精品解析：北师大版2024-2025学年七年级数学上册期末复习试题

北师大版数学七年级上期末复习试题 一．选择题（共10小题） 1. 如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影， 下列是该正方体的展开图的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（　　） A. 是二次三项式 B. 的次数是6 C. 的系数是 D. 不是单项式 3. 在一条线段中间另有个点，则这个点可以构成（ ）条线段． A. B. C. D. 4. 如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A 与表示同一个角 B. 表示的是 C. 也可用表示 D. 图中共有三个角，， 5. 如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，且平分，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 下列变形中，不正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A. B. C. D. 8. 按一定规律排列一列数依次为：﹣，1，﹣，、﹣、…，按此规律，这列数中的第100个数是（　　） A. ﹣ B. C. D. 9. 为了尽快收回资金，某公司同时以30万元的价格卖出两套设备，其中一套设备盈利，另一套设备亏本．那么该公司卖出这两套设备（ ） A. 赚万元 B. 亏万元 C. 赚2万元 D. 不赚也不亏 10. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论序号是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 二．填空题（共10小题） 11. 如图，5个边长为1cm的正方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为_____ ． 12. 正八边形对角线的条数为________条． 13. 一桶油，第一天用去全部油的，第二天用去20千克，这时用去的油与剩下的油之比为，则此时还剩下___千克油． 14. 学生甲在一列队伍的排尾以每小时6千米的速度赶到队伍排头后，又以同样的速度返回队尾，一共用了3小时，若队伍进行的速度为每小时4千米，则队伍长为___千米． 15. 某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的九折出售将获利；而按七折出售将赔20元，则这种商品的进价是________元． 16. 某商品标价800元，因“6.18”活动打九折出售，仍可获利20%，则该商品的进价是_____． 17. 如图，已知，，平分，平分，则的度数是___． 18. 钟表上的时间是2时35分，此时时针与分针所成的夹角是_____度． 19. 已知：表示不超过x的最大整数．例：，．现定义：，例：，则______． 20. 已知，，则的值是_____． 三．解答题（共12小题） 21. 解方程： （1） （2） （3） （4） 22 ． 23. 先化简，再求值：，其中． 24. 神舟十八号载人飞船于2024年4月25日发射升空，并与空间站实现完美自动对接．为了让学生对我国航天事业有进一步了解，校团委开展了以“筑梦空间站”为主题的航天知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图． （1）本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，频数分布直方图中______，扇形统计图中A组占______； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，试估计全校2000名竞赛学生中，成绩优秀的学生有多少人？ 25. 已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 26. 如图，已知线段上有两点C、D，且，E，F分别为的中点，． （1）线段的长； （2）若点G在直线上，且，求线段的长． 27. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD＝∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝________． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 28. 综合与实践 为提倡节约用水，某地实施价格调控．该地自来水公司的收费价格如下表：（水费按月结算，表示立方米） 价 目 表 每月用水量 价格 不超过的部分 3元/ 超过不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 根据表中的内容，解答下列问题： （1）小张家四月份的用水量为，应缴水费________元． （2）若小张家某月的用水量为，试用含a的式子表示应缴水费． （3）已知小张家八月份缴纳水费30元，求小张家八月份的用水量． 29. 商店运来桔子、苹果和梨一共 640 千克．苹果和桔子的比是 6：5，梨的重量是苹果的．运来桔子、苹果和梨各多少千克？ 30. 小红和小强同时从家里出发相向而行．小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇．若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇．小红和小强两人的家相距多少米？ 31. 已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向右移动． （1）直接写出_______，_______，________； （2）设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式的最大值为_________． （3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点到达C点时停止运动，Q点也停止运动．求：当P点开始运动后多少秒，P、Q两点之间的距离为2？ 32 综合运用 同学们，我们在教材中学习过绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．