第十三章 轴对称 提优测试卷（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学提优专题训练及试卷测试（人教版）

第十三章 轴对称 提优测试卷（原卷版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.） 1．下列图形中，轴对称图形的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，∠ADE＝20°，则∠BAC的度数为（ ） A．120° B．110° C．100° D．90° 3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于G．有以下四个结论：①GA＝GD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（　　） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 4．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD中正确个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　） A． B． C． D．6 7．某台球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿45°角击出，恰好经过5次碰撞到达B处．则AB：BC等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5 8．在平面直角坐标系中，已知点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，那么（m+n）2024的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣72024 D．72024 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为． A．2a+b B．2a+3b C．a+3b D．4a+2b 10．如图，已知∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且AB+AC＝BE，则∠B的大小是（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中 ①．△AA′P是等腰三角形 ②．MN垂直平分AA′，CC′③．△ABC与△A′B′C′面积相等 ④．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上，其中正确的结论有　 　．（填序号） 12．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是　 　． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝5cm，DE＝3cm，则BC的长是　 　cm． 14．在平面直角坐标系中，已知点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，则（m+n）2023的值为 　 　． 15．在△ABC中，D、E是边BC上的两点，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，则∠BAC的度数是　 　． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝50°，点B关于CD对称的点是点E，则∠ACE+∠BAC的度数大小为 　 　． 17．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是 　 　． 18．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90゜，∠A＝50゜，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD．求∠A′DB的度数． 20．（12分）如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2； （3）求出△BA2C2的面积； （4）如果AC上有一点P（m，n）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点P2的坐标 　 　． 21．（10分）（1）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． （2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 22．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E． （1）判断△DBC的形状并证明你的结论． （2）求证：BF＝AC． （3）试说明CEBF． 23．（10分）（2023春•古田县期中）如图，已知△ABC，点P为BC上一点． （1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若OF＝OE请在（1）的基础上说明∠FAO＝∠EPO． 24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　 　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形． 25．（12分）如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A，B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA，CB翻折得到△CAP与△CBQ． （1）求证：CP＝CQ； （2）求∠PCQ的度数； （3）当点D是AB的中点时，判断△DPQ是何种三角形，并说明理由． 26．（14分）在平面直角坐标系中，点B为第一象限内一点，点A为x轴正半轴上一点，分别连接OB，AB，△AOB为等边三角形，点B的横坐标为4． （1）如图1，求线段OA的长； （2）如图2，点M在线段OA上（点M不与点O、点A重合），点N在线段BA的延长线上，连接MB，MN，BM＝MN，设OM的长为t，BN的长为d，求d与t的关系式（不要求写出t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，点D为第四象限内一点，分别连接OD，MD，ND，△MND为等边三角形，线段MA的垂直平分线交OD的延长线于点E，交MA于点H，连接AE，交ND于点F，连接MF，若MF＝AMAN，求点E的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称 提优测试卷（解析版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.） 1．（2024•广东模拟）下列图形中，轴对称图形的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据轴对称图形的概念，对每个图形逐一分析，能够找到对称轴的图形就是轴对称图形． 【解答】解：第1个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 第2个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 第3个图在竖直方向有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 第4个图找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 因此，第1、2、3都是轴对称图形，共3个． 故选：B． 