6.2 向量基本定理与向量的坐标-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）辽宁专用

、第六章 平面向量初步 6.2向量基本定理与向量的坐标 ·6.2.1向量基本定理■ 入素养目标 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理，培养学生数学抽 象的核心素养 2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用，提高学生逻辑推理和数学运算的核心素养。 核心素养达标夯实基础 一、选择题 1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中 A安名 B的+号 心，则可作为基底的一对向量是( cg+台 n智台 4.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上 靠近点C的三等分点，点F在BE上，若 A.OA.BC 正=AB+Ai.则x=( B.OA.CD C.AB.CF D.AB.DE 2.在△ABC中，M是AB边所在直线上任意 一点，若CM=-2CA+CB,则入等于 5.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中 ( ) 点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则 A.1 B.2 C.3 D.4 BE=( 3.如图，D是AB上靠近B的四等分点，E是 AC上靠近A的四等分点，F是DE的中 点，设AB-a,AC=b,则AF-() A号i+后C BB所+号BC C所+C DB所+名BC 96 ·数学· 课时夯基过关练？ 6.在△ABC中，D,E分别为边AB,AC上的 三、解答题 动点，若AD=2DB,AE=3EC,CD与BE 10.设M,N,P是△ABC三边上的点，它们使 交于点F,AF=mAB+nAC,则m+n= M-=,C=号Ci,A=A店，若 () AB=c,AC=b,试用c,b作基底，将MN, A吉 NP,PM表示出来. c n 7.(多选)如图所示，四边形ABCD为等腰梯 形.CDAB,CD=2AB,E,F分别为DC, AE的中点，若AD=λAB+uBF(入，u∈ R),则( A.1=7 B.u=2 CA-1 D.a=1 二、填空题 8.已知e1,e2不共线，a=e1十2e2,b=2e1十 λe2,要使a,b能作为表示平面内所有向量 的一组基底，则实数入的取值范围 是 9.如图，在△ABC中，D为AB上一点，若AD -2D.C币-号+C.则A= ·数学·97 、第六章 平面向量初步 核心素养培优拓展提升 1.平面内有三个向量OA.O形， 点为M,若CM=C乎，则1等于 元，其中OA与O店的夹角 5.在平面上给定一个△ABC,试推断平面上是 4 为120°，0A与OC的夹角为30°，且OA 否存在这样的点P,使线段AP的中点为 2.01=,0C1=25,若0元=A0十 M,BM的中点为N,CN的中点为P?若存 在，这样的点P有几个？若不存在，说明 OB(a,∈R),则() 理由 A.入=4,4=2 B.入=2，= 3 2 CA2y 3 4 D.A=2=3 2.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点， 则下列说法正确的有( A.若AM=2AB-AC,则点M在直线 6.如图所示，G是△OAB的重 BC上 心，P,Q分别是边OA,OB上 R若Ai=号A店+号AC.则点M是三角 的动点，且P,G,Q三点 共线 形的重心 (1)设PG=PQ,将OG用A,OP,OQ C.若AM=入 + (入∈R),则点 表示； M在边BC的中线上 2)设0=x0,00=0成，证明：+日 D.若Ai=xA店+AC,且x+y=2则 是定值。 △MBC的面积是△ABC面积的号 3.如图，在△ABC中，已知AB =2,BC=3,∠ABC=60°，AH ⊥BC于H,M为AH的中 点，若AM=AB+BC,则入+μ= 4在△AC中，点P是AB上-点，且G币-号 C+C,Q是BC的中点，AQ与CP的交 98·数学 课时夯基过关练？ ·6.2.2直线上向量的坐标及其运算… ·6.2.3平面向量的坐标及其运算 素养目标 1.