4.1 指数与指数函数-【志鸿优化训练】2024-2025学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）辽宁专用

第四章指数函数、对数函数与幂函数 课时夯基过关练 4.1指数与指数函数 ▣4.1.1实数指数幂及其运算 素养目标 1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化，培养学生数学抽象的核心素养 2.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值，使学生熟练掌握指数幂运算， 提高学生逻辑推理和数学运算的核心素养。 核心素养达标夯实基础 一、选择题 B.必要不充分条件 1.(多选)下列说法中，错误的有() C.充分必要条件 A.根式都可以用分数指数幂来表示 D.既不充分也不必要条件 B.分数指数幂不表示相同式子的乘积，而是 =m,则+少的结果是( ) 根式的一种新的写法 5若-1 y C.无理数指数幂有的不是实数 Am2+2 B.m2-2 D.有理数指数幂的运算性质不适用于无理 C.m+2 D.√m-2 数指数幂 6.已知10=2,10°=4，则10宁的值为() 2.下列各式中，成立的是( ) A.2 B.2 C.10 D.2√2 A =n'm 7.化简一a·a的结果为() B.9(-3)=9-3 A.-/a B.-a C.a D./a C.y=(x+y) 8.《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表 D.√丽=3 达数学运算法则，如用天”=天天一天， 天一 天 3.若(x一2)有意义，则实数x的取值范围 是( 来表示-之 =x”.用“（甲上乙）= A.[2,+∞) B.(-0∞，2] 甲三上三甲=乙三甲乙1乙”来表示“(x C.(2,+o∞) D.(-∞，2) +y)3=x3+3.x2y+3xy2+y3”.那么下列 表述正确的序号是() 4.若a,b∈R,则“a>b”是“(a十1)>(b+ 1)”的( 天 天 A.充分不必要条件 x” ·数学 、第四章指数函数、对数函数与幂函数 ②天-天天-天表示 天七 (2)已知a-a音=2(a>0,且a≠1)，求 天七 x”x3 a"tai c7=x” a+a的值 ③“（甲上乙）=甲=1二甲乙1乙”表示 “(x十y)2=x2+2xy+y2” A.①②③ B.②③ C.①③ D.①② 2 二、填空题 12.已知函数f(x)= 2+221 9.化简/11+62+/11-62= )求f得)+f(号》f3)+f(-2)的值： 10.比较大小：⑧一6 7-5.(填： (2)求f(x)+f(1-x)的值. >,<,=) 三、解答题 11.对下列式子化简求值 a求值：号×2×海-4×（别 2022: 核心素养培优拓展提升 1.若x3十x2+x=一1，则x路+x7+…+ 5.阅读材料，解决问题： x-2+x1+1+x+x2十…+x7+x2w的 化简：x2-6.x+9+√x2+4.x+4.由于题 值是() 目没有给出x的取值范围，所以要分类讨 A.2 B.0 C.-1 D.1 论，√元2-6.x+9+wx2+4.x+4= 2.若函数f(x)= m.x2+m.x+1 的值域为R, √(x-3)2+√/(x+2)2=x-3+|x+2. 则m的取值范围是( 令x-3=0,x=3,令x+2=0,得x=-2; A.[0,4] .√(x一3)2的零点值为3，W(x+2)2的零 B.(-o∞，0) 点值为一2，在数轴上标出3和一2的点，数 C.(-o,0] 轴被分成三段，即x<-2,一2≤x<3,x≥ D.(-∞，0]U[4,+o∞) 3:当x<-2时，原式=一2x十1：当-2≤ 3(25+1)(,1 1 <3时，原式=5：当x≥3时，原式=2x一1. 