【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键． 2．（2020秋•咸丰县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，∠ADE＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠B＝∠C， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ADE＝20°， ∴∠BDE＝90°﹣20°＝70°， ∵BD＝BE， ∴∠BED＝∠BDE＝70°， ∴∠B＝180°﹣2×70°＝40°， ∴∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣2×40°＝100°， 故选：C． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 3．（2021春•黄州区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于G．有以下四个结论：①GA＝GD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（　　） A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据角平分线性质得：DE＝DF，证△AED≌△AFD，得AE＝AF，再一一判断即可． 【解答】解：①根据已知条件不能推出GA＝GD，∴①错误； ②∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥EF， ∴②正确； ③∵∠BAC＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∵AE＝AF， ∴四边形AEDF是正方形， ∴③正确； ④∵AE＝AF，DE＝DF， ∴AE2+DF2＝AF2+DE2， ∴④正确； ∴②③④正确， 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定，角平分线性质的应用，能判断Rt△AED≌Rt△AFD是解此题的关键． 4．（2016秋•罗平县期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD中正确个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】根据等腰三角形三线合一，即可一一判断． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°， ∵∠DAB＝∠DAC＝30°， ∴AD⊥BC，故①正确，∠EAB＝∠BAD＝30°， ∴AB⊥ED，EF＝DF，故②正确 ∴BE＝BD，故③正确， 故选：A． 【点评】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，属于中考基础题． 5．（2021•苏州模拟）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可． 【解答】解：作PH⊥MN于H， ∵PM＝PN， ∴MH＝NHMN＝1， ∵∠AOB＝60°， ∴∠OPH＝30°， ∴OHOP＝5， ∴OM＝OH﹣MH＝4， 故选：B． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（　　） A． B． C． D．6 【分析】如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．因为EF+CE＝EF′+EC，推出当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小． 【解答】解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′＝AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H． 在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA＝10． CH， ∵EF+CE＝EF′+EC， ∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为， 故选：C． 【点评】本题主要考查的是轴对称﹣最短路径问题，解题的关键是学利用对称，解决最短问题． 7．（2023•青秀区校级模拟）某台球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿45°角击出，恰好经过5次碰撞到达B处．则AB：BC等于（　　） A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5 【分析】根据题意画出图形，再根据轴对称的性质求出矩形的长与宽的比值即可． 【解答】解：先作出长方形ABCD，小球从A沿45度射出，到BC的点E，AB＝BE． 从E点沿于BC成45度角射出，到AC边的F点，AE＝EF． 从F点沿于AD成45度角射出，到CD边的G点，DF＝DG． 从G沿于DC成45度角射出，到BC边的H点，HF垂直于AD．GC＝CH 从H点沿于CB成45度角射出，到AC边的M点，EM垂直于AD， 从M点沿于CA成45度角射出，到B点， 看图是2个半以AB为边长的正方形， 所以1：2.5＝2：5． 故选：C． 【点评】本题考查的是轴对称的性质，解答此题的关键是画出图形，再根据对称的性质求解． 8．在平面直角坐标系中，已知点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，那么（m+n）2024的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣72024 D．72024 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣4，n＝3， ∴（m+n）2024＝（﹣4+3）2024＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a，b的代数式表示△ABC的周长为． A．2a+b B．2a+3b C．a+3b D．4a+2b 【分析】等腰△ABC的两个内角相等，线段AC的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°． ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴∠A＝∠ACE＝36°， ∴∠B＝∠BEC＝72°， ∴BC＝CE． ∵BE＝a，AE＝b， ∴AB＝AC＝a+b，BC＝CE＝AE＝b， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝（a+b）+（a+b）+b＝2a+3b． 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的判定、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 10．（2023秋•鹿寨县期中）如图，已知∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE，且AB+AC＝BE，则∠B的大小是（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】延长BA到F，使AF＝AC，连接EF，证明△AFE≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质得出∠F＝∠ACE，由三角形外角的性质得出∠F＝∠B+18°，证出∠B+18°＝90°∠B，则可得出答案． 