第二十一章一元二次方程 单元练习2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 单元练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册 一、单选题 1．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．4、、 B．4、2、 C．4、、1 D．4、2、1 2．用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．判断方程的根的情况是（　　） A．有一个实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．没有实根 4．实数a、b满足，则b的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 5．如图是由一些等边三角形“△”堆成的“金字塔”图形，它的下一排依次比上一排多一个“△”；若第个图形的“△”的个数为45个，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．一元二次方程的根为（　　） A．或 B．或 C．或 D． 7．若关于x的方程的一个根是，则另一个根是（   ） A．2 B． C． D．3 8．若，且，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 10．某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．不存在 11．分式可取的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．不存在 12．已知是方程的一个实数根，则代数式的值（          ） A．2 B． C． D． 二、填空题 13．用配方法解一元二次方程，配方之后的方程是 ． 14．若关于x的方程有四个不相等的实数根，则b的取值范围是 ． 15．已知某矩形两边长为，，该矩形周长为，面积为，则 ． 16．已知是方程的两个根，则 ． 17．某小区新增了一家快递店，据统计第一天揽件件，第三天揽件件．若设第二天，第三天的日平均增长率为，则可列方程为 ． 18．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，，，那么，的值为 ． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)． (3)． (4)． 20．已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 21．已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求a的值； (2)已知等腰的一边长为7，若m，n恰好是另外两边的边长，求的周长． 22．某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． (1)求空调的下降率； (2)若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售． 23．启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图①，图②中，，），让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． (1)方方同学很快完成了自己的设计（如图①），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽； (2)圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽． 24．【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$