1+22+33+4 十… (1)求(x+1)2和/(x一2)2的零点值： )= (2)化简：Wx2+2x+1+x2-4x+4, √80+√81 (3)求方程：x十2十x一4=6的整数解. 4.已知x+y=6,xy=4,且x>y,则 反-区 +y 2 ·数学· 课时夯基过关练 ■·4.1.2指数函数的性质与图像■ 素养相标 1.理解指数函数的定义，掌握根指数函数的图像与性质，培养学生数学抽象和直观想象的核心 素养 2.运用指数函数图像和性质进行推理判断，可以提高学生逻辑推理和数学运算的核心素养， 核心素养达标夯实基础 一、选择题 5函数y-》 的单调递增区间是( 1.若函数y=(m2一m一1)·m是指数函数， 则m=() A-1,》 A.-1或2 B.-1 n c分+) D.(.2) C.2 2.已知对于任意实数a(a>0,且a≠1)，函数 6.若函数f(x)= 2一1是奇函数，则使 2+1+a f(x)=7十a一1的图像恒过点P,则点P f)>成立的x的取值范围为 的坐标是( A.(-∞，-5) B.(-5,0) A.(1,8) B.(1,7) C.(0,5) D.(5,+∞) C.(0,8) D.(8,0) 二、填空题 3.如图所示，函数y=2一2的图像是() 7.函数f(x)=4一2+1一1的值域是 2,x1, 8.已知函数f(x)= 则不等式 x2,x>1, f(x)≤1的解集为 √x,x>0, 9.设函数f(x)= 若函数y= 4,x≤0. f(x)一k存在两个零点，则实数及的取值 4.若a=55,b=53,c=0.82,则( 范围是 A.b>c>a B.b>a>c 10.若函数f(x)=√2u一1的定义域为 C.c>a>b D.a>b>c R,则实数a的取值范围是 ·数学 3 、第四章指数函数、对数函数与幂函数 三、解答题 12.已知函数f(x)=a十b(a>0,且a≠1). 11.已知函数f(x)=a-1(x≥0)的图像经过 (1)若函数f(x)的图像过点(0,2)，求b 点2，)，其中a>0,且a≠1. 的值： (2)若函数f(x)在区间[2,3]上的最大值 (1)求a的值： (2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域. 比最小值大？，求a的值 核心素养培优拓展提升 1.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 4.已知a= f(x)+g(x)-e-e （“b=c=3,则a,bc -+2x2一3，则不等 三者的大小关系 式f(3-2.x)>f(x+2)的解集是() A(-,》 8已知丽数f)=2二是定文在R 上的奇函数 a合+ (1)求实数a的值： (2)判断函数y=∫(x)的单调性并简要说明 c(-o,U5,+∞) 理由： (3)求函数f(x)的值域. D(.5) 2.已知函数fx)=a-2x+3a≥0 a,x<0 足 对任意x1≠x2,都有(x1一x2)[f(x1) f(.x2)门<0成立，则a的取值范围是( a县到 C.(0,1) D.(2,+∞) 3.函数y=a1十1(a>0且a≠1)图像过定 点A(xo,ya),且 工=x'满足方程mx十 y=yo =3m>1.a>0).则十号最小值 为 4 ·数学· 课时夯基过关练 ■·习题课指教与指数函数■· 素养相标 1.理解并掌握指数与指数函数的定义、图像及性质，培养学生数学抽象和直观想象的核心 素养 2.能对指数与指数函数图像和性质进行简单应用，提高学生逻辑推理和数学运算的核心素养， 核心素养达标夯实基础 一、选择题 6设=4=8=(》则( 1a·2,x≥0 1.已知函数f(x)= (a∈R),若 2T,x<0 A.ys>y1>y2 B.y2>y1>y3 D.yi>y:>y2 f(f(-1)=1,则a=() C.y1>y2>y8 二、填空题 A R司 C.1 D.2 -7,x<0, 7.设函数f(x) 若f(a)< 2.