5.3 概率-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册课前预习10分钟（人教B版2019）辽宁专用

故化寿率为云=%，兼低分为5引分 摸出的球不是费球的概单为1一0.18=0.82：摸出的埠是黄球成黑 球的概率为1一0.4=0.6 5解：甲，乙两人钱学成情的茎叶图如图所示： 从这个墓叶图上可以看出，乙同学的得分清风是 5.3.3古典概型 大数对称的，中位数是98：甲同学的得分情况，也 【知识点一点】 大致对你，中位数是88。乙同学的成绩比较稳定， 1.有限的有限性都相等等可能性 总体情况比甲同学奸， 2.(1)有限个有限个(2)均等的 5.1.4 用样本估计总体 3(10 (2)m 5.2数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 4.(1)0≤P(A)≤1(2)1P(A)+P(B】 【课前测一测】 【知识点一点】 1,(1)×(2)×(3)√(4)× 顿率分布 2.D解析：利用古典概型的两个条件到断，在A中，事件“发芽"与室 【课前测一测】 件"不发葉”发生的颜幸不一定相等，与古典疑型的第二个条件矛 1.(1)×(2)/(3)/(4) 盾：在B中，横空标和飒坐标都为整数的所有点为无限个，从而有无 2.D3.C 个站果，这与古典额型的第一个条件矛盾：在C中，命中0环，1 4.9692乙 解析：由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最 环，2环、·，10环的概率都不一样， 高分是92.甲啦的成绩朵中在60~80之间，乙班成黄集中在70 3.A解析：8名谨外文的志思者中随机这1名其样本空间包含8个 90之间，故乙雅的平均成绮较高， 样本，点，“选到慢日文的志愿者”包含3个样本点，因此所求舰率 5.3概率 42解析：（甲，乙），（甲，丙），共2个 5.3.1样本空间与事件5.3.2事件之间的关系与运算 5,解：(1)不是古典概型，因为区间[1,10们中有无限多个实数，取出的 那个实数有无限多种结果，与古典桃型定义中“所有可能结果只有 【知识点一点】 有限个”手婚。 1.(2)必然事件 不可能事件(3)基本事件 (2)不是方英概型，因为硬币不均匀导致“正面向上“与“反面向上” 2.(1)一定发生AGBB口A一定一定A二B且B二A☑ 的桃率不料等，与古夹概整定义中“每一个试验结果出现的可能性 @所有不属于(2)A中的B中的A+BAUB公共样 相等”矛盾 本点ABA门B (3)是古典概型，因为在欲脸中所有可能出现的结果是有限的，而且 3.(1)[0,1(2)10(3)PA)+P(B)(4)1-P(A》10 每个整：被釉列的可岸性相等。 【课前剥一测】 1.(1)/(2)×(3)×(4)X 5.3.4频率与概率 2.D解析：只有D是在一定备件下必然发生的现象，其他三个每次 【知识点一点】 发生的结果不一定相同 1.常数常数 2.P(A)3.0≤P(A)≤14.鳜常近似 3心解析：由互序事件的定义知，A,B互斥，4.D 【课前测一测】 5.0.40.820.6解析：摸出白球的概幸为1一0.42一0.18=0.4： 1.1) (2)×(3)× ·55· 2.B解析：事件A出见的频数为6，其频率为0.6. 3.A解析：取到号码为才数的短车是10+8+6十18+山=0,58 5.4统计与概率的应用 100 【知识点一点】 4.0.49950.5解析：设“出现正面朝上”为事件A.别n=30000,n4 1.判断2.[0,1门 、=14984f.A)-6=0期5.P40-=5 【课前测一测】 1.(1)×(2)×(3) 5解：设打中条有”名学生，旅题意得品-四 ,解得#=1250.所以 2C解析：用排本的台格率近似代替瑟体的合格率为 40 X100% 估计减中学初中韩共有学生1250名. =90%. 5.3.5随机事件的独立性 3事件A发生的可能性的大小解析：根据概奉的合又如子表示的 【知识点一点】 是事件A发生的可能桂的大小 1.(1)P(A)P(B)2.任一个事件 4 【课前测一测】 解折：由超意得卡行N州 1.(1)/2) 2.D解析：设甲解对为事件A,乙解对为事件B,则P(A)一P,P(B)- 5解：①第一次自眸时有5个有装品故装装的概奉为P=品- P.则P-1-PAB)=1-(1-P)(1-P2 (2)前两次翻牌均茂奖，第三次部牌时，只有3个有奖品，还有18个 3心解析：由避意加，恰有一次通过的概率为号×(1-号）十 商特件，此能芜的版奉为P-高=疗 ()×号安 6,解：由题意可知，每个学生从口聚中摸出1个白球或红球的概率部 是0.5，即我们期望大约有100人回答了第一个问题，另100人回签 4高解析：由题意可知，净个文通灯开批绿灯的概年分制为音 了第二个问题.在摸出白球的情说下，回答父亲阳两生日日期是奇 餐的概率是86 365 051,固而在网答第一个问题的100人中，大约有 73 反，广，在这条道路上匀逃行胶，利三处都不修车的概单为P一立 51人回答了“是”，所以我们能推出，在回答第二个问题的100人 中，大约有？人回答了"是”.即估计此地区大约有7%的中学生 ×品×是蔓 吸烟. 5解：记A表示事件“购买甲种保险“，B表示事件“购买乙种保险”， 第六章平面向量初步 则由题充得A与B,A与B,A与B,B与A都是相互位亚事件，且 6.1平面向量及其运算 P(A)=0.5,P(B)=0.6. (1)记C表希事件”一位车主同时购买甲.