6.1 平面向量及其线性运算-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册课前预习10分钟（人教B版2019）辽宁专用

2.B解析：事件4出见的频数为6，其频率为0.6. 3.A解析：取到号码为寺教的短车是0+8+6十18+山=0,58 5.4统计与概率的应用 1G0 【知识点一点】 4.0.49950.5解析：设“出现正面朝上”为事件A,则n=30000n4 1.判断2.[0,1门 、=1484f.A)=095.P4)=5」 【课前测一测】 1.(1)×(2)×(3》 5解：设和中条有”名学生，旅题意得品- ,解得#=1250.所以 2C解析：用秤本的台格率近似代替瑟体的合格率为 40 X1009% 估计该中学初中常共有学生1250名. =90%. 5.3.5随机事件的独立性 廴事件A发生的可能性的大小解析：模据概奉的合又如号表示的 【知识点一点】 是事件A发生的可能桂的大小 1.(1)P(A)P(B)2.任一个事件 4 【课前测一测】 解折：由题意得卡行N州 1.(1)/(2) 2.D解析：设甲解对为事件A,乙解对为事件B,则P(A)一P,P(B)- 5解：D第一次自眸时有5个有奖品故装装的概奉为P=品- P.剿P-1-PAB)=1-(1-P)(1-P2 (2)前两次翻牌均获奖.第三次御牌时，只有3个有奖品，还有18个 3C解析：由避意加，恰有一次通过的概率为号×(1-号）十 商特佛，此货笑的报奉为P-高-。 (-)×号安 6,解：由避意可知，每个学生从口聚中摸出1个白球战红球的概率都 是0.5，即我们期望大约有100人回答了第一个问题，另100人回答 了第二个问题.在摸出白球的情说下，回答父亲阳历生日日期是奇 4 ,解析：由题意可知，每个交通灯开效址灯的概华分崩为2： 登的概率是185 是360.51.因西在回答第一个问题的100人中，大约有 73 反·广，在这条道球上匀逃行驶，别三处都不修车的概单为P一立 51人回答了“是”，所以我们能推出，在回答第二个问题的100人 中，大约有7人回答了“是”.即估计此地区大约有7%的中学生 x品×是品 吸烟. 5.解：记A表示事件“购买甲种保险“，B表示事件“购买乙种保险”， 第六章平面向量初步 则由题意得A与B,A与B,A与B,B与A都是相互稳亚事件，且 6.1平面向量及其运算 P(A》=0.5,P(B)=0.6. (1)记C表希事件”一位车主同时购买甲.乙种保检”，剥C=AB 6.1.1向量的概念 所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3 (2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，削D一AB 【知识点一点】 所以P(D)=PAB)=P(A)P(B)=(1-0,5》×0.6=0.3 1大小方向 矢量只有大小2.ABa,b,c,…大小A店 ·56· (或a)3.零同方向a。大小方向相等相同a=b 2.b的相反向量a+《一b》差的b被减向量a 平行或重合a任一向量 【课前测一测】 【课前测一测】 1.(1)W/(2)W(3)×(4) 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.B解析：i-C+AB-Ci+(-B)=b-a 2.A解析：a=0,剩a是零向量，故A项正确。 3.C解析：由题知O范，心.A对应的有向线段都是圈的*径，因此 3A解析：Bd=Ai-AB=b一a,所以B币的相反向量为a-b. 它们的模相等， 4.c解析：d-a-d+(一a)-AD+DB-AB-c 4.(1)AB,DC(2)6解析：(1)在平行四边形ACD和ABDE中， 5.解：：1Oi=12.Oi1=5,∠A0B=90 AB=ED,AB=C,∴，ED=DC P+店=AB12..1AB=13 (2)由(1)加Ed-D心，∴E.D,C三点共线， O月=a,O成=b.∴a-b=Oi-O成=Bi ECI-EDI+DXCI-21ABI-6. .a-b=1BA1=13. 5.7解析：由题图可加，以A为始点的向量有A成，A花，A市.A正 6.1.4 数乘向量6.1.5向量的线性运算 A下，心.A百，共有7个 【知识点一点】 6.1.2向量的加法 1.向量A1a相同相反 任意><><A (0a十aia十ab 【知识点一点】 2.数乘向量3.非零ab=a 1.兰角形平行四边形2.终点起点起点终点AA 3.b 【课前测一测】 十aa+(b+e) 1.(1)W(2)√《3)X(4)×(5)X(6)/(7)√(8)× 【课前别一测】 2.B解析：-3<0，b与a方向相反 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 3.D解析：4a-b)-3(a+b)-b=4a一4h-3a-3b一b-a-8b 2.B解析：由向受求和的多边移法则可和特果为0，故谯店 4.2解析：由于a=4,b=8,期b|=2a,义两向登可向，故b 3.DiC市解析：由向量求和的三角形法期可知a十d-Di,c+b =2a, -CB. 5.