4.3 指数函数与对数函数的关系-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册课前预习10分钟（人教B版2019）辽宁专用

4.3指数函数与对数函数的关系 @和识点一点 数y一f(x)的图像上 (2)特别地，若互为反函数的两个函数是同一个函数， L,反函数的概念与记法 则该函数的图像关于直线y=x对称，如反比例函数y (1)反函数的概念 一般地，如果在函数y■f(x)中，给定值域中任意 点(k≠0). 个 的值，只有 与之对应，那么是 的 3.指数函数与对数函数的关系 函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.此时，称y=f(x) (1)指数函数y=a'与对数函数y=logx 存在 (2)反函数的记法：函数y=f(x)的反函数通常用 (2)指数函数y=a与对数函数y=logx的图像关于 表示。 直线 对称 2.反函数的性质 一般地，函数y=f(x)的反函数记作y=f(x).则 ⊙解题秋籍 (1)y=f(x)的定义域与y=f1(x)的值域相同，y= L求反函数的一般步骤 f(x)的值域与y=f(x)的定义域相同. (1)先确定原函数的值域，即反函数的定义城： (2)y=f(x)与y=f厂(x)的图像关于直线y=x (2)对调原函数解析式中的x和y,解出y: 对称. (3)写出反函数 (3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个 2.互为反函数的图像特点 函数的单调性相同， (1)互为反函数的图像关于直线y=x对称：图像关于 [拓展](1)由性质(2)可知，若函数y=∫(x)的图像上 直线y=x对称的两个函数互为反函数 有一点(a,b),则点(h,a)必在其反函数的图像上：反之，若 (2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性 点(h,a)在y=f(x)的反函数的图像上，则点(a,b)必在函 一致 ·11· (3)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数 3.解对数不等式的常见解法 2 (1)借助对数函数的单调性，把对数不等式转化为真数 -2 0 的不等式，最后与定义域取交集即得原不等式的解集 (r) 3 (2)底数中若含有变量，一定要注意底数大于0且不等 3.若函数y=f(x)是函数y=a(a>0且a≠1)的反函 于1，并注意与1的大小的讨论 数，且f(2)=1.则f(x)等于( ⊙裸前测一测 A.logsr B C.logr D.2-9 1.判断正误（正确的画“/”，错误的画“X”) 4.若函数y=f(x)的反函数图像过点(1.5)，则函数y=f(x) (1)函数y= 的反函数是y=log:.( 的图像必过点( A.(1,1) B.(1.5) C.(5,1) D.(5.5) (2)函数y-logx的反函数的值域为R.()》 5.函数y=x十3的反函数为 (3)函数y=e的图像与y=1gx的图像关于y=x对 6.已知函数y=ar十2与函数y=3x十b的图像关于直线 称.( ) y=x对称，求a,b的值. 2.下列函数中，存在反函数的是( A x>0 x=0 r<0 f(.x) 0 -1 B. x是有理数 x是无理数 g(a) 0 2 3 5 h(r) 0 ·12即2"=2..一x=4,即x=一4. (2)国为108=4以27=2×3，所以g√1丽=2g108-27g2×3) (2)16gr=- 82 -7g2+7g3-g2+2k3-a+2b (3),0g2(0gx)=0,l0gx=1,rm4. (4):gt-3+2豆 4.2.3对数函数的性质与图像 【知识点一点】 .(w2-1)= =2-1,x=1 R增函数减函数 √3+2w2 V《w反+1)2+1 【课前利一测】 1.(1)×(2)×(3)× 4.2.2对数运算法则 2.C解析：固为a为对数离数y=lgr的底数，所以u>0且a≠L. 【知识点一点】 问时a为直线y=x十4在y轴上的戴距，所以被除A,D当a>I时，y ■gx为增函数，y=x十a在y轴上的藏距大于1，所以排徐且 1.