5.1 统计-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册课前预习10分钟（人教B版2019）辽宁专用

第五章) 统计与概率 5.1统计 5.1.1数据的收集 ①知识点一点 体中不加任何分组、划类、排队等， 地抽取个体.简 单随机抽样是其他各种抽样方法的基础.当总体中的个体 1统计的相关概念 之问差异程度 和总体中个体数目 时，通常 (1)总体：统计中所考察问题涉及的对象 叫做 采用这种方法， 总体 (2)简单随机抽样的分类 (2》个体：总体中 叫做个体 优点： (3)样本：从总体中抽取的 叫做样本， (4)样木容量：一个样木中包含的 叫做样 抽签法 缺点：总体的容 本容量。 量非常时， (5)随机抽样：满足每一个个体都可能被抽到且被抽到 费时。费万又不 的机会是 的抽样。 方便，操作不当 简单随机抽 2.普查与抽样调查 可能导致抽样 样的方法 一般地，对总体中 都进行考察的方法称为 普查（也称为全面调查），只抽取样本进行考察的方法称为 随机数表法 抽样调查. 3.简单随机抽样 4.随机数表法的抽样步骤 (1)简单随机抽样的定义及适用条件 (1)对总体进行 一般地，简单随机抽样（也称为纯随机抽样）就是从总 (2)在随机数表中 指定一个开始选取的位置. (3)按照 选取编号，规则一经确定，就不能 ·19· 更改，在选取过程中，遇到超过编号范围或已经选取了的数 ①课前测一测 字，应该 (4)按照得到的编号找出 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） 5.分层抽样 (1)要想准确道全班可学的平均年龄，应进行普查.() 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有 (2)分层轴样中每个个体被抽到的可能性不一样.( 明显差别的，互不重叠的几部分时，每一部分可称为 (3)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等.( 在各层中按 进行随机抽样的方法称 (4)当总体容量很大时，不宜采用抽签法.( 为分层随机抽样（简称为分层抽样） 2.某校共有学生3000人，为了解学生的身高情况，分层抽样 的方法从二三个年级中抽取容量为50的样本，其中高一一抽 ⊙解题秘籍 取14人，高二抽取16人，侧该校高三学生人数为( L.简单随机抽样的判断方法 A.600 B.800 C.1000 D.1200 判断所给的抽样是否 个数有限 逐个抽取 3.用随机数表法进行抽样有以下几个步骤： 为简单随机抽样的依据是 ①将总体中的个体编号：②获取样本号码：③选定开始的数 简单随机抽样的四个 字：④选定读数的方向.这些步骤的先后顺序应为( 特征： 简单随机抽样 A.①②③① B.①③④② 上述四点特征，如果 C.)②①① D.④③①② 有一点不满足，就不是简 等可能 不放回 4.为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地 单随机抽样。 区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地 2.使用分层抽样的前提 区老，中，青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况 分层抽样的适用前提条件是总体可以分层.层与层之 有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大 间有明显区别，而层内个体间差异较小. 在下面的抽样方法中，最合理的是 3.使用分层抽样应遵循的原则 A.抽签法 B.按性别分层随机抽样 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层 C.按年龄段分层随机抽样D.随机数法 的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则： 5.某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法 (2)分层轴样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各 从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此 层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的 样本中男生为 比等于抽样比 ·20。 