证明：由题念，得A店-凉-i=(3a十b)-(2a一b)=a+2b,武 4.0解析：AB+BC+Ci=AC+C=0. -元-0店-(a-3b)-(3a+b)--2a-4h--2Ai.所以A方 5.解：(1)(MA+BN)+(AC+CB) 与BC共线.且有公共点B,所以A,B.C三点共线 =Mi+AC)+(Ci+B)=M+C市=M】 6.2向量基本定理与向量的坐标 (2)AB+(BD+CA)+DC=AB+BD+DC+CA=0. 6.1.3向量的减法 6.2.1向量基本定理 【知识点一点】 【知识点一点】 1.(1)长度相等，方向相反一a(2)①0a②0①一b一a02.不共线唯-一对实数 .57·第六章 平面向量初步 6.1 平面向量及其运算 6.1.1 向量的概念 知识点一点 3.与向量有关的概念 零向量 长度为 1.位移,速度和力 的向量称为零向量,记作 位移,速度和力这些物理量都是既有 ,又有 与向量a 单位向量 ”,它们和长度、面 ,且长度为单位1的向量,称 的量,在物理中称为“ 积、质量等 的量是不同的. 为a方向上的单位向量,记作 2.向量的概念 为 自由向量 确定,而与起点位置无关 向量的定义 向量的表示 向量的模(长度) 的向量称为自由向量 ①有向线段:具有方向和长度 长度 且方向 的线段称为有向线段 相等向量 的向量,称为相等 ②向量的表示法 向量AB(或a)的 在数学中, 向量,向量a与b相等,记作 把既有大 (1)几何表示法:用有向线段 表示,若有向线段的起点为 ,称为向 小,又有方 量AB(或a)的长 如果表示两个向量的有向线段所在的直线 A.终点为B,则该有向线段 平行(共线) 向的量统 度,也叫模,记作 记作: ,则称这两个向量平行或共线,6与 向量 平行或共线:记作 称为向量。 .零向量与 (lI)字母表示法,用黑体小写 字母a:b.c....表示:书写用 平行 表示。 .37. 2.下列说法正确的是 解题秘籍 __ A.若a-0.则a-0 1.向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出 B.若a-lbl,则a-b 向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量,我们可 C若a一,则a与是平行向量 以将某些代数问题转化为几何问题,又将儿何间题转化为 D.若a/b,则a-b 代数问题,故向量能起到数形结合的桥梁作用 3.如图,在O中,向量OB,OC,A0是 _~ 2.共线向量与平行向量是一组等价的概念,两个共线 A.有相同起点的向量 B.共线向量 向量不一定要在一条直线上,当然,同一直线上的向量也是 C.模相等的向量 D.相等的向量 平行向量. 4. 如图所示,四边形ABCD和 3.注意两个特殊向量 零向量和单位向量,零向量 ABDE都是平行四边形 与任何向量都平行,单位向量有无穷多个,起点相同的所 (1)与向量ED相等的向量为 单位向量的终点在平面内形成一个单位圆 课前测一测 (2)若AB|=3,则向量EC的模等于 1.判断正误(正瑜的画“、/”,错误的画“×” 5.如图,以1m×3cm方格纸中的格点为始点和终点的所 有向量中,以A为始点,可以写出 (1)两个有共同起点,月长度相等的向量,它们的终点析 个不同的 同( ) 向量. (2)任意两个单位向量都相等,( { (3)平行向量的方向相同或相反,( (4)若AB-CD,则A,B.C,D四点是平行四边形的四 个顶点( ) .38. 6.1.2 向量的加法 和识点一点 2.向量求和的多边形法则 1.向量的加法法则 向量求和的三角形法则,可推广至多个向量求和的多 已知非零向量a,b.在平面上任取一点A,作 边形法则,个向量经过平移,顺次使前一个向量的 与后一个向量的 AB-a,BC-b,则向量AC叫做a与b的和. 重合,组成一向量折线,这,个向 记作a+b.即a+b-AB+BC-AC 量的和等于折线 的向量,即AA+ 三角形 法则 3.向量加法的运算律 回写三 (1)交换律:a十b一 这种求向量和的方法,称为向量加法的 (2)结合律:(a十b)十c= 法则. 对于零向量与任一向量a的和有a+00+a-a 解题秘籍 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻 1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本 边作COACB,则以O为起点的对角线OC就 是?与人的和,把这种作两个向量和的方法叫 方法,两个法则是统一的,当两个向量首尾相连时常选用三 平行四边 法则 做向量加法的 角形法则,当两个向量共起点时,常选用平行四边形法则 形法则 2.向量的加法满足交换律,因此在进行多个向量的加法 运算时,可以按照任意的次序和任意的组合去进行 3. 使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相 .39. 接”,和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量 5.