(1)log M+log,N log,N +log N:+...+log.N:(2)elog M (3)log.M-log.N 2.jog. log b 1 3B解折：由题毒得仟什-2<4 【课前测一测】 4(合·号)解折：由题意可终0<。-11解得号<<号 ·所 1.(1/(2)X(3)× 2.C解析：由对数的运算法别，知A,B,D错误，C正确. 以实载a的取植花周是（兮，号）》 3A解桥：2=3→ag2-6lg3,所以g2-号-名 5.解：(1)因为1=x2十44.且y=0g1为增高数， 所以y=l0g(r2+1)og:4=2. 4.2-4解析：，3-2..4-1cg2..21og6一10g8-2(og2+ 甲函数y=l0g(.r2十4)的值域为[2，十∞). 1c®3)-30g2=-kg2+2=2-a. (2)国为1=3+2x-x2=-(r-1)2+4≤4，且y=10g1t为减 5解：0a=专k10-号k10-号 2 数，所以kg1(3+2x-r3)lg14■一2即岛数y=0限1(3十2x (2)0ge(4×2)=0w4+l0g2 r2)的值城为[一2，十©). =l0g22x1+l0g2=2×7+5=19, 4.3指数函数与对数函数的关系 (3)(1g2)3+lg20×lg5■(g2)+(1+1g2)(1-g2)=(g2)+1 【知识点一点】 -g2)=1. 1,(1y唯一的xry反函数(2)y=1(x) 6.解：(1)lg:12=og(3×4)=1十2l0g2=a 3.(1)互为反函数(2)y=x 所以0g2= 【课前测一测】 2 L.(1)×(2)×(3)×2.D og24=lga(8×3)-1+3ag2=1+3ד1_0- 3,A解析：y=a的反数为f(x)=gr,则1=lkg,2,所以a= 2 2 2.所以f(r)=logx, ·52· +.C解析：原函数与它的反函数的图像关于直线y=上对称，因为y =f(x)的反函数的图像过(1.5)，而(1,5)关于y=r的对称点为 (③)：画数y,=(号)广为R上的减画载， (5.1).所以函数y一(x)的图像必过点(5,1) 5.y=x-3(r∈R)解析：由y=r十3，得x=y一3，r,y互换得y= 是>景（得）（得）月 x一3，所以原函最的反函数为y=x一3(x∈R). 6.解：由y=r十2与面数y=3x十6的图像关于直线y=x对称，说 又画维=r在0，十)上是增画数，且>号 明它们亚为反通靴又由y=ar+2,解择x=Y2a≠0，所求反 ()>()()>(得) 画数为y吕与西数y-3十6表系同一画批，制有】-3 4.5增长速度的比较 且一2=6，解得4= 0 36=-6 【知识点一点】 y=a'y=log 4.4幂函数 【课前测一测】 1.(1)×(2)/(3)× 【知识点一点】 2.A解析：比较函数，指数函数与对级函数可知，辑级函数增长速 (xx≠0}[0，+©)[0，十oo){yy≠0}奇偶奇非奇非 度最快，故选A 偶奇增或增增减减(1)(1.1)(2)原点增下凸 3.B解析：由于过(12)点，排除C,D:由图像与直线y=4无限接 上凸(3)a<0(5)小大 近，y<4,排除A,所以选B 【课前测一测】 4.-8-24x解析：.△f=f(2十4r)-f(2)=-2(2+△r)+5一 1.(1)×(2)/(3)/(4)× 2.C解析：形如y="的品数为暴面数，只有C不是 (一2×2+5)=一84r-24r),∴=-8-24x,即平均变化 3.A解析：由蒸函教的因像可加，其图像一定不经过第四象机 率为-8-24r 4（,0U0.+o）解析：由题意得号-2。-1fx 5解：f)在[2.2+4]上的平均变化净为兰-f2+4)-f②四 Ar ==子0u)的维城为(-0,0U0,十 ==（2+42+(2+A)-（4+2=-3-4,所以由-3-4 Ar 5解：茅数y=在0，十0)上是单满连增的，又号>言 -1可得4x≥-2.义因为△r>0,所以4r∈(0，十∞). 4.6函数的应用（二）】 (得)>() (2),暴函数y=x在（一，0）上是单调递减的 4.7数学建模活动、生长规律的描述 又-<是()>() 【课前测一测】 1,(1)W(2)×(3)×(4/ ·53·