乙两种保检”，别C=AB 6.1.1向量的概念 所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0,6=0.3. (2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，削D一AB。 【知识点一点】 所以P(D)=PAB)=P(A)P(B)=(1-0,5)×0.6=0.3 1大小方向 矢量只有大小2.Aa,b,c,…大小A店 ·56·5.3概率 5.3.1样本空间与事件5.3.2 事件之间的关系与运算 ⊙和识点一点 定义 表示法 图示 1,随机事件、必然事件、不可能事件 如果事件A发生时，事件B 发生：而且事件B发生时， A=B 2 (1)随机事件 关 A 如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是口的一 事件A也 发生，则称“A 个非空真子集.因此事件A既有可能发生，也有可能不发生 系 与B相等” (2)必然事件与不可能事件 事 给定事件A,B,若事件A与BAB 任何一次随机试验的结果，一定是样本空何2中的元 件 不能同时发生，则称A与B(或AE 素，因此可以认为每次试验中？一定发生，从而称2为 互斥 :又因为空集⑦不包含任何样本点，因此可以认为 斥 每次试验中心一定不发生，从而称心为 事 给定样本空间？与事件A,则 (3)事件的表示 件 由Ω中 A的样本 一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为 对 点组成的事件称为A的对立 事件，通常用大写英文字母A,B,C,…来表示事件特别 事件 地，只含有一个样本点的事件称为 2.事件的关系与运算 (2)事件的和与积 (1)事件的关系 定义 表示法 图示 定义 表示法 图示 给定事件A,B,由所 一股地，对于事件A与事件B, 事件有 样本点与 的和 样本点组成 B 含关系 如果事件A发生，事件B (或 ,这时称事件A包含于 (并)的事件称为A与B的 事件B(或事件B包含事件A) 和（或并） 27 定义 表示法 图示 ⊙课前测一测 1.判断正误（正确的画“、√”，错误的画“×”） 事件 给定事件A,B,由A (1)“下周六是晴天”是下周六天气状况的一个样本点， 的积 与B中的 (或 ( 组成的事件称为A (交】 (2)“抛掷一枚质地均匀的硬币三次，三次都正面向上”是 与B的积（或交） 不可能事件.( (3)事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： (4)若P(A)+P(B)=1,则事件A与B一定是对立事 (2)必然事件的概率为 ,不可能事件的概率为 件.( (3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则 2.下列现象是必然现象的是( P(AUB)= A.一天中进入某超市的顾客人数 (4)若A与A为对立事件，则P(A)= B.一顾客在超市中购买的商品数 P(AUA)=,P(A∩A)= C,一颗麦穗上长着的麦粒数 D.早晨太阳从东方升起 ⊙解题秘籍 3.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( 互斥事件和对立事件的判定方法 A.ACB (1)利用基本概念 BA口B 要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事 C,A与B互斥 件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥 D.A与B互为对立事件 的前提下，看两个事件中是否必有一一个发生，可判断是否为 4.已知A与B是互斥事件，且P(A) 对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰 =0.3,P(B)=0.1,则P(A+B)等于( 它们对事件结果的影响。 A.0.1 B.0.3 C.0.4 D.0.8 (2)利用集合观点 5.在不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和 设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B, 黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄 ①若事件A与B互斥，则集合A∩B=⑦， 球的概率为0.18，则摸出的球是白球的概率为 ,摸 ②若事件A与B对立，则集合A∩B=☑且AUB 出的球不是黄球的概率为 ,摸出的球是黄球或 =2. 黑球的概率为 ·28· 5.3.3古典概型 回和识点一点 件的概率加法公式可知P(C)= 4.古典概型中概率的性质 1.古典概型的概念 假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个 包含m个样本点，则： 数是 (简称为 ),面且可以认为每个 只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小 (1)由0≤m≤n与P(A)=m可知 (简称为 ),则称这样的随机试验为 (2)因为A中包含的样本点个数为一m,所以 古典概率模型，简称为古典概型。 