【解答】解：延长BA到F，使AF＝AC，连接EF，如图所示： ∵AB+AC＝BE， ∴AB+AF＝BE，即BF＝BE， ∴∠F＝∠BEF90°B， ∵∠BAD＝∠DAC＝9°，AD⊥AE， 即∠DAE＝90°， ∴∠FAE＝180°﹣（∠BAD+∠DAE）＝180°﹣（9°+90°）＝81°， ∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣9°＝81°， ∴∠FAE＝∠CAE， 在△AFE和△ACE中， ， ∴△AFE≌△ACE（SAS）， ∴∠F＝∠ACE， 又∵∠ACE为△ABC的外角， ∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝∠B+18°， ∴∠F＝∠B+18°， ∴∠B+18°＝90°∠B， 解得∠B＝48°． 故选：D． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，利用了转化及等量代换的思想，正确作出辅助线是解本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（2018秋•灌云县月考）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA′共线），下列结论中 ①．△AA′P是等腰三角形 ②．MN垂直平分AA′，CC′③．△ABC与△A′B′C′面积相等 ④．直线AB、A′B′的交点不一定在MN上，其中正确的结论有　①②③　．（填序号） 【分析】据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点， ∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，①、②、③正确； 直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．④错误； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 12．（2021秋•岷县期中）小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是　10：51　． 【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为10：51， 故答案为：10：51． 【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 13．（2016•东丽区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝5cm，DE＝3cm，则BC的长是　8　cm． 【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案． 【解答】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN＝CN， ∵∠DBC＝∠D＝60°， ∴△BDM为等边三角形， ∴BD＝DM＝BM＝5， ∵DE＝3， ∴EM＝2， ∵△BDM为等边三角形， ∴∠DMB＝60°， ∵AN⊥BC， ∴∠ENM＝90°， ∴∠NEM＝30°， ∴NM＝1， ∴BN＝4， ∴BC＝2BN＝8（cm）， 故答案为8． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键． 14．（2023秋•双辽市期中）在平面直角坐标系中，已知点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称，则（m+n）2023的值为 　﹣1　． 【思路引领】根据点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称可以得出m＝﹣4，n＝3，再代入进行计算即可得到答案． 【解答】解：∵点A（m，3）与点B（4，n）关于y轴对称， ∴m+4＝0，n＝3， ∴m＝﹣4， ∴（m+n）2023＝（﹣4+3）2023＝（﹣1）2023＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【总结提升】本题考查了关于y轴对称的点的特征、求代数式的值，熟练掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解此题的关键． 15．（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，D、E是边BC上的两点，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，则∠BAC的度数是　110°或70°　． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：如图1，∵DC＝DA，EA＝EB， ∴∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C， ∠EAB+∠B+∠DAC+∠C+∠DAE＝180°， 则2（∠B+∠C）＝140°， 解得，∠B+∠C＝70°， ∴∠BAC＝110°； 如图2，∵DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°， ∴∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C， ∠EAB+∠B+∠DAC+∠C﹣∠DAE＝180°， 则2（∠B+∠C）＝220°， 解得，∠B+∠C＝110°， ∴∠BAC＝70°， 故答案为：70°或110°． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 16．（2023春•长安区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BCD＝50°，点B关于CD对称的点是点E，则∠ACE+∠BAC的度数大小为 　60°　． 【思路引领】根据轴对称的性质可知∠BCD＝∠ECD，根据CD⊥AB，∠BCD＝50°，得∠DCA的度数，再根据∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA，∠BAC＝50°从而求得答案． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠BCD＝50°， ∵B关于CD对称点是E， ∴∠BCD＝∠ECD＝50°， ∴∠DCA＝90°﹣∠BCD＝90°﹣50°＝40°， ∠B＝90°﹣∠BCD＝40° ∴∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA＝50°﹣40°＝10°， ∠BAC＝90°﹣∠B＝50°， ∴∠ACE+∠BAC＝10°+50°＝60°． 故答案为：60°． 【总结提升】本题考查了轴对称的性质，直角三角形性质，数形结合是解题的关键． 17．（2022•汉阳区校级自主招生）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是 　5　． 【分析】由点A、B的坐标可得到AB＝2，然后分类讨论：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，确定C点的个数． 【解答】解： ∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）． ∴AB＝2， ①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4）， ∵点（0，4）与直线AB共线， ∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个； ②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； ③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； 综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个． 