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度为x2- x,x≥0， x1.已知函数y=2r的定义域为[a,b],值 1,则实数a的取值范围是 域为[1,2]，则区间[a,b们的长度的最大值与 a-8b 最小值的差为( A号 B.1 c D.2 x+1,0≤x<1. 9.已知函数f(x) 设a>b 3.设函数f(.x)=ar(a>0,且a≠1)，f(2)= 4,则( ) ≥0，若f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围 A.f(-2)>f(-1)B.f(-1)>f(-2) 是 C.f(1)>f(2) D.f(-2)>f(2) 10.已知f(x)=3-(k+1)·3+2,当x∈ a'-1,x≤1 R时，∫(x)恒为正值，则k的取值范围是 4.已知函数f(x)= 是R上 2x2-a.x+a,.x>1 的单调函数，则实数a的取值范围是( 三、解答题 A.(1,2) B.(1,3] 11.已知函数f(x)=4一a·2-1+4. C.(2,3] D.(1,4] (1)若a=4,求f(x)在[0,1]上的值域： 5.已知函数f(x)=2一2，则函数y=|f(x) (2)若关于x的方程f(x)=0有解，求实 数a的取值范围 的图像可能是( 华帮女兴 ·数学 5 、第四章指数函数、对数函数与幂函数 12.设a>0,fx)=号+是R上的偶函数 (3)求函数的值域. (1)求a的值： (2)判断并证明函数f(x)在[0，十∞)上的 单调性： 核心素养培优拓展提升 1.若函数y=4一3·2十3的定义域为集合 A,值域为[1,7]，集合B=(一∞，0]U 6已知函数x)=(2十》· [1,2],则集合A与集合B的关系为() (1)求∫(x)的定义域： A.AB B.A=B (2)讨论f(x)的奇偶性： C.B￥A D.ACB (3)证明f(x)>0. 2.已知函数f(x)=a-1+3(a>0,且a≠1) 的图像过一个定点P,且点P在函数y= mx+（m>0,且n>0)的图像上，则 n 上+4的最小值是( A.12 B.16 C.25 D.24 3.巳知2≤” ,则函数y=2-2的 值域是 4.若直线y=2a与函数y=a-1|(a>0,且 a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范 围是 5.已知函数f(x),g(x)分别是定义在R上的 偶函数和奇函数，且f(x)十g(x)=2+. (1)求函数f(x),g(x)的解析式： (2)若对任意x∈[1，十o∞)，不等式f(2x)≥ mg(x)一2恒成立，求实数m的最大值 6 ·数学背效工区 2vv+y ae1￥于世作 课时训练答案与解析 y 由仁迪.得专程红 两以不零式(r1的解集冷（一四，0 第四章指数响数.对数丙数与幂函数6解杯：+西+一√石+ ：1可g十1=0和言一=，解得=-1和=2 六一12分列为十和一到的求A值 见级1门都析：高数y=1一0再在香个家表.二k自 行)■才十疗十1一夏=位址若量为6 y一上》与yA的因信有为今令共我.在阴一冬堂标系 课时夯基过关练 1√2+山十T+√+=w+下+ 中作出管？的唇棉如图}，有图像可加，实我是的家敛流 10< Vr一2=g+1+一，数-1时.x+1写 国是D,1, 4.1指数与指数函数 解折：中题意行而一而一中示疗一5一 4.1.】实数指数军及其运算 6行有中 6,—26-3,品第天w-《x+0一r—2)=-1—1- +2=一2十1,4-r2时r十10.一20 希人-1十1一一2)=1！有32副，十○1一2 【核心素养达标·夯实基】 第一后7-5战答量为 0 L解0感发-号×安×登-×片+1-前-+1强 3毒r<一2时，r十1<0，J一4-8，”，才程点建 (-1-g.F-uyv-1-4. 