化简:(1)(MA+BN)+(AC+CB). 的终点,向量相加的结果是向量,如果结果是零向量,一定 (2)AB+(BD+CA)+DC 要写成0.而不应写成0 课前测一测 1.判断正误(正确的画“\/”,错误的画“×” (1)a+0-a( (2)AB+BA-2AB ) (3)AB+BD+DC-AC.( ) (4)a十(b+e)-c十(a十b).( 2.如图所示,AB+BC+CD+DE+EF+FA等于 C.2AD A.0 B.0 D.-2AD 第2题图 第3题图 3.加图所示:a士d ,C十b 4.AB+BC+CA .40. 6.1.3 向量的减法 知识点一点 3. la-b,a士b,a+b三者的关系:为 a- 1.相反向量 lba土ba+b. (1定义:与a 的向量,叫做a的相 解题秘籍 反向量.记作:_. (2)相反向量的性质 1.向量减法的实质是向量加法的逆运算,利用相反向 ①-0-,-(-a)- ②a+(-a)-(-a)+a-: 量的定义,一AB-BA就可以把减法转化为加法.即减去 ③如果a,b互为相反向量,那么a-_,b=. 一个向量等于加上这个向量的相反向量,如a一b-a a+b-. 2.向量的减法 (一b). 向量a加上 ,叫做向量a与b的差 2.在用三角形法则作向量减法时,要注意“差向量连接 定义 即a-b- .求两个向量 运算,叫做向 两向量的终点,箭头指向被减向量”,解题时要结合图形,准 量的减法. 确判断,防止混淆 如果把向量a与b的起点放在O点,那么从向量 作法 的终点A,得到的向量BA 的终点B指向 3.以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示 就是a-b. 向量AB-a,AD-b,则两条对角线表示的向量为AC- 。 a+b.BD-b-a,DB-a-b,这一结论在以后应用非常广 图示 泛,应该加强理解并掌握 .41. 课前测一测 $.已知QA-a:OB-b:若lO$1-12.1O-.且 乙AOB-90{,求a一b的值 1.判断正误(正确的画“、/”,错误的画“×” (1)两向量首尾相连,和向量由第一个向量的始点指向第 二个向量的终点( ) (2)向量a一b当它们起点重合时可以看作从向量b的丝 点指向向量a的终点的向量。( (3)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向 量( ) (4)向量AB与向量BA是相反向量.( ) 2.在△ABC中.BA-a.CA-b,则CB-( A.a-b B.b-a C.a十b D-a-b 3.在平行四边形ABCD中,AB-a.AD-b.则BD的相 反向量是( ~ A.a-b B.b-a C.ab D.-a-b 4.在△ABC中,D为BC的中点:设AB-c.AC一b.BD a.AD-d,则d-a- .42. 6.1.4 数乘向量 6.1.5 向量的线性运算 知识点一点 2.向量的线性运算 向量的加法、减法、 1.数乘向量 以及它们的混合运 算,通常称为向量的线性运算 定义 几何意义 运算律 3.共线 定义:一般地,实数入与 a是一个。 判定定理 向量,若存在一个实数入,使 向量a的积是一个 设a,b为向量,. 得b一0 ·则向量与非零向量a共线 ,记作a.它的长度aa的几何意义就为实数 性质定理 若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数 和方向分别为; ①结合律:(na) 是将表示向量。 1.使得 ①长度:la|= 的有向线段在愿 解题秘籍 方向( 0)或②第一分配律: ②方向:当a0时,a反方向(0)(十u)a= 1.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减话 与a的方向__; 上伸长(1: 算,例如入十a,一a是没有意义的 当入0时,a与a的或压缩(l| 1)③第二分配律: 2.向量共线是证明三点共线的重要工具,即三点共线 方向__: 为原来的_倍. (a十b)= 问题通常转化为向量共线问题 当一0时,a-0.方 课前测一测 向 1.判断正误(正确的画“、/”,错误的画“×” (1)30的方向与a的方向相同,且一2a的方向与a的方 .43. ) 向相反.( 5.设a,b是不共线的两个非零向量,若OA-2a-b.QB- (2)4a与一4a的模相等.( 3a+b.OC-a-3b,求证;A.B.C三点共线 (3)a与一a的方向相反。( (4)若a:b共线,则存在唯一的实数入,使a一xb. (5)实数入与向量a,则入士a与A一a的和是向量, (6)对于非零向量a:向量一30与向量a方向相反。 (7)(a-b)-a-b( (8)a十与(十)a的方向都与a的方向相同. 2.存在两个非零向量a,b满足b三一30,则有( ) A.a与方向相同 B.a与b方向相反 C. al-l3b D. a-bl 3.4(a-b)-3(a+b)-b-( ) A.a-2b Ba C.a-6b D.a-8b 4.已知a-4,b一8,若两向量方向同向,则向量a与向 量b的关系为b一 . .44.