精品解析：北师大版2024-2025学年八年级数学上册 第一次月考测试卷

第一次月考测试卷 （满分120分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 在中，，，，则该三角形为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 2. 下列各数﹣，0，π， ，， 中是无理数有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 的平方根是( ) A. B. C. D. 4. 在下列四组数中，不是勾股数的是（ ）. A. 724,25 B. 3,5,7 C. 8,15, 17 D. 9,40,41 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用(　　) A. L1 B. L2 C. L3 D. L4 8. 在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A. 84 B. 24 C. 24或84 D. 42或84 9. 实数在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为（） A. B. C. D. 10. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的x=64时，输出的y等于（　　） A. 2 B. 8 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11. 若 是m的一个平方根，则m+13的平方根是______． 12. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为___________． 13. 已知：若≈1．910，≈6．042，则≈_______，±≈____． 14. 已知a、b为两个连续的整数，且，则________． 15. 如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________. 16. 如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是___________． 17. 若5+的小数部分是，5-的小数部分是b，则+5b=______． 18. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 三、解答题（本大题共6小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）在边长为1的正方形网格中，以AB为边作一个正方形． （2）以点O为顶点作一个面积为10正方形． 20. 化简： （1） （2） 21. 先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：. 例如化简：. 解：首先把化， 这里，， 由于，， 所以， 所以. 根据上述方法化简：. 22. 清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，对“三边长为3，4，5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数(面积)，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现代的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步：＝；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘以，得三边长”． (1)当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程． 23. 阅读下面的解题过程∶化简∶ ． 请回答下列问题． （1）按上述方法化简； （2）请认真分析化简过程，然后找出规律，写成一般形式． 24. 如图（1），是两个全等直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）． （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2＋b2＝c2； （2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a＝2，b=4时，求这个四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次月考测试卷 （满分120分，时间90分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 在中，，，，则该三角形（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的运用，根据勾股定理逆定理即可判断该三角形形状． 【详解】解：，，， ，，， 有， 该三角形为直角三角形． 故选：B． 2. 下列各数﹣，0，π， ，， 中是无理数的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】因为是开方开不尽的根式， 是无限不循环小数， 所以和 是无理数，共两个， 故选B. 【点睛】本题考查了对无理数的定义的应用，注意：无理数包括：①开方开不尽的根式，②含π的，③无理数是指无限不循环小数．熟练掌握无理数的定义是解题关键. 3. 的平方根是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的定义，即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方公式的定义是解题的关键． 4. 在下列四组数中，不是勾股数是（ ）. A. 7,24,25 B. 3,5,7 C. 8,15, 17 D. 9,40,41 【答案】B 【解析】 【分析】求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数的平方即可． 【详解】解：A、72+242=252，是勾股数的一组； B、32+52≠72，不是勾股数的一组； C、82+152=172，是勾股数的一组； D、92+402=412，是勾股数的一组． 故选B 【点睛】考查了勾股数，理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：本题主要考查的就是二次根式的计算.B和D中的两个二次根式不是同类二次根式，则无法进行加减法计算；C选项中的二次根式为最简二次根式，无法进行化简. 6. 如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据勾股定理可得：正方形对角线的长度为，则点A所表示的数为.故选B. 7. 如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用(　　) A. L1 B. L2 C. L3 D. L4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=5米，∠CAD=60°， ∴∠ACD=30°， ∴AD=AC， 设AC=，则AD=，由勾股定理可得：，解得， ∵， ∴AC=（米）， ∵考虑既要符合设计要求，又要节省材料， ∴选L2，故选B. 8. 在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A. 84 B. 24 C. 24或84 D. 42或84 【答案】C 【解析】 【分析】由于高的位置不确定，所以应分情况讨论. 【详解】（1）△ABC为锐角三角形，高AD在三角形ABC的内部， ∴BD==9，CD==5， ∴△ABC的面积为=84， （2）△ABC为钝角三角形，高AD在三角形ABC的外部， ∴BD==9，CD==5， ∴△ABC的面积为=24， 故选C. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论. 9. 实数在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数轴得出b<0＜a，原式化简为|a+b|+a，去掉绝对值符号得出-a-b+a，合并同类项即可． 【详解】∵由数轴可知：b<0＜a， ∴=|a+b|+a=−a−b+a=−b. 故选B. 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于结合数轴进行解答. 10. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的x=64时，输出的y等于（　　） A. 2 B. 8 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据图中的步骤，把64输入，可得其算术平方根为8，8再输入得其算术平方根是，是无理数则输出． 