P(A)=”"=1-m=1-P(A),即P(A)+P(A) 2.古典概型的特征 (1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有 ,即只有 不同的基本事件 (3)若事件B包含有k个样本点，面且A与B互斥，则 容易知道A十B包含m十表个样本点，从而 (2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是 3.古典概型中事件的概率 P(A十B)=m十kmk 在样本空间含有n个样本点的古典概型中， ⊙解题秋籍 (1)每个基本事件发生的概率均为 (2)如果随机事件C包含m个样本点，则再由互斥事 古典概型的概率求法 求随机事件的概率时，首先要判断试验是不是古典概型， ·29· 若是古典概型，则求事件A的概率P(A)的计算步骤是： 所有点中任取一个点 (1)计算样本空间所有可能的样本点数n: C,某射击手射击一次，可能命中0环、1环、2环、“、10环 (2)计算事件A包含的样本点数m: D.四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会 (3)计算事件A的概率P(A)= 3.北京冬奥会将要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1 名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为 ⊙课前测一测 1.判断正误（正确的画“、/”，错误的画“×”） (1)任意抛两枚骰子，所得点数之和作为基本事件( 4.从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选 (2)求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将 中”这一事件所含的样本点有 个 取出的正整数作为基本事件.() 5.下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (3)从甲地到乙地共条路线，某人正好选中最短路线可 (1)从区间[1,10们内任意取出一个实数，求取到实数2的 以作为古典概型的一个基本事件.() 概率： (4)揽掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止.( (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率： 2.下列随机事件的数学模型属于古典概型的是( (3)从1,2,3，，100这100个整数中任意取出一个整 A.在适宜的条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽 数，求取得偶数的概率， B.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的 ·30· 5.3.4频率与概率 ⊙知识点一点 ⊙解题秘籍 频率与概率 L.概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规 概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能 律，与我们平时所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说， 性的大小的一个量，是一个确定的数，是客观存在的，与每 单独一次结果的不确定性与积紫结果的规律性，才是概率 次试验无关：同一个随机事件在相同条件下在每一次试验 意义下的“可能性”，而日常生话中的“可能”“估计”侧重于 中发生的概率都是一样的」 某次的偶然性 1,定义：在次重复进行的试验中，事件A发生的顿 2.概率与频率关系：对于一个事件而言，概率是一个常 率”，当n很大时，总是在某个 附近摆动，随着n 数，而频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多， 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个 叫做事 频率就越接近于事件的概率。 件A的概率。 ①课前测一测 2.记法： 3范围： 1.判断正误（正确的画“/”，错误的画“×”） 4.频率与概率的关系：概率是可以通过 来“测 (1)不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.() 量”的，或者说频率是概率的 ,概率从理论上反映 (2)小概率事件就是不可能发生的事件.() 了一个事件发生的可能性的大小 (3)某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.() ·31· 2.某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，6次正面朝 5.某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情 上，若用A表示“正面朝上”这一事件，则下列说法正确 况，在学校随机抽取初中部的150名学生登记佩戴胸卡 的是() 的学生名字.