如指数轴上点到原点的距离，也可以写成；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，值为．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离的值是________；数轴上表示与的两点之间的距离可记作________，如果这两点之间的距离为，那么________； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使； （3）若表示有理数，直接写出：的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学七年级上期末复习试题 一．选择题（共10小题） 1. 如图，一个正方体的上面和前面各有一块三角形的阴影， 下列是该正方体的展开图的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方体的表面展开图，根据题意，两个三角形有一个公共顶点，公共顶点一个为直角三角形的直角顶点，另一个为锐角的顶点，据此逐项分析解题． 【详解】解：A．折叠后，两个三角形没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； B．有公共顶点，但是位置不对，故该选项不正确，不符合题意； C．图形是该正方体的展开图，符合题意， D．不是正方体的展开图，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 下列说法错误的是（　　） A. 是二次三项式 B. 的次数是6 C. 的系数是 D. 不是单项式 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式，再结合单项式的次数与系数确定方法，进而得出答案． 【详解】解：A．是二次三项式，正确，故此选项不合题意； B．的次数是4，原说法错误，故此选项符合题意； C．的系数是，正确，故此选项不合题意； D．不是单项式，正确，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了多项式与单项式，正确掌握多项式的项数与次数确定方法是解题关键． 3. 在一条线段中间另有个点，则这个点可以构成（ ）条线段． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的计数，掌握线段的定义是解答本题的关键． 根据线段的定义即可求解． 【详解】解：这个点可以构成：（条）， 故选：C． 4. 如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A. 与表示同一个角 B. 表示的是 C. 也可用表示 D. 图中共有三个角，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示，数形结合即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、与表示同一个角，正确，不符合题意； B、表示的是，正确，不符合题意； C、也可用表示，错误，符合题意； D、图中共有三个角，，，正确，符合题意； 故选：C． 5. 如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，且平分，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，设，则，根据角之间的等量关系求出、、的大小，然后根据平角的定义建立关于的方程，求解即可．掌握角平分线的定义是解答的关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 6. 下列变形中，不正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的性质即可求出答案，等式的性质是：等式的两边同时加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边同时乘或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 【详解】解：A、若，则，故本选项变形正确； B、若，则，故本选项变形正确； C、若，则，故本选项变形正确； D、若，则当时，故本选项变形错误； 故选：D． 【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 7. 如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，余角的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键． 【详解】根据，即可求得，，代入，从而求解． 解：如图： ∵三个大小相同的正方形， ∴， ∴，， ∴， 即， 故选：C． 8. 按一定规律排列的一列数依次为：﹣，1，﹣，、﹣、…，按此规律，这列数中的第100个数是（　　） A. ﹣ B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，…，可知符号规律为奇数项为负，偶数项为正；分母为3、7、9、……，型；分子为型，可得第100个数为． 【详解】按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，…，按此规律，奇数项为负，偶数项为正，分母为3、7、9、……，型；分子为型， 可得第n个数为， ∴当时，这个数为， 故选：C． 【点睛】本题属于规律题，准确找出题目的规律并将特殊规律转化为一般规律是解决本题的关键. 9. 为了尽快收回资金，某公司同时以30万元的价格卖出两套设备，其中一套设备盈利，另一套设备亏本．那么该公司卖出这两套设备（ ） A. 赚万元 B. 亏万元 C. 赚2万元 D. 不赚也不亏 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可以分别求得两套设备的成本价，从而可以计算出公司盈亏情况，本题得以解决． 【详解】解：设盈利的那套设备的成本价是a元， ， 解得，， 设亏损的那套设备的成本价是b元， ， 解得，， ∵， ∴该公司卖出这两套设备亏本万元， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出两套设备的成本价． 10. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论序号是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数轴，有理数的大小比较法则，绝对值等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．首先判断出，，，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：由题意得，，，， ①∵，， ∴， 即，故①错误； ②∵，， ∴ ∴，故②正确； ③，故③正确； ④；故④正确； 故正确结论有②③④． 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11. 如图，5个边长为1cm的正方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为_____ ． 【答案】16 【解析】 【分析】将最上面的小正方体平移到一边，最上面的小正方体有5个面，中间向上的有3个面，最底层一周有8个面，共计16个面，计算每个面的面积，计算即可． 【详解】将最上面的小正方体平移到一边，最上面的小正方体有5个面，中间向上的有3个面，最底层一周有8个面，共计16个面，因为边长为1cm的正方体的面积为1， 所以露在表面的部分的面积为16 ． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了几何体的表面积，熟练掌握确定露出表面的数目是解题的关键． 12. 正八边形的对角线的条数为________条． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，根据n边形对角线条数为进行求解即可． 【详解】解：正八边形的对角线的条数为条， 故答案为：20． 13. 一桶油，第一天用去全部油的，第二天用去20千克，这时用去的油与剩下的油之比为，则此时还剩下___千克油． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设剩下的油为千克，则用去的油为千克，根据第一天用去全部油的，第二天用去20千克，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设剩下的油为千克，则用去的油为千克，根据题意得： ， 解得：， （千克）， 即此时还剩下100千克油． 故答案为：100． 14. 学生甲在一列队伍的排尾以每小时6千米的速度赶到队伍排头后，又以同样的速度返回队尾，一共用了3小时，若队伍进行的速度为每小时4千米，则队伍长为___千米． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．设队伍长为x千米，根据甲从队尾追赶到排头所用时间与甲从排头回到队尾所用时间之和为3小时，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设队伍长为x千米，根据题意得： ， 解得：， 即队伍的长度为5千米． 故答案为：5． 15. 某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的九折出售将获利；而按七折出售将赔20元，则这种商品的进价是________元． 【答案】300 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设这种商品的进价是元，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设这种商品的进价是元， 根据题意，可得， 解得元， 即这种商品的进价是300元． 故答案为：300． 16. 某商品标价800元，因“6.18”活动打九折出售，仍可获利20%，则该商品的进价是_____． 【答案】600 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．本题的等量关系为：售价进价利润，依此列出方程即可． 【详解】解：设进价为元， 则：， 解得：． 故答案为：600． 17. 如图，已知，，平分，平分，则的度数是___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出、、的度数和得出．由角的和差关系可得，根据角的平分线的行医可得，，结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 钟表上的时间是2时35分，此时时针与分针所成的夹角是_____度． 【答案】132.5． 【解析】 【分析】根据时针旋转的速度乘以时针旋转的时间，可得时针的旋转角，根据分针旋转的速度乘以分针旋转的时间，可得分针的旋转角，根据分针的旋转角减去时针的旋转角，可得答案． 【详解】根据题意得， 35×6﹣（2×30+35×0.5） ＝210﹣77.5 ＝132.5（度）， 故答案为：132.5． 【点睛】本题考查了钟面角的概念，掌握钟面角的计算关系是解题的关键． 19. 已知：表示不超过x最大整数．例：，．现定义：，例：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义列出计算式解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，有理数的大小比较，解题的关键是根据题意列出算式解答． 20. 已知，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式， ∵和， ∴在中必为两正一负或两负一正， ∴当为两正一负时，原式， 当为两负一正时，原式， 故答案为：． 三．解答题（共12小题） 21. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程， （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （4）方程整理后去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【小问1详解】 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问2详解】 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问3详解】 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 【小问4详解】 整理得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 22. ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则以及通过观察题目找出规律，利用裂项的化简方法是解题的关键，通过观察题目可以看出，，算式的第三项可以和第四项相加为0，直至最后一项，因此分式最终可以化简为． 【详解】解：原式 ． 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，36． 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，化简后，利用整体代入法，求值即可．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：原式； ∵， ∴原式． 24. 神舟十八号载人飞船于2024年4月25日发射升空，并与空间站实现完美自动对接．为了让学生对我国航天事业有进一步了解，校团委开展了以“筑梦空间站”为主题的航天知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），其中A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图． （1）本次调查一共随机抽取了______名学生成绩，频数分布直方图中______，扇形统计图中A组占______； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）若将竞赛成绩在90分及以上记为优秀，试估计全校2000名竞赛学生中，成绩优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）400，60， （2）图见解析 （3）估计全校成绩优秀的学生约有人． 【解析】 【分析】本题考查直方图和扇形图，从统计图中有效的获取信息，熟练掌握频数除以百分比等于总数，是解题的关键． （1）利用组人数除以所占百分比求出总人数，利用总人数乘以组所占的百分比求出，利用组人数除以总人数，求出百分比； （2）利用总数减去其他组的人数，求出组人数，补全直方图即可； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）； ； ； ∴本次调查一共随机抽取了400名学生的成绩，频数分布直方图中，扇形统计图中A组占； 故答案为：400，60，； 【小问2详解】 解：组学生人数为：（人）； 补全直方图如下： ； 【小问3详解】 解：． 答：估计全校成绩优秀的学生约有人． 25. 已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据角平分线的定义得到，则由平角的定义得到； （2）根据角平分线的定义得到，再由，得到，由此求出，进而得到，则由平角的定义得到． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用平角的定义进行计算是解题的关键． 26. 如图，已知线段上有两点C、D，且，E，F分别为的中点，． （1）线段的长； （2）若点G在直线上，且，求线段的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的和与差： （1）设，则线段，，可得，再由线段中点的定义可得，，即可求解； （2）分两种情况：当点在点右边时，当点G在点的左边时，即可求解． 【小问1详解】 解：设，则线段，． ∴． ，F分别是线段，的中点． ，， ． ，解得， ； 的长度是； 【小问2详解】 解：当点在点右边时，； 当点G在点的左边时，； 终上所述，线段的长为或． 27. 定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD＝∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝________． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）20° （2）旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角 （3）在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角，旋转的时间为秒或30秒或90秒，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据内半角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质可得：，，再根据内半角的定义，即可求解； （3）分三种情况讨论，利用一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB＝70°， ∴∠COD＝∠AOB=35°， ∵∠AOC＝15°， ∴∠BOD=∠AOB-∠AOC-∠COD=20°； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ∴，， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴， ∴， 解得：， 即旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角； 【小问3详解】 解：在旋转一周过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能构成内半角，理由如下： 设三角板绕顶点O旋转时间为秒，则， 如图1，∠BOC是∠AOD的内半角时，则， ∴， 解得：； 如图2，∠BOC是∠AOD的内半角时，则， ∴，， ∴ ， 解得：； 如图3，∠AOD是∠BOC的内半角时，则， 根据题意得：，， ∴， 解得：； 综上所述，在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD构成内半角时，旋转的时间为秒或30秒或90秒． 【点睛】本题主要考查了角的和与差，图形旋转的性质，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 28. 综合与实践 为提倡节约用水，某地实施价格调控．该地自来水公司的收费价格如下表：（水费按月结算，表示立方米） 价 目 表 每月用水量 价格 不超过的部分 3元/ 超过不超过的部分 6元/ 超过的部分 9元/ 根据表中的内容，解答下列问题： （1）小张家四月份的用水量为，应缴水费________元． （2）若小张家某月的用水量为，试用含a的式子表示应缴水费． （3）已知小张家八月份缴纳水费30元，求小张家八月份的用水量． 