5.1.2数据的数字特征 0和识点一点 数据的数字特征 众数 中位数 百分位数 平均数 极差 方差 标准差 P%分位数指的是，将 标准差的平方x 把一组数据按 这组数按照从小到大 叫做方差， 的顓序排列后，处于 P%位置的数，计算 -1x1 标准差是样本数据 一组数 的 到平均数的一种 据中出 顺序排列，处在 =P⅓的值，如果i 如果理个数r1r1rm 一组数据中最大值 定 x)2+(x-x) 观次数 位置 不是整数，设。为大于 义 那么r=上，++…+ 减去最小值得到的 十+…十(。 的最小整数，取 -般用s表示.s 的数（或中间两 x.)叫做这n个数的平均数 数值 的数 个数的 x)2门(x。是样本 为P%分位数：如果 )叫做这组 数据，：是样本容 数据的中位数。 是整数，取十出为 2 量x是样本平均 P%分位数 数)， 平均数向我们提供了样本标准差，方差描述了 反映多 数据的重要信息，但是平均一组数据围绕平均 数数据 反映数据代表 分位数能够捕捉头部、数有时也会使我们作出对 数波动的大小.标准 特 代表的 的中间群体的 中部、尾部的数字总体的片而判断，因为这个 征 差，方差越大，数据 利益 水平 特证. 平均数掩盖了一些极端的的离微程度越大：标 特征 情况，面这些极端情况显然 淮准差，方差越小，数 是不使忽视的 据的离散程度越小， ·21· ⊙解题秘籍 ①课前测一测 1.平均数、方差公式的推广 1.判断正误（正确的画“√/”，错误的画“×”） (1)中位数一定是样本数据中的某个数.( (1)若数据x1x2,…,x。的平均数为x,那么2x1十d, (2)平均数受数据的极端值的影响较大，( ) m.x十a,m.x3十a,…,m.x。十a的平均数是m.x十a. (3)方差反应了一组数据的离散程度.( (2)设数据x1,x,…,x。的平均数为x,方差为s2,则 2.下列各数字特征中，能反映一组数据离散程度的是( A.众数 B.平均数 C.标准差 D.中位数 ①数据x1十a,xa十a,…,x。十a的方差也为x 3.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本 ②数据az1,a.x,…,a.x.的方差为a2x2: 平均值约为( ③数据ar1十b,a.xg十b,…,ar。十b的方差也为as2, A.4.55 B.4.4 C.12.5 D.1.64 4.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 标准差为as. 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 2.标准差的平方x2称为方差，有时用方差代替标准差 则：(1)平均命中环数为 测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一 (2)命中环数的标准差为 致的，在实际应用中一般多采用标准差。 5.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动 3.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平 员的成绩如表所示： 均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准 成绩（单位：m)L.501.601.65L70L.751.801.851.90 差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代 人数 23234111 表性. 分别求这些运动员成绩的中位数，25%分位数，75%分位数. 4.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样 本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的 数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案」 ·22 5.1.3数据的直观表示 ©和识点一点 (三)频率分布表与频率分布直方图 频率分布直方图的画法 (一)数据分析的基本方法 1,借助于图形 求极差 即一组数据中 的美 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此方 法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图 形传递信息， 决定组距 组数k= 极羲，若e乙。则组数班 2.借助于表格 写组数 若k是Z则组数不 分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排 列方式，此方法是通过改变数据的 ,为我们提 将数据 各组均为 区间。