【详解】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是． 故选D. 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，看懂图表的原理，正确利用平方根的定义是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 11. 若 是m的一个平方根，则m+13的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可. 【详解】∵ 是m的一个平方根， ∴m=（- ）2=3， ∴m+13=16， ∴m+13的平方根是：， 故答案为 【点睛】本题考查平方根的定义， 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，而算术平方根只有一个.熟练掌握平方根的定义是解题关键. 12. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为___________． 【答案】6，8，10 【解析】 【分析】根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是，根据勾股定理即可解答． 【详解】解：设中间的偶数是x，则另外两个是，根据勾股定理，得 ， 解得或0（0不符合题意，应舍去）， 所以它的三边是6，8，10． 故答案为：6，8，10 【点睛】本题考查的是连续偶数的特征和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键 13. 已知：若≈1．910，≈6．042，则≈_______，±≈____． 【答案】 ①. 604.2 ②. ±0.0191 【解析】 【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案． 【详解】解：若≈1.910，≈6.042， 则≈604.2，±≈±0.0191． 故答案为604.2，±0.0191． 【点睛】本题考查了算术平方根，利用被开方数与算术平方根的关系是解题关键． 14. 已知a、b为两个连续的整数，且，则________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握无理数是解题的关键． 根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵a、b为两个连续的整数，且， ∴， ∴． 故答案为：11． 15. 如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________. 【答案】16 【解析】 【详解】设这个三角形三个内角的度数分别为：，根据三角形内角和定理可得：，解得，∴这个三角形三个内角分别为：30°、60°、90°， 又∵这个三角形的最短边是8， ∴根据在直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半可知：其最长边斜边长为：16. 16. 如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的概念，图形的剪拼，剪拼图形是解题的关键．将图形剪拼成正方形，根据正方形的面积求出其边长即可． 【详解】解：分割图形如下： 这个正方形的面积为5， 故这个正方形的边长是． 故答案为：． 17. 若5+的小数部分是，5-的小数部分是b，则+5b=______． 【答案】2 【解析】 【分析】由可得，，进行可得a，b的值，从而可得结论． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，； 将、的值，代入可得． 故答案为2． 18. 如图是我国古代著名“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________． 【答案】76 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 三、解答题（本大题共6小题，满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）在边长为1的正方形网格中，以AB为边作一个正方形． （2）以点O为顶点作一个面积为10的正方形． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接利用网格结合勾股定理得出正方形边长进而得出答案； （2）直接利用网格结合勾股定理得出正方形边长进而得出答案． 试题解析： (1)如图所示： 四边形ABCD即为所求； (2)如图所示：四边形EGCF即为所求． 20. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算规则是关键． （1）先进行乘法计算去掉分母，再逐项计算即可； （2）先分项相除和利用平方差公式进行化简，再逐项计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 21. 先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如的化简，我们只要找到两个数a，b，使，，即，，那么便有：. 例如化简：. 解：首先把化为， 这里，， 由于，， 所以， 所以. 根据上述方法化简：. 【答案】见解析 【解析】 【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法． 【详解】根据题意，可知，， 由于，， 所以，， 所以. 【点睛】此题考查二次根式性质与化简，解题关键在于求得，. 22. 清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，对“三边长为3，4，5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数(面积)，以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现代的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步：＝；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘以，得三边长”． (1)当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程． 【答案】（1）15,20,25；（2）详见解析. 【解析】 【详解】试题分析: 先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题． 试题解析: (1)当s＝150时，m＝＝25，k＝＝5． ∴3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25， ∴直角三角形的三边长分别为15，20，25． (2)正确，设直角三角形的三边长分别为3k，4k，5k， ∴s＝×3k×4k＝6k²， ∴k＝， ∴三边长分别为3，4，5. 点睛: 此题信息量较大，解答此类题目的关键是要找出所给条件，然后解答． 23. 阅读下面的解题过程∶化简∶ ． 请回答下列问题． （1）按上述方法化简； （2）请认真分析化简过程，然后找出规律，写成一般形式． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． （1）参照例子进行化简； （2）根据上面的解题思路分析可得出这个式子的值． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ； ∴． 24. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）． （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2＋b2＝c2； （2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a＝2，b=4时，求这个四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）观察图形可知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即可证明勾股定理；（2）已知a与b的值，根据勾股定理求出c的值，把最短的直角边重合在一起，拼成一个平行四边形，如图1所示，这个平行四边形的周长最大，求出最大周长即可． 试题解析： （1）由图可得：， 整理得：，整理得：a2+b2=c2； （2）当a=2，b=4时，根据勾股定理得： ；如图1： 则四边形的最大周长为． 点睛：本题考查了勾股定理的证明，用数形结合来证明勾股定理，这是典型的数形结合思想方法得运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$