热点专题 4-1 三角函数概念与诱导公式【10类题型】-2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

2025届高考数学热点题型归纳与重难点突破 专题4-1 三角函数概念与诱导公式 近5年考情 考题示例 考点分析 考点要求 2023年甲卷，第14题,5分 三角函数概念与诱导公式考点分析：掌握正弦、余弦、正切等基本定义，理解其在单位圆上的几何意义。诱导公式是重点，需熟练记忆并应用，解决复杂角度的三角函数值问题。 （1）三角函数基本概念 （2）任意角的三角函数 （3）同角三角函数的基本关系 （4）诱导公式 2022年浙江卷第13题,5分 2021年甲卷第8题,5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】等分角的象限问题 1 【题型2】 三角函数的定义 3 【题型3】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题 4 【题型4】弦切互化求值 5 【题型5】sinα±cosα与sinαcosα的关系 6 【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 6 【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题） 8 【题型8】扇形弧长与面积的计算 9 【题型9】割圆术 10 【题型10】象限与三角函数正负的辨析 12 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】等分角的象限问题 如何确定角终边所在象限 法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。 法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。 1． （多选）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2． 已知是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B． C． D．是第三或第四象限角 【巩固练习1】（多选）如果是第四象限角，那么可能是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【巩固练习2】已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【巩固练习3】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在(　　) A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 【题型2】 三角函数的定义 一、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法 1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。 2、已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。 3、已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值 方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值 【注意】不要忽略角的终边在坐标轴上的情况 3． 已知为角α终边上一点，则= ． 4． （2024·山东青岛·一模）已知角终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】如果角的终边在直线上，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ） A． B．1 C．0 D．2 【巩固练习4】已知角的终边经过点，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D． 【题型3】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题 1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系 3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解 5． 若sin α＝－，则tan α＝ . 6． 已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若，,则 . 【巩固练习3】（2023年全国甲卷真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【题型4】弦切互化求值 1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧． 7． 已知，则（    ） A． B． C． D． 8． 若，则 . 9． 已知角θ的大小如图所示，则＝（　　）    A． B． C． D．4 【巩固练习1】已知，则 . 【巩固练习2】已知，则 ． 【巩固练习3】已知，则的值是 ． 【题型5】sinα±cosα与sinαcosα的关系 对于，，这三个式子，知一可求二： 10． （多选题）已知，，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 11． 已知为第三象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，A为第四象限角，则等于（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选题）已知，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 一、诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 二、把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 12． 点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【巩固练习1】已知为第三象限角，= . 【巩固练习2】已知，且，则 ＝ . 【巩固练习3】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且． (1)求的值；(2)求的值． 【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题） （1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数． （2）通过 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数． （3） 等可利用诱导公式把 的三角函数化 13． 已知，，则（    ） A． B． C． D． 14． 已知，则（   ） A． B． C． D． 15． 已知，则 。 【巩固练习1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若，则等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知，则= 。 【题型8】扇形弧长与面积的计算 一、扇形弧长与面积的基本公式 已知扇形的半径为R，圆心角为 弧长公式： 面积公式： 二、应用弧度制解决问题的方法 （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 16． （2024·四川南充·三模）如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形，在圆O内任取一点，该点落在扇形内的概率为（    ） A． B． C． D． 17． （2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（    ） A． B．3 C． D．4 18． 如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．    19． 若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 【巩固练习1】已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大． 【巩固练习2】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知，．且该扇环的面积为，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为 . 【题型9】割圆术 割圆术其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、正二十四边形等，直至边数无法再增，此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。 20． 《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 21． 