)1<：n一2≤，≤5，斯议3.D都桥：第合A-2+@+1-01- 时，表u∈5，剩有#一aE5期0E,用厘 阳一3我博T yEZ.重3yL 0∈5：北时5A5O,压m时下D. 黄量w的单黄荒图一0，一万U[7,十1. 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