理解直线上向量的坐标的概念，会写出向量的一维坐标和二维坐标，培养学生数学抽象的核 心素养 2.掌握平面向量的坐标运算，能准确应用向量的加法、减法、数乘的坐标进行有关运算，提高学 生逻辑推理和数学运算的核心素养。 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线，培养学 生的直观想象和数据分析的核心素养」 核心素养达标夯实基础 一、选择题 B一13 1.已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4, A日 一3)，则向量BC等于( C- A(-7,-4) B.(7,4) 5.若平行四边形的3个顶点分别是(4,2)，(5， C.(-1,4) D.(1,4) 7),(一3,4)，则第四个顶点的坐标不可能是 2.已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段 () MN上的点，且PN=一2PM,则点P的坐 A.(12,5) B.(-2,9) 标为( ) C.(3,7) D.(-4,-1) A.(2,4) B.(-14,16) 6.已知OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(6 C.(6,1) D.(2,-11) 十1，k一2)，若A,B,C三点不能构成三角 3.在正方形ABCD中，M是BC的中点.若 形，则实数k应满足的条件是( AC=λAM+BD,则入十4的值为( ) A.k=-2 B长=司 A清 c号 D.2 C.k=1 D.k=-1 二、填空题 4.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如 7.已知i,j是分别与x轴，y轴同方向的单位 图所示，若c=Aa十b(入，4∈R),则入十u= 向量，若0A=(x2+x+1)i-(x2-x+1) ( j(x∈R),则点A位于第 象限 8.已知平面向量a=(3,一2)，b=(一4，λ)，若 a∥(a十2b),则实数A的值为 9.已知a+b=(2,一8)，a-b=(一8,16)，则 a= b= ·数学· 99 、第六章平面向量初步 10.在△ABC中，点P在BC上，且BP=2 12.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b). PC,点Q是AC的中点，若PA=(4,3), (1)若A,B,C三点共线，求a,b的关 PQ=(1,5),则BC= 系式； 三、解答题 (2)若AC=2AB,求点C的坐标. 11.如图，平行四边形OABC的一边OA在x 轴上，点A(4,0),C(1,2),P是CB上一 点，且CP=CB )当入=2时，求点P的坐标： (2)连接AP,当入为何值时，OP⊥AP. 100 ·数学 课时夯基过关练了 核心素养培优拓展提升 L.如图，A,B,D,E,F为各正方形的顶点.若向 (3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c 量BD=xAE+AF,则x十y等于( A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0),B (0,1),C为坐标平面内第一象限内的点，且 ∠A0C-开，10C1=2,若0C=A0i+” OB,则入十等于() A.22 B.2 C.2 D.42 3.在平面直角坐标系Oy中，四边形ABCD的 6.已知向量a=(1,2),b=(-2,1),x=a+ 边ABDC,ADBC.已知点A(-2,0),B(6, 8),C(8,6),则点D的坐标为 (+1)by=一0+b,向是否存在正实 4.设0A=(1,-2),OB=(a,-1),0C=(-b 数k,t,使x∥y,若存在，求出k的取值范 0),a>0,b>0,O为坐标原点，若A,B,C 围：若不存在，请说明理由。 三点共线，则+名的最小值是 5.