故答案为：5． 【点评】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上． 18．（2019•天桥区一模）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是　（0，3）　． 【分析】根据轴对称做最短路线得出AE＝B′E，进而得出B′O＝C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标． 【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE＝4， 则B′E＝4，即B′E＝AE， ∵C′O∥AE， ∴B′O＝C′O＝3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故答案为（0，3）． 【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键． 三．解答题（共7小题） 19．（2021秋•剑川县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90゜，∠A＝50゜，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD．求∠A′DB的度数． 【分析】根据折叠性质得出∠DCA＝∠BCD＝45°，∠CDA＝∠CDA′，求出∠CDA、∠CDA′，根据三角形外角性质求出∠BDC，即可求出答案． 【解答】解：∵将△ACD折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，∠ACB＝90°， ∴∠DCA＝∠BCD＝45°，∠CDA＝∠CDA′， ∴∠CDA＝180°﹣∠DCA﹣∠A＝180°﹣45°﹣50°＝85°， ∴∠CDA′＝85°， ∵∠BDC＝∠A+∠DCA＝50°+45°＝95°， ∴∠A′DB＝∠BDC﹣∠A′DC＝95°﹣85°＝10°． 【点评】本题考查了折叠性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，关键是求出∠BDC和∠A′DC的度数． 20．（2022秋•五莲县期末）如图，平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣2）． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2； （3）求出△BA2C2的面积； （4）如果AC上有一点P（m，n）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点P2的坐标 　（m﹣4，﹣n）　． 【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别向左平移4个单位，再首尾顺次连接即可； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可； （4）根据“关于x轴对称点的横坐标相等、纵坐标互为相反数”及“右加左减、上加下减”求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）如图所示，△A2B2C2即为所求． （3）△BA2C2的面积5×55×31×53×2＝12； （4）如果AC上有一点P（m，n）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点P2的坐标（m﹣4，﹣n）， 故答案为：（m﹣4，﹣n）． 【点评】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称特点． 21．（2020秋•江阴市期中）（1）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． （2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P即可； （2）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′D交直线l于点P即可． 【解答】解：（1）如图，点P即为所求； 沿AP﹣PB路线铺设管道，管道长度最短； （2）如图，点P即为所求； ． 【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图、轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 22．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E． （1）判断△DBC的形状并证明你的结论． （2）求证：BF＝AC． （3）试说明CEBF． 【分析】（1）根据已知条件得到∠BCD＝45°，求得BD＝CD，于是得到结论； （2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论； （3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）△DBC是等腰直角三角形， 理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB， ∴∠BCD＝45°， ∴BD＝CD， ∴△DBC是等腰直角三角形； （2）∵BE⊥AC， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°， ∵∠BFD＝∠CFE， ∴∠DBF＝∠ACD， 在△BDF与△CDA中， ， ∴△BDF≌△CDA（AAS）， ∴BF＝AC； （3）∵BE是AC的垂直平分线， ∴CEAC， ∴CEBF． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键． 23．（2023春•古田县期中）如图，已知△ABC，点P为BC上一点． （1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若OF＝OE请在（1）的基础上说明∠FAO＝∠EPO． 【思路引领】（1）连接AP，作线段AP的垂直平分线，交AC于E，交AB于F，连接EF即可； （2）由（1）中作图可知EF⊥AP，AO＝OP，再证明△AOF≌△POE，得到∠FAO＝∠EPO． 【解答】解：（1）如图，直线EF即为所作图形； （2）由（1）可知：EF垂直平分AP， ∴EF⊥AP，AO＝OP， 在△AOF和△POE中， ， ∴△AOF≌△POE（SAS）， ∴∠FAO＝∠EPO． 【总结提升】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据作图得到垂直平分线的性质，从而证明全等． 24．（2019秋•长清区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　25　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　小　（填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形． 【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况． （2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB＝DC＝2，即可求得答案． （3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB． 