我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（    ） A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14 【巩固练习2】如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（    ） A．时， B．时， C．时， D．时， 【题型10】象限与三角函数正负的辨析 首先明确各象限坐标符号，再根据三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，判断在各象限中这些函数值的正负。关键是理解函数定义与坐标轴关系。 22． 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，且，则为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 【巩固练习3】已知都是第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学热点题型归纳与重难点突破 专题4-1 三角函数概念与诱导公式 近5年考情 考题示例 考点分析 考点要求 2023年甲卷，第14题,5分 三角函数概念与诱导公式考点分析：掌握正弦、余弦、正切等基本定义，理解其在单位圆上的几何意义。诱导公式是重点，需熟练记忆并应用，解决复杂角度的三角函数值问题。 （1）三角函数基本概念 （2）任意角的三角函数 （3）同角三角函数的基本关系 （4）诱导公式 2022年浙江卷第13题,5分 2021年甲卷第8题,5分 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】等分角的象限问题 2 【题型2】 三角函数的定义 4 【题型3】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题 6 【题型4】弦切互化求值 8 【题型5】sinα±cosα与sinαcosα的关系 10 【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 12 【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题） 14 【题型8】扇形弧长与面积的计算 16 【题型9】割圆术 20 【题型10】象限与三角函数正负的辨析 23 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】等分角的象限问题 如何确定角终边所在象限 法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。 法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。 1． （多选）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【解析】是第三象限的角，则，， 所以，； 当，，在第一象限； 当，，在第三象限； 当，，在第四象限； 所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD 2． 已知是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B． C． D．是第三或第四象限角 【答案】C 【解析】∵是第二象限角， ∴，，即，， ∴是第一象限或第三象限角，故A错误； 由是第一象限或第三象限角，或，故B错误； ∵是第二象限角， ∴，， ∴，， ∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误. 故选：C． 【巩固练习1】（多选）如果是第四象限角，那么可能是（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】BD 【解析】由已知得，，所以，， 当为偶数时，在第四象限，当为奇数时，在第二象限，即在第二或第四象限．故选：BD． 【巩固练习2】已知，，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【解析】因为，， 所以为第二象限角，即， 所以， 则的终边所在象限为所在象限， 即的终边在第一、二、四象限. 【巩固练习3】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在(　　) A．第一象限或第二象限或第三象限 B．第一象限或第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上 D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上 【答案】D 【解析】当时，，终边位于第一象限 当时，，终边位于第二象限 当时，，终边位于轴的非正半轴上 当时，，终边位于第一象限 综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上 【题型2】 三角函数的定义 一、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法 1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。 2、已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。 3、已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值 方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值 【注意】不要忽略角的终边在坐标轴上的情况 3． 已知为角α终边上一点，则= ． 【答案】/0.2 【解析】为角α终边上一点， ， 则，， . 4． （2024·山东青岛·一模）已知角终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 即，所以，所以 【巩固练习1】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意， 由三角函数的定义得. 【巩固练习2】如果角的终边在直线上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的终边在直线上，所以. 所以.故选：B. 【巩固练习3】在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】BC 【解析】由题设，故，整理得， 所以或.故选：BC 【巩固练习4】已知角的终边经过点，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【解析】由定义，， 当，合题意； 当，化简得，由于横坐标，角的终边在一、四象限，所以． 【题型3】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题 1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意tan α＝的灵活应用 3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解 5． 若sin α＝－，则tan α＝ . 【答案】或 【解析】因为sin α＝－<0，所以α为第三象限角或第四象限角， 当α为第三象限角时，cos α＝－＝－，因此tan α＝＝. 当α为第四象限角时，cos α＝＝，因此tan α＝＝－. 故答案为：或－ 6． 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，结合， 解得，则 【巩固练习1】已知，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵且，∴，故选：B. 【巩固练习2】若，,则 . 【答案】 【解析】因为，则，， 又因为，则， 且，解得或（舍去）, 所以. 【巩固练习3】（2023年全国甲卷真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 【题型4】弦切互化求值 1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧． 7． 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 即，即， 显然，所以，则， 又，所以，所以. 8． 若，则 . 【答案】 【解析】由已知， 故答案为：. 9． 已知角θ的大小如图所示，则＝（　　）    A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义可得进而又和差角公式得，又二倍角和齐次式即可求解. 【详解】由图可知 所以， 则 【巩固练习1】已知，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以 . 【巩固练习2】已知，则 ． 【答案】 【解析】, 故答案为：. 【巩固练习3】已知，则的值是 ． 【答案】5 【解析】因为， 所以 【题型5】sinα±cosα与sinαcosα的关系 对于，，这三个式子，知一可求二： 10． （多选题）已知，，则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由，得， 所以，故选项A正确； 因为，，所以，， 又因为，所以，故选项B正确； 因为，故选项C错误； 由，，所以，故选项D错误 11． 