结果，150名学生中有60名佩藏胸卡.第二 A.事件A出现的概率为0.6 次调查了初中部的所有学生，有500名学生佩戴胸卡.据 B.事件A出现的频率为0.6 此估计该中学初中部一共有多少名学生. C.事件A出现的频率为6 D.事件A出现的概率为6 3.从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取 100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 取到的次数 10 则取到号码闯为奇数的赖率是( A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37 4.在一次掷硬币试验中，掷30000次，其中有14984次正 而朝上，则出现正面朝上的频率约是 ,这样，掷 一枚硬币，正面朝上的概率是 ·32· 5.3.5随机事件的独立性 可知识点一点 发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称个事件 A1,A:,…,A。相互独立 1,相互独立事件的定义和性质 3.独立事件的概率公式 (1)定义：设A,B为两个事件.一般地.当P(AB)= (1)若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 时，就称事件A与事件B相互独立（简称独立）. (2)若事件A1,A,…,A。相互独立，则P(AA… (2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与B,A 与B,A与B也都相互独立 A.)=P(A1)·P(A)…P(A.). [拓展] ⊙解题秘籍 相互独立事件 互斥事件 1,判断事件是否相互独立的方法 事件A(或B)是否发 (1)定义法：事件A,B相互独立=P(AB)=P(A)· 不可能同时发生的两个 条件 生对事件B(或A)发 事件 P(B). 生的概率没有影响 (2)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发 相互独立事件A,B同 互斥事件A,B中有一个发 符号 生是否相互影响。 时发生，记作：AB 生，记作：AUB(或A+B) 2.概率问题中的数学思想 计算公式P(AB)=P(A)P(B) P(AUB)=P(A)+P(B) (1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+ 2.n个事件相互独立 P(A)一1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法 对于n个事件A1,Az,…,A,如果其中 (2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的 ·33· 概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事 3.一个学生通过一种英语能力测试的概率是2，他连续测 件”分几类（考虑加法公式，转化为互斥事件）还是分几步 试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( 组成（考虑乘法公式，转化为相互独立事件） (3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量 A B号 c 关系，建立方程（组），通过解方程（组）使问题获解 4.在某道路A,B,C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内 开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，15秒，某辆车在这条 3.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为 (1)首先确定各事件是相互独立的： 5.根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购 (2)再确定各事件会同时发生： 买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各 (3)先求每个事件发生的概率，再求其积 车主间相互独立。 (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率： ⊙课前测一测 (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率 1.判断正误（正确的画“、√/”，错误的画“X”) (1)若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)× P(B),() (2)若事件A与B相互独立，则B与A相互独立.( 2.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解对的概率为P,,乙 解对的概率为P。,那么至少有1人解对的概率是( A.P:+P2 BP,·Pe C.I-P P D.1-(1-P,)(1-P2) ·34·