【解答】解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°； 从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小； 故答案为：25°；小． （2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°， ∴∠EDC＝∠DAB．， ∵∠B＝∠C， ∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE， （3）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， ①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°， ∵∠AED＞∠C， ∴此时不符合； ②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA（180°﹣40°）＝70°， ∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°； ∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°； ③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°， ∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°， ∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°； ∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题． 25．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，等腰△ABC中，CA＝CB＝4，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（不与A，B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA，CB翻折得到△CAP与△CBQ． （1）求证：CP＝CQ； （2）求∠PCQ的度数； （3）当点D是AB的中点时，判断△DPQ是何种三角形，并说明理由． 【分析】（1）由折叠的性质可得CP＝CD＝CQ； （2）由折叠的性质可得∠ACP＝∠ACD，∠BCQ＝∠BCD，由周角的性质可求解； （3）由折叠的性质可得AD＝AP，∠DAC＝∠PAC，可证△APD是等边三角形，可得PD＝AD，∠ADP＝60°，同理可得DQ＝BD，∠BDQ＝60°，由等腰三角形的性质可得AD＝BD，即可求解． 【解答】（1）证明：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴CP＝CD＝CQ； （2）解：∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴∠ACP＝∠ACD，∠BCQ＝∠BCD， ∴∠ACP+∠BCQ＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝120°， ∴∠PCQ＝360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）＝360°﹣（120°+120°）＝120°， （3）解：△DPQ是等边三角形，理由如下： ∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ， ∴AD＝AP，∠DAC＝∠PAC， ∵∠DAC＝30°， ∴∠PAD＝60°， ∴△APD是等边三角形， ∴PD＝AD，∠ADP＝60°， 同理：△BDQ是等边三角形， ∴DQ＝BD，∠BDQ＝60°， ∴∠PDQ＝60°， ∵当点D在AB的中点， ∴AD＝BD， ∴PD＝DQ， ∴△DPQ是等边三角形． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 26．（2018秋•香坊区期末）在平面直角坐标系中，点B为第一象限内一点，点A为x轴正半轴上一点，分别连接OB，AB，△AOB为等边三角形，点B的横坐标为4． （1）如图1，求线段OA的长； （2）如图2，点M在线段OA上（点M不与点O、点A重合），点N在线段BA的延长线上，连接MB，MN，BM＝MN，设OM的长为t，BN的长为d，求d与t的关系式（不要求写出t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，点D为第四象限内一点，分别连接OD，MD，ND，△MND为等边三角形，线段MA的垂直平分线交OD的延长线于点E，交MA于点H，连接AE，交ND于点F，连接MF，若MF＝AMAN，求点E的横坐标． 【分析】（1）过点B作BH⊥OA于点H，根据等边三角形的性质解答即可； （2）过点M作MP⊥AB于点P，根据等边三角形的性质解答即可； （3）过点N作NK∥OB，交x轴于点K，过点N作NR⊥x轴于点R，通过等边三角形的性质和全等三角形的性质得到AN＝8+t﹣8＝t，OM＝t，AH＝MHAM（8﹣t）＝4t， OH＝OM+MH＝t+4t＝4t，通过证明AM＝AN，可得关于t的方程，求出t，即可得点E的横坐标． 【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥OA于点H， ∵△AOB为等边三角形， ∴BO＝BA， ∵BH⊥OA， ∴OH＝AH， ∵点B横坐标为4， ∴OH＝4， ∴OA＝2HO＝8； （2）如图，过点M作MP⊥AB于点P， ∴∠MPA＝90°， ∵BM＝MN， ∴BP＝PN， ∵△AOB为等边三角形， ∴BA＝AO＝8，∠BAO＝60°， ∴∠AMP＝30°， ∴APAM， ∵AM＝8﹣t， ∴AP（8﹣t）＝4t， ∴BP＝AB﹣AP＝4t， ∴BN＝2BP＝8+t， ∴d＝8+t （3）过点N作NK∥OB，交x轴于点K，过点N作NR⊥x轴于点R， ∵△AOB为等边三角形， ∴∠BOA＝60°＝∠OAB， ∵NK∥OB， ∴∠NKA＝∠BOA＝60°，且∠OAB＝∠NAK＝60°， ∴∠NAK＝∠NKA＝60°， ∴△AKN是等边三角形 ∴AN＝NK＝AK， ∵△MND为等边三角形， ∴∠NMD＝∠MND＝60°，MN＝MD， ∴∠OMD+∠NMK＝∠NMK+∠MNK＝180°﹣60°＝120°， ∴∠OMD＝∠MNK， ∵AN＝8+t﹣8＝t，OM＝t， ∴OM＝AN＝NK＝AK＝t，且∠OMD＝∠MNK，MD＝MN， ∴△OMD≌△KNM （SAS）， ∴OD＝MK，∠MOD＝∠MKN＝60°， ∵MK＝8﹣t+t＝8， ∴OD＝8， ∵EH垂直平分MA， ∴AH＝MHAM（8﹣t）＝4t， ∴OH＝OM+MH＝t+4t＝4t， ∵∠OEH＝90°﹣60°＝30°， ∴OE＝2HO＝8+t， ∴DE＝8+t﹣8＝t， ∴DE＝AN， ∵∠DOA＝∠BAO， ∴BN∥OE， ∴∠NAF＝∠DEF， 又∵∠AFN＝∠EFD，AN＝DE， ∴△AFN≌△EFD（AAS）， ∴FN＝FD， 又∵MN＝MD， ∴MF⊥DN， ∵NR⊥AK， ∴∠ARN＝90°，且∠NAK＝60°， ∴∠ANR＝30°， ∴AR， ∵MR＝AM+AR＝AM，MF＝AM， ∴MR＝MF，且 MF⊥DN，NR⊥AK， ∴∠MNR＝∠MND＝60°， ∴∠NMA＝90°﹣60°＝30°， ∵∠BAO＝∠AMN+∠ANM， ∴∠AMN＝∠ANM＝30°， ∴AM＝AN， ∴8﹣t＝t， ∴t＝4， ∴OH＝44＝6， ∴点E的横坐标为6． 【点评】本题是三角形综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$