一+11-r-}=一-2-x十一2r十2：第一 人东可证时学数指数器来我帝，A玉确，有证- 十 r时，+0一0， 10【一1，n解新：单想意，一“一1>0对r∈g领或 主.年1+2w0性成1.六小-十g它0，#得 而，6N.加分供传能系不素有网人于 周厘w十a=4十a-2=, 为程点填=十2一《一4)=44时十2 0. -. 1L丽：11为品数厂x141(x0)的厘像怪过A 的乘餐，是旅式的一叶的的写头，B卫确，实机且括无四 .方程点边=十2十=1=2x“26:=4 教和有厘镜，附以是理挖投草是多款，C脑民肉指教苯时 整盘解为：-1，-1,0,1,2.，L 2/(传)+(}- 任，》骑俱一u一文 进并业别标，有厘根温机草的运其植童逢用于无厘我到盘 2+22+22+1 4,1,2指数函故的性质与图像 系，)错星战追山 (空0研f-(号】0，高度为减画数 【核心素养达标·穷实基】 玉D解折：对千A,(任)-和'，A格绳：时于B 当上=0时，函处轧最大植2，则了a1E0,】. ww-1=1. 5-下■行灯，B醋误：时子C,当x=1,3■2时 1+214g 邮保和一2故法工 将以一+()+e0.5 2 +--4:+F“安2本 故函趣y年/x十10们的值域角，们 十红-河--31+2少-含，两t经+ 2A 12解：(11/C0)=°★6=1+6=1，解浮w=1 r十yC情接：对子v元-伊)-[x, 2 以-x-1时以 (2)事0<山<1时，/(x1在区间2，习上单到运或，此时 -十--行.D正填选n 2+2+2 a出那桥：y-出-一生-岁F4, f1==/29=a2+1,fr)=f0=a2+1, 5 =,期康身a产1时，y0,此神修A址路B 山+1-（公+）-5，每特a2或0仪学壶 XC 解析：封角舟低准款罩的态又T和x一)十一 8+/1-》++2+2 4D解析：根据数品量y=B的单鸭战知，a=>5 一万将一2心，单≥8，通龙，的泰健克图定 0行m1,局c0,名■《6，射a42y,规珠且 当>1时，x》在区间2,3)上单通增，北时飞红 r+中 互化解解西复义（分）是共盘果上的减汤维，酒为二 ■/〔2u+],/x-■8》a+【,片4a2+1 2,十02域， 卡私解所：取4一14=一2，再是年6.香w十1光意又 【核心素养培饮·拓展摄升】 速高量一一十中2奶开口冷下，时林种有手一宁，年 游上0-号 即：>6不晚兼会g+D>心+》，若w+ 1,D朝振，A十+=一，得十11+r十门-0， 说云或西数y-一十行中2在()时厚调是增 即x4+132+1=0.每得x=一1二-n十.A三中4 【核心素兼培优·括展提升】 h+11,到必有4十16十10.中a6或是，师以“。 r十x十1十x十寸十…十r十e4wL故线n (号一)时果判延减，由是合品就的河性。可样声 0“是“4十1)A+11的必是苯克分条件，食选具 1C解析：①香m=。时：成立，②有四正0时，原式可化★ 1N辉箱著海f)+g1十-a山道 A解w-()-x+-中义- my22+(*5-1+y=0,时△=(wy一1-￥·y 载（行） 的华属强培三阁是（位中一小，些 线x)是寺画载：x红)人两西载： y 0时任套J每成主，两（国一n)y/-2y十10选 速仁， 则-+话-1-+-8 y一m2+3,故速A 人D解断：满为无 m-+,≤+r-3边， ■豆，战速B 所m4--是三韩祥。-2 .A解期：由是套，可标0，·证=一a 5+书期m:奉我-2济+×（侵号 2+e 2+s 中24小 闲为头是y一吧，y=一e”均为代上的材品数。 