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y一x) 的对应关系可用v=f(u)表示 (1)证明：对于任意向量a,b及常数m,n,恒 有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立： (2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及 f(b)的坐标： …数学· 101-成+面+试 2 民2kE:且A中}解所：垂口b,则1=4，地a:b秀停 晚衣-成，射-正+2记，直2+y-1,牌 师以然◆平面肉量玉未定厘， 为《风的条件为A一， N,H,C5点秀我 -和数 号断颜可忒+花-忒+号司 又附治丙一i,时县M为AN的中点，知赠阶在， 来 解之一8一 -+d--+ 就选心 人起相：四为D见B上素建H物W等拿点，E是C a-是 集证眼：成一用，匠一影，则购白登流表的二角型法 上本连A的管多令A,下是泥的中九， 1a.解：校-(- 则可和 面---减--名 A正-市+花是×破+士×花 正-南 7法N在D玉，1N-0, -+，选心 一青文证-商 故域AI 4与心解折：由题正-子砧+市 花硒 &于颜折（器为AB-2,∠图-.AHLK 成-而-成+币1-a: 用在H=1,天1为AH的中A,拟=3 法F在E上正+-1正 :成-成-成-+-b 京-（停河+（货 和 所4商-迹+丽-号话+号到 京付和小 号 市市-函青动青-4 +底.年a1+n- Pi-丽-+P 本二解桶路为A,Q三克表线 种4C前-方+或a+》-, 又下与的必共为( 线A解新：再为AD是我且m的中生，成县A心的 C,M,N表共找， 数妈4的三等分点 -+号 所a市i-西试-或+可 5,0解：如国周示，4是D到G:德 牌试成励+成成+武 【核心囊养培优·拓展提升】 而-号访t址高.(G 天器为市-着试+市 1解析：如国所杀，其点入 试+-而 尊(D(角，变直域4十 易如国过形A汇是平管时建醇 府t。一号g D. 则后-+-4十b. 风瓜-武+ 国为成与府的表角为，丽与元的先鼻专斯 a动-号正+ a广号亭- 其感人 正-等而-+ 6D朝折1在△A改中D-2附.新市-号落，正 灰心mt:元-正mr-5x号-a 臀 8解：机我存在开分年速的，远，如 西有F是心的中是两以市-亡- 流 周所币， ,M是AP的中A 两a成-正-破-e+-- 作a冠-+-晋邓+死-号流 由式+-市+流 可样01-4，其-n, 冠 -冠-丽- 为-4X.重8-n× :N是f岭中A 壁明：由可如 解得 丽不+号+丽 威-0，成-， 新得12，重-青就选心 2D解桥：对达明A丽-丽-记，所以丽-店 随 除a成成。 -i-.科丽-i 义平是N的中点 聊正，是务我向童，直有诊兴玉， 师江i.又闻为B为会兴离，所日B.M二真先 :+矿-种+商+ 晚以且，E,正5在清我. 底，玉N点是我C上，故A正 6,2向量基本定理与向量的坐标 球越消设D为度的中高，年a丽-安+宁灵 解件亦兰疝+正 62.1内量基本定理 山平看今要暴本瓷理知，产是唯一厚在的，所过将合原 五买解轿：国专(DAN,CD一A-之，片#石-正 +正元， 件物克P有且男有一个 【核心素养达标·夯实基础】 用这是M瓷△AC的重分，址书正确 解位本+元亦+克帝+页-动 1.l +-上 门一A炉+减通 2C解斯：图为△改C中，M灵AB边所是直我上任套 一点所国存在案泉，使得A-n亦. 回海F4E龄中，斯正-2了-2A5+可-： ac-需恶如后，在 (2证两为(1)同 ∠C情平令直上， 小-十成--4贰+有， 即--n(i-. 材+武，臀成市材+成12市+ 对不一宽在风C岭中线上，共C替接， 国海G灵△LUn的重安， 境祥商式。 证，州a号p-2 选用D因为成店+花显：十y 州4面网-×吉减+流-试+流 圈海前-一+本。 可w,A,D播灵，及.C在确.镜通C 牌42可e正+2，且+2y1: 169 170 阶过点D角一4，-13发125发（一2,9） 【核心素养输优·拓厦提升】 1+10. D 兰第口卡A生标不可免为(3，力，道选 1B解析：这非为从，小玉方形 氢C所：老AA,B,亡不效构点三角和.向量A活有 y-。+--1+-31 的两边阶在直我年列为F轴，J 正满成 陆，电之金标果七到， 片4上，-1一1)+B-X定， 丽为店君-成2。-)-1，-对1,2， 得◆区布相的边共身1 配银养及且需自，使x:园 则A1,2),B(0,0)-D(8.31.E 6.22 直线上向量的坐标及运算 花元-武-W+1一-，-=+D 42,2),F(1.1 62,3平而向置的坐标及其运骑 降41Xk十1)一经0. 