3.3 幂函数 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3幂函数 新知探究 思考1：请同学们根据下列情境，写出相应的式子，并分析是否满足函数关系. (1)如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付的金额表示为？ (2)如果正方形的边长为,那么正方形的面积表式为？ (3)如果立方体的棱长为，那么立方体的体积表式为？ (4)如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形场地的边长表示为？ (5)如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度表示为？ 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5). 新知探究 思考2：观察个情境中的函数解析式，它们有什么共同特征？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5). (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也具有各自的含义，这些会在后面学习. 都是以幂的底数为自变量； 幂的指数都是常数， 新知探究 3. 取值可以是任何实数 一、幂函数定义 一般地，函数 叫做幂函数( ) ，其中 为自变量， 为常数。 注：1. 中前的系数为1，且后面没有常数项 2. 定义域与的取值有关 形如：, , , . 练习巩固 辨析1.下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？ (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; 【答案】 (1),(4) (2)已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值. 6 跟踪训练1　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_____. 16 设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 7 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性： 函数 的图像 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性： 函数 的图像 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性： 函数 的图像 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性： 函数 的图像 定义域： 值 域： 奇偶性： 单调性： 函数 的图像 目录 总结反思 13 新知探究 问题2：同一坐标系下函数：的图象是怎样的？ 问题3：的图象是怎样的？ 2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数; α <0,在(0,+∞)上为减函数. 1、所有幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1).若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点。 3、α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数. 4、当x>1时， α越大幂值越大； 当x0<x<1时， α越大幂值越小。 例2　如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2， 四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为 √ 16 跟踪训练2　若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则 A.－1<n<0<m<1 B.n<－1,0<m<1 C.－1<n<0，m>1 D.n<－1，m>1 √ 17 例3　(1)比较下列各组数中两个数的大小： 因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数， 18 因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 19 (2)已知幂函数f(x)＝ 的图象过点(4,2). ①求f(x)的解析式； 因为f(x)＝ 为幂函数，所以m2－2m＋1＝1，∴m＝2或m＝0. 当m＝2时，f(x)＝ ，图象过点(4,2)； 当m＝0时，f(x)＝ ，图象不过点(4,2)，舍去. 综上，f(x)＝ . 20 ②判断函数的单调性，并进行证明； 函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数. 即f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数. 21 ③若f(a＋1)>f(2a－3)，求实数a的取值范围. 22 跟踪训练3　已知函数f(x)＝ (m∈N*).若该函数图象经过点(2， )，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围. 23 ∴m2＋m＝2，∴m＝1或m＝－2(舍去)， ∴f(x)＝ . 24 作业：完成随堂演练 由题意得 解得或 所以m＝－3或m＝1，n＝. [0,+∞) {y|y∈R,且y≠0} 常见的5种幂函数的性质 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R 　　　　  {x|x∈R,且x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) 　　 　　  奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 A.－2，－，，2 B.2，，－，－2 C.－，－2,2， D.2，，－2，－ ± 又>，所以0.3>0.3. ①0.3与0.3； 又－<－， ②－1与－1. 所以－1>－1. 设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为0≤x1<x2，<0， 函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由f(a＋1)>f(2a－3)，则 得≤a<4. 综上，a的取值范围为. ∵该函数图象过点(2，)， ∴ ＝， 由f(2－a)>f(a－1)，得 解得1≤a<. 故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为. $$