最后一组是 供解释数据的新方式 分组 闭合间 (二)统计图表 作用 从数据获取有用的作息 列颊率 般分四列： 直戏，准商地乳解相应的结果 分布表 最后一行是 ,其印频数否 计应是 须率合计应该是 统 优点：当数拟量很大时更能反 计 陕数据分布的大我情况，并用 在颗率分有直方图中，纵轴表示 電够清晰地表示出各个区间可的 条形统计 画频率 具体数目 数据落在各小组的频率用 表 分布直 来表示，各小长 缺点：条形统计图捐 方图 方形的面积的总和等于 分 折线凌计图 失了数据的部分信旦 帛形统计图到 ⊙解题秘籍 优点：①装叶图上找有信息的报 失，所有的原始数据都可以从这 L.条形统计图、折线统计图在对大量数据，大数据、连 个茎叶图中得到： 茎叶用 2茎叶图可以随时记录，方便表 续型数据的分析中有着明显的优势：而茎叶图在数据不多 示与比较 数不大、相对较集中时，运用起来就比条形统计图、折线统 计图简单明了，能比较容易地从原始数据中观察数据的果 缺点：当数据最级大或有很多组数 中与分散、稳定与波动的情况.扇形统计图能直观地、生动 据时表示不直观、不清爆 地反映各部分在总体中所占的比例，即能清楚地反映整体 ·23· 与部分的关系，因此针对具体题目应该选择何种方法，要仔 四个特点：()易于比较数据之间的差异：(h)易于显示 细酌. 各组之间的频数的差别：()易于显示数据的变化趋势： 2.统计图表的选择 (d)易于显示每组数据相对于总数的大小，统计图与特 在对一些数据进行统计时，要根据数据的特点和统计 点选配方案分别是：①与(a):②与(c):③与(d):④与 结果的精准度选择合适的统计图表，如果需要根据图表了 (b).其中选配方案正确的有( 解各数据在某区间所占的频率可以使用条形统计图：如果 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 要了解数据的增减情况可采用折线统计图：如果要了解数 4.如图是一个班的语文成绩的茎 5 15 据的全部信息可以使用茎叶图。 叶图（单位：分），则优秀率(90 6 034467889 ⊙课前测一测 分以上)是 ,最低分是 分. 3555679 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） 5.某中学高二(2)班甲，乙两名学 023357 (1)扇形图表示的是比例，柱形图不表示比例.( 生自进入高中以来，每次数学考 (2)茎叶图只能用于表示两组数据.( 试成绩情况如下： (3)频率分布直方图中矩形的高是这一组的频率。( 甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107： (4)频数分布折线图和频率分布折线图与横轴的左右两 乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101. 个交点有实际意义.() 缅出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成 2.如图所示的是一容量为100的样本的频率分布直方图， 绩进行比较 则由图中数据可知样本落在[15,20]内的颜数为() 0.1 0.04 01 5101520数据 A.20 B.30 C.40 D.50 3.四种统计图：①条形图：②扇形图：③折线图：④直方图. ·24…2.C解析：B与C的区别在于C中沿原路运回时耗爱了时间而B中 4.巴 没有体现，故选C 280 3.A解析：设月平均增长率为x,L月份产量为a,则有a(1十x)" 5.160解桥：男生人裁为560×560-20-160， 7a.则1+x=7,故x=7-1 5.1.2数据的数字特征 449解折：令h=600,得p=100×(品)广=.9 【知识点一点】 5.解：(1)用①来模板比较合境.国为演饮料在人均GDP处于中等术 最多从小到大（或从大到小）中间平均数平均距离 平的地区销售量最多，然后向两边遥减，而①④表示的函数在区 【课前测一测】 间上是单满函数，所以②③④都不合造，故用①桌摸椒比较合适， L.1)×(2)/(3) (2)周为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2L:人 2C解析：方差与标准差反映一组数据的离散程度， 均GDP为4千美元时，年人均A饮朴的铺量为5【，北x=1,y= 3A解折：7=4X3+3X8士5X中6X245, 2:r=4,y=5代入到y=r十r, 3+2+4+2 释得陆山.解得=一子6=号故画数解析式为=- 9 417(22解析：1F-7中8+79+5+4+9+10+7+7. 