4++酒)-a5+-1+ 不 清器解>4n 7.0-2,+e7解新：，/1一1·-1， 州位，适餐)-子◆段上的用西气 浮◆18+…+0)-28+1-1) ◆2>m,则n0-2-1■-1F-2>0, 自wu)甲一1P-229小在(E0,单第通克，E 山用-女P+有得2一名x+3标样 =”,相春十同或数罩相修，成教不变，传长相汽，炸以国 825+1)际1G音千L放答是为16心+远 们，十的单调通增： 雪正境：由4甲乙=甲”+三甲无三甲乙一乙 则w13m(1一名镜（士）岭值线为L一2：十e, 国无，不￥我/3-色>+2的新装2(-，专)】 鼠折：出周意，一y=√+y=y= 表来帝上十ymt+1山，+灯”十y“可和是如专 且填入 骨以③风完全平分企人，简性心五编战通A V0-4×4=2后， &期国为品一时不 玉A解所：”号径意+41，都有1一，儿/《) 125 126 /Gm属立 由定又可加区间本门的天度的雨大益与氧小值的是%2 .十一2r一2》：佩得一4C DC&I =1=,始4目 +三在-5时取得表小植2反，群江4+12.即1 黑y=2一I在[-，1上是增A报， 函量x)雀泉上单词减，一-0。 2i-1 a. 4二t4=,则2∈(0。+四，且y=(x1= 这-r授 年华<宁属台将取a说酒]：号 十1》·+2 依是君可如y=一十目·十2是1∈(0，十)对恒 本血，)解糊：数体金.由出可如2<，件由 人号督指：由y-4+1>0且，个一，得 太十几 G1和g>1两种国攀易知男有04C1有可境特◆ y=x°+1=2，民AA的坐雄为13,23 ①当时你恤生c,身长一时头干1的=大通 4立 入为r十y3得，w十21举(w一11十u2, 人A解折：f#1=gg30,夏w≠1.代9-4- y=一(0十1)·十多在(.+)单钢见增.战考 we>lud ate-du-()”-, ￥0-一0+2-20我是， vel'-ll +是w-+( 21=293=11.蓝选A 2 马 4数解质：可如数-一，产+2> a°-l,r1, ,在黑上举 -使+山+2在叶你精一生出地数得盈装， 调通甲，斯通>克对将抽上号-兰<1，导4心4 5解：0有/x十t:=2+,前-x我警x泽/（一r) ,和票看时，有技 体再表长■一G2一4十g,即g写气峰上填：1w≤3， 7<0-1一2cg一1+22，地燕时一1<0心- 些感民 o小--6 +22.撑上可如022-L 2 1l解日1a时4龄，r)十-2-5+4(g-12+8 解程复得：/x)=+11.x(x)一-1， 号如高量y=1)的图绿的分我点是-1，流姓本 ◆g=.前y=一)+3 2出會4素可件f21=2+2=(g-2y+2 此都囊冷 ,e0.1]-“,2毛1,2，即1e[1, m(一2)一1时径意xE「1：十=性或之， 令4=2一2E[1,十)，为■里-在rE[1 4b<解桥一（片》-3女-t- 系D相析：一2为“的-g, 而ym(什一1)'十3的对存格为如1， ”y=士在服土是增西y:为，此选D 六函数=（好一1）千3泰1，幻上单调地增： 卡回单楼增：≥ 内通品/x}Y,希N上峰通增函量： a-1+14-年∴.3r4 o6hChl,.t多室为A心叫a 万一a0M辆：芳aC0,到曲ec1件（日汀厂-C4 x1在[0，上的位城为3,4机， 玉都1)限为高f1-:二是爱文点收上的+ --营·+ 岁+2 号)了<8-（位，将-<a 高我两体四)-山是-，解4u- 若a30,则★g1<」祥面<，时以0<L ◆2-w4>0:到一a-受w十 2+ 城刚L即实其：的最大值为4 综上。的和4克黑灵一a自：年《一3，， -1- -0有解.六m-音·m-00.十=l上者 生刘书查干等火为能或生海有每问两，军提如下延 美时解所：象天= aa-) 时线金： 0-1-g-空 2+交一f0 。+ a-e 林祥金 老a)电「ah们上想典t,塘r一 磷以是★高姓，址=1， 寸长￥/r室a,A们上有展，到r1,1 or 装最的取植点雅为， 年f≤/g)[a门上有解，到4儿r= 12解：(11图有f》为偶品量，所以/11=f一1) 4解：1)自题意.一1+0.即10， 设任意x1行∈R,是>到，则fa1一f(:3 ,,走置线为一，0U0,+1 g”-4 里a健作晚炒大：尚为江位说区 + 2)时经路rE【一出，0以U40,十o7. 2P+1c2+1+p