精品解析：2022年江苏省南京市第二十九中学特长生考试数学真题

2022二十九中特长生综合卷数学部分试题 1. 已知一正方形， （1）任意作出一个矩形，满足两图形面积相等； （2）给定一个圆，作出圆一个内接矩形满足两图形面积相等． 2. 一个正方形，四段弧分别过A点B点，B点C点，C点D点，D点A点，每段弧对应圆周角为120度（圆心在正方形外），四段弧在正方形内部产生四个交点，顺次连接得到正方形，求两个正方形的面积比． 29中特长生数学加试卷 3. 方程的两根为，，方程的两根为、，其中，，求的值 4. 二次函数过点，，当，的范围为，求的值 5 给出三条线段（长度） （1）尺规一个三角形满足边上中线（说明画法）； （2）尺规一个三角形满足角平分线与交点记（说明画法）； （3）在上一问条件下，求满足的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022二十九中特长生综合卷数学部分试题 1. 已知一正方形， （1）任意作出一个矩形，满足两图形面积相等； （2）给定一个圆，作出圆的一个内接矩形满足两图形面积相等． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）如图所示，在直线上截取，作线段的中点G，再作矩形即可； （2）如图所示：过圆心O任作一条射线分别交于E、F，过点F作的垂线，在该垂线上截取，过单G作交直线于H，以点F为圆心，的长为半径画圆交于K，过点K作交于L，连接并延长交于J，则矩形即为所求； 【小问1详解】 解：如图所示，在直线上截取，作线段的中点G，再作矩形即可； 【小问2详解】 解：如图所示：过圆心O任作一条射线分别交于E、F，过点F作的垂线，在该垂线上截取，过单G作交直线于H，以点F为圆心，的长为半径画圆交于K，过点K作交于L，连接并延长交于J，则矩形即为所求； 不妨设的半径为， 易证明，则，可得， 易证明，则，可得， 由是直径得到，则四边形是矩形， 则矩形的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，复杂作图等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2. 一个正方形，四段弧分别过A点B点，B点C点，C点D点，D点A点，每段弧对应圆周角为120度（圆心在正方形外），四段弧在正方形内部产生四个交点，顺次连接得到正方形，求两个正方形的面积比． 【答案】两个正方形的面积比为3． 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理．连接，，，于点，利用圆周角定理求得是等边三角形，设，在中，求得，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接，，，于点， 由题意得，点和点在上，，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积比． 29中特长生数学加试卷 3. 方程的两根为，，方程的两根为、，其中，，求的值 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．将，分别代入两个方程中，得到，再根据根与系数的关系得到，，求出和，即可求解． 【详解】解：将，分别代入和 中可得： ， 得： ， ， ， ， 方程的两根为，，方程的两根为、，其中，， ，， 即，， 解得：，， ． 4. 二次函数过点，，当，的范围为，求的值 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想．先利用待定系数法求出二次函数的解析式，进而得到顶点坐标为，对称轴为直线，再分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，求出的值即可． 【详解】解：二次函数过点，， ， 解得：， 二次函数的解析式为， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当，即时，此时在时，取得最小值，在时，取得最大值， 即，， 解得，，；解得，，； ； 当，即时，此时时，取得最大值，在时， 取得最小值， 即，， 解得，，；方程无解；此时无取值； 当，即时，此时在时取得最小值为， 解得：（不符合题意，舍去） 综上所述，值为1． 5. 给出三条线段（长度） （1）尺规一个三角形满足边上的中线（说明画法）； （2）尺规一个三角形满足角平分线与交点记为（说明画法）； （3）在上一问的条件下，求满足的关系． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作线段；以点为圆心、为半径作圆；以点为圆心、为半径作圆；取两个圆的交点，连接；在上截取，连接，并延长；在射线上截取，连接即可得到；由三角形全等的判定与性质即可得到即为所求； （2）作线段，在的延长线上取点H，使得，以点F为圆心，线段m的长为半径作，在取点I，则，过点H作的平行线，交的延长线于点J，由平行线分线段成比例可得．作，，与相交于点E，在上截取，过点A作的平行线，交的延长线于点C．由，可证得，根据平行线的性质及等角对等边得到是的角平分线，因此为所求图形． （3）在中，利用三角形的三边关系即可解答． 【小问1详解】 解：作线段； 以点为圆心、为半径作圆； 以点A为圆心、为半径作圆； 取两个圆的交点，连接； 在上截取，连接，并延长； 在射线上截取，连接即可得到； 如图所示： 和中， ， ， 满足边上的中线； 【小问2详解】 解：如图，作线段， 在延长线上取点H，使得， 以点F为圆心，线段m的长为半径作， 在取点I，则， 过点H作的平行线，交的延长线于点J， 则，即， ∴． 作，，与相交于点E， 在上截取， 过点A作的平行线，交的延长线于点C． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴满足，角平分线，即为所求图形． 【小问3详解】 解：∵在中，，即， ∴． 【点睛】本题考查尺规作图，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角形的三边关系，通过构造相似三角形得到并运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$