已知为第三象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，两边平方得， 即，又因为为第三象限角，且， 所以，， 所以，所以， 则． 故．故选：D． 【巩固练习1】已知，A为第四象限角，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 可得， . . 又  A为第四象限角， 又 所以，.所以.答案：C. 【巩固练习2】（多选题）已知，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于选项A，由两边平方得：，故得，即A项正确； 对于选项B，由，可得：故， 由可得：，故B项错误； 对于选项C，，故C项错误； 对于选项D，由可解得：故得：.故D项正确. 【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 一、诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 二、把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 12． 点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】 . 同理，， 所以点P位于第一象限．故选：A． 【巩固练习1】已知为第三象限角，= . 【答案】 【解析】,故答案为：. 【巩固练习2】已知，且，则 ＝ . 【答案】 【解析】∵，. 又，，， ， 原式.故答案为：. 【巩固练习3】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且． (1)求的值； (2)求的值． 【解析】（1），， ，，则． （2）原式． 【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题） （1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数． （2）通过 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数． （3） 等可利用诱导公式把 的三角函数化 13． 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 14． 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以. 15． 已知，则 。 【答案】 【解析】 【巩固练习1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得 【巩固练习2】若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以. 【巩固练习3】已知，则= 。 【答案】 【解析】由题意，所以， 所以 ． 【题型8】扇形弧长与面积的计算 一、扇形弧长与面积的基本公式 已知扇形的半径为R，圆心角为 弧长公式： 面积公式： 二、应用弧度制解决问题的方法 （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 16． （2024·四川南充·三模）如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形，在圆O内任取一点，该点落在扇形内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的半径与扇形半径的关系及扇形的面积公式，由几何概型求解即可. 【详解】设圆的半径为，过作于点，如图， 则扇形的半径, 所以扇形的面积， 圆的面积， 由几何概型可得：. 17． （2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】设母线长为，根据题意得到，即可求解． 【详解】设母线长为，由题意，可得，解得，即圆锥的母线长为． 18． 建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．    【答案】 【解析】设圆心角为，则， 所以，解得，所以， 所以此扇环形砖雕的面积为 . 19． 若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 . 【答案】2 【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 【巩固练习1】已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大． 【答案】 【解析】设扇形的半径为，弧长为， 由题意，， 扇形的面积为 ，所以当时， 扇形面积取最大值，此时， 所以扇形的圆心角时，扇形面积最大. 【巩固练习2】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故选：B. 【巩固练习3】下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知，．且该扇环的面积为，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为 . 【答案】 【解析】如图，设，，， 由题意可知，，解得，， 则，将该扇面作为侧面围成一圆台， 则圆台上、下底面的半径分别为1和2， 所以其高为， 故该圆台的体积为. 【题型9】割圆术 割圆术其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、正二十四边形等，直至边数无法再增，此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。 20． 在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为，底边约为， 由题意得 21． 我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于正n边形，其圆心角为，面积为，对于正边形，其圆心角为， 面积为，由此可得，. 【巩固练习1】我国南朝的数学家祖冲之发展了刘徽的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长越来越接近圆的周长），在公元5世纪又进一步求得圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，使中国对圆周率的计算在世界上领先一千多年．依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（    ） A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14 【答案】B 【分析】设半径为的圆内接正边形的周长为,圆的直径为，则，然后即可解决问题. 【详解】由题意时，. 【巩固练习2】我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（    ）    A．时， B．时， C．时， D．时， 【答案】A 【分析】求出正十二边形的周长，可得出，即可得解. 【详解】设圆的内接正十二边形被分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即， 作于点，则为的中点，且，    因为，在中，，即， 所以，，则， 所以，正十二边形的周长为，所以，. 【题型10】象限与三角函数正负的辨析 首先明确各象限坐标符号，再根据三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，判断在各象限中这些函数值的正负。关键是理解函数定义与坐标轴关系。 22． 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得、，， 对A：当时，，则，， 此时，故A错误； 对B：当时，，故B错误； 对C、D：，由， 故，则，即， 故C正确，D错误. 【巩固练习1】若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若α是第二象限角，则，故A错误； 为第一、三象限角，则，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 【巩固练习2】已知，且，则为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角 【答案】C 【解析】由，得，则且，又， 因此且，是第二象限角，即， 则，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角， 所以是第一或三象限角. 【巩固练习3】已知都是第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则即， 而都是第二象限角，故，故， 故“”是“”的充分条件. 若，因为都是第二象限角，故， 所以即， 故“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充要条件. 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$