解号=上战通C 县市-(2n-1 充得得，1-，4++b-0 【接心素养达标·奔买基硅】 工图解析：有如AA的免静为十十1，广十=， A正-0，-1 ++1-(+》+2-+- 圆海屁正+正 国为女，是是其机，经洋X上人的4以不存在 1,A 降以不寿在这样的王务教无，，能x, 3A解折：tP,y1,制网-0-：-2y,丽- -2-,7-y3,wrV--2丽 )-m a 解得P=2, y=一 6.3平而向量线性运算的应用 由此可得本y=一1，黄减其 【核心素养达标+夯实基础】 5 品在A位十器臂象鼠 y-t 1N斯所1西务花-2∠x于，成C及，， 1,解所：设手府A护练帅到AA.副可-+贰 片记AP的定标为(2，，批选入 其%为一减+君， 0m=20,=15), 3B解桥：在系方形AD中，游克A为意在，直线 降a,2w-1100十0,40uAp ,5=433,-15)+4-10.109=416,-5 AD分制为x:y帖建立平西直商坐神暴：如面： (aa十的1，常这1到-2十)一（一2）×（一）=0，解 一 0以1-e一2h+u-2正， 幅桥，函（市+，流+，■ 人0，一)解：法一由题营如.边形AD是平行 +号流-副 些答紫冷是 回边形， 晚过丽-，混Brw, 一吉市高乱-片×9-清×- 美-3,06，-期辆：联3加十（公，一0。 AN⊥NN,△N是直商工形.此选C, e泰=(.160， 所4=0.y==2.岸， 3C解斯：成表C堂静为6，y, kD+@得2mw2,-8+《-一8,11w(-4,83, 业二内夏拿.博遂那A玫D为平行时连U 别A=(一表，3，=43y十4 今14倍1，nBt2,0,C22,D(02,bM2.1. =-4 所访-成.摩证成-元， 42.2,0前2,10，币=(-2.29. 种a0-十-0话=一2.1+1%，6)-46， =(2+8,8=4=5.-2. i+i-(以-2wd+.由-+i, sm一8,41,4=(5，-2). 16.-21. 4引解相：如国，D为队球的中孟 聊D表的堂标方(0，一 1一n)解析：Q是C的中杰 :网成+元 4游解析：样色如而硬 时以2+伊的值为一.致选卫 t-a-10---12, 风-元--21-433-4一-271 4-19一4-6-1》-L4a十0=1： 4解相：如周建生平雨直周是标最，写◆h3,11:a 迹风，-，市-风-3-， 4-2.110=-1.0)+ 时币-+ 1L解：tAPy2,C41,9-4140- 又平行日边利nx,方-4：0)， 器冷1成-店-花-4 A-- 电币-k活，即一1，y-2-A(41: 复位s告一会一“宁利张 臀是应。话+花市， ÷=1fy= 年丝-号而 1海4-时，-3-，严3 系1登明：成向量0-》p--5: 2求-1+a,2,市-(k-,2. y世1+r:,U1十的》=(y的十U,2ny1+2y 使法且 电pA',币.A产 聊一11f0-3+4=6,1a-a+1=0, LU《a1两(my,2罗，一w,f(bm《,2y 5A解析：这g=F:y1,也厘且中峰其法到得。 2g-一yy+2女r1=(-t- 4-1-1- 的aw/e十f-ay十2g十2一 2解：13雪乙和得店-名，一纱. y=1, 年L/其e+b》=刚F(e1+w/表)之 镜g=(-,1之 正aa-1w-1, 23解：/{a)=日，I-/0)6,-. 长D解桥：成+币+元-成， 闭为A.B,C三五4线： 5正解所：民第目个暖坐标冷(w,3,起A4,2). 可成+-丽而-，即2市 牌以1西所状26-1)十2a一1)=0，年a+h-2 指：设白量e=6,测 2=: 5,7tC1-3.4 AC,P三点料线，年AP在AC是上 2)图4A正石i, 属为成A,非：：D为嘴九的得境多角平什国连非. 解将一件红e-1,3 3,5解折：：1，十/，不十不=(-3,0 筛以04一1w一1=22一2 所A5=友丽-乃美-D话，正-动 长解：不存在.理内咖下 1,+1-+-元 所以(1,5》=43=w,4=4》我(，1=(8十1，年=4》浅 片a.年公 w有0m(1,2,b■(-2.1： 系3丽m,解所：线◆相的持木境成青？m 1-7,23=5-n,7m》,友一7,2到%(m-0,m一70， 陆这点C的定林有(5，一8 将以x■十0+1h41)++1一2,1)■《-台- 线理海1？=√C+10■2g. 171 172