2+9 xre[：8]) (2x=号[7-7+(8-7y+7-7+9-7)+5-7)+4 y--Ir -7)+(9-7)+(10-7)2+(7-7)+(1-7)门=4，.=2. 5.解：这复数据有17个数，17×25%=4.25,17×75%=12,75，这组 均A饮科的格售量最多光铝1上 数据的中位数是x。=1.70,25%分位数是，r:=1.60,75%分位：是 xam1.75. 第五章统计与概率 5.1.3数据的直观表示 5.1统计 【知识点一点】 (一)2.构成形式（三）最大值与最小值小于的最小整数左闭 5.1.1数据的收集 右开分组频节累计颜数规率样本容量1领声组距 各小长方形的面积1 【知识点一点】 【课前剥一测】 1.(1)全体(2)每个对象(3)部分对象(4)个体数目(5)均等 1,(1)×(2)×3》X(4)× 2.每个个体3.(1)完全随机较小较少(2)简单易行大不 2.B解析：样本数据落在[15,20内的频量为100×[1一5×(0.D4+ 具有代表性 0.1)]=30 4.(1)编号(2)任意(3)一定规则舍弃(4》对应的个体 3,B解析：条形围易于比较数据之间的差异，故①与《)：扇形图易 5.层层在总体中所占比例 于是示每组量据相对于总数的大小，故的与(d):斯线图易于星示 【课前测一测】 数据的变化趁婷，故③与()：克方图易于是示各虹之间的频数的差 1.(1)/(2)×(3)/(4)/2.D 耐，故①与《h),正确的有2个，故选且 3B解析：由随机处表法的步聚加选B 44%51解析：由茎叶图知，样本客量为25,90分以上的有1人 ·54· 故优秀奉为方-%，最低分为51分 摸出的球不是黄球的概单为1一0.18=0.82：摸出的埠是黄球成黑 球的概率为1-0.4=0.6 5解：甲，乙两人数学成传的茎叶图如图所示： 从这个墓叶图上可以看出，乙同学的得分清风是 5.3.3古典概型 大数对称的，中位数是98：甲同学的岸分情况，也 【知识点一点】 大致对称，中位数是88.乙同学的成绮比较稳定， 1.有限的有限性都相等等可能性 总体嘴况比甲同学奸， 2.(1)有限个有限个(2)均等的 5.1.4 用样本估计总体 3(1) (2)m 5.2数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟 +.(1)0≤PA)1(2)1PA)+P(B】 【课前测一测】 【知识点一点】 1,(1)×(2)×(3)√(4)× 频南分布 2.D解析：利用古典概型的两个条件到断，在A中，事件“发芽"与事 【课前测一测】 件"不发芽”发生的凝率不一定相等，与古典疑型的第二个条件 1.(1)×(2)/(3)/(4) 盾：在B中，横空标和纵坐标都为整数的所有点为无限个，从而有无 2.D3.C 限个站果·这与古典额型的第一个条件矛盾：在C中，命中0环，1 4.9692乙 解析：由茎叶图可知，甲班的最高分是96，乙班的最 环，2环、·，10环的疑率都不一样 高分是92.甲啦的成绩集中在60~80之间，乙班成績集中在70 3.A解析：8名道外文的志思者中随机这1名其样本空间包合8个 90之间，故乙筵的平均成绮较高. 样本点，“选到慢日文的志愿者”包含3个样本点，因此所求舰率 5.3概率 4.2解析：（甲，乙），（甲，丙），共2个 5.3.1样本空间与事件5.3.2事件之间的关系与运算 5,解：(1)不是古典概型，因为区间[1,10们中有无限多个实数，取出的 那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有 【知识点一点】 有限个”手婚。 1.(2)必然事件 不可能事件(3)基本事件 (2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“玉面向上“与“反面向上” 2.(1)一定发生A≤BB口A一定一定A二B且B二A☑ 的桃率不树等，与古央概型定义中“每一个试验结果出现的可能性 @所有不属于(2)A中的B中的A+BAUB公共样 相等”矛盾 本点ABA∩B (3)是古奥概型，因为在欲脸中所有可能出现的结果是有限的，而且 3.(1)[0:1(2)10(3)P(A)+P(B)(4)1-P(A)10 每个整赞被釉到的可能性相等 【课前剥一测】 1.(1)/(2)×(3)×(4)× 5.3.4频率与概率 2.D解析：只有D是在一定条件下必然发生的现象，其他三个每次 【知识点一点】 发生的结果不一定相同 1.常数常数 2.P(A)3.0≤P(A)≤14.频率近似 3C解析：山互序事件的定义知，A,B互斥.+.D 【课前测一测】 5.0.40.820.6解析：摸出白球的蝇率为1一0.42一0.18=0.4： 1.(1 (2× (3)× .55·