【答案】（1） （2）当时，应缴水费为元；当时，应缴水费为元；当时，应缴水费为元； （3）小张家八月份的用水量为吨 【解析】 【小问1详解】 解：元， ∴小张家四月份的用水量为，应缴水费元； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，应缴水费为元； 当时，应缴水费为元； 当时，应缴水费为元； 【小问3详解】 解：∵， ∴小张家八月份用水量超过不超过， ∴， 解得， ∴小张家八月份的用水量为吨． 29. 商店运来桔子、苹果和梨一共 640 千克．苹果和桔子的比是 6：5，梨的重量是苹果的．运来桔子、苹果和梨各多少千克？ 【答案】桔子250千克，苹果300千克，梨90千克 【解析】 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示桔子的重量和梨的重量是解题的关键．设运来苹果千克，由苹果和桔子的比是，梨的重量是苹果的，可知运来桔子千克，梨千克，于是列方程得，求得，再求出桔子的重量和梨的重量即可． 【详解】解：设运来苹果千克，则运来桔子千克，梨千克， 根据题意得， 解得， （千克），（千克）， 答：运来桔子250千克，苹果300千克，梨90千克． 30. 小红和小强同时从家里出发相向而行．小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇．若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇．小红和小强两人的家相距多少米？ 【答案】小红和小强两人的家相距2196米 【解析】 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程． 利用小强第一次用的时间和小红的相同，但第二次比小红少用4分钟，但小强的速度比第一次快了20米每分钟，进而得出等式求出即可． 【详解】解：设第一次所用时间为， 则． 解得：， 所以小红和小强两人的家的距离为：（米）． 答：小红和小强两人的家相距2196米． 31. 已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向右移动． （1）直接写出_______，_______，________； （2）设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式的最大值为_________． （3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度速度在A，C之间往返运动，直至P点到达C点时停止运动，Q点也停止运动．求：当P点开始运动后多少秒，P、Q两点之间的距离为2？ 【答案】（1） （2）15 （3）当点运动的第秒，P，Q两点之间的距离为2 【解析】 【分析】本题考查数轴的应用，非负实数的性质，绝对值化简，解一元一次方程等知识点，解题的关键是利用分类讨论逐一讨论． （1）根据非负数和为0即可求解； （2）设点表示的数为，分为当时，当时，当时，分别化简即可判断； （3）根据点的运动速度可知点运动至的时间为，点从点运动至点所需时间为，即可将两点距离为2的情况分为4种，利用线段之间的等量关系分别求解即可． 【小问1详解】 故答案为：； 【小问2详解】 设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x， 则代数式， 当时， 当时， 当时， 则代数式的最大值为15； 【小问3详解】 ∵点运动到点时，点再从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动， 点再从点出发，以每秒3个单位长度的速度在之间往返运动， ∴点从点运动至点的时间为：， 点从点运动至点的时间为：， ∴可将两点距离为2的情况分为以下4种， 设点从点运动后，两点距离为2， ①如图，当点，点向右运动，且点在点右侧时， 解得：， ∴点开始运动后的第8秒，两点之间的距离为2； ②如图，当点，点向右运动，且点在点左侧时， 解得：， ∴点开始运动后的第10秒，两点之间的距离为2； ③如图，当点向右运动，点向左运动，且点在点左侧时， 解得：， ∴点开始运动后的第14.5秒，两点之间的距离为2； ④如图，当点向右运动，点向左运动，且点在点右侧时， 解得：， ∴点开始运动后的第15.5秒，两点之间的距离为2； 综上，当点运动的第秒，P，Q两点之间的距离为2． 32. 综合运用 同学们，我们在教材中学习过绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．如指数轴上点到原点的距离，也可以写成；数轴上表示数的点与表示数的点的距离可记作，值为．也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离的值是________；数轴上表示与的两点之间的距离可记作________，如果这两点之间的距离为，那么________； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使； （3）若表示有理数，直接写出：的最小值． 【答案】（1），，或 （2）的值为，，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意所述，运用类比的方法即可得出答案． （2）分三种情况讨论，结合数轴，即可求解． （3）根据（2）的结论，得出表示到，，，的点的距离的和，进而可得当时取得最小值，即可求解． 【小问1详解】 数轴上表示和的两点之间的距离的值是； 数轴上表示与的两点之间的距离可记作， 如果这两点之间的距离为， 即 解得：或； 故答案为：，，或； 【小问2详解】 解：如图，在数轴上，表示数的点记为，表示的点记为，表示的点记为，则表示，． 如图1，当点在点的左侧时，，不符合题意； 图1 如图2，当点在点的右侧时，，不符合题意； 图2 如图3，当点在点、之间（包括、两个端点）时，，符合题意．所以，． 图3 又因为是整数， 所以，的值为，，，． 【小问3详解】 解：∵表示到，，，的点的距离的和， 当时，有最小值， 最小值为： 【点睛】此题考查了绝对值的意义、数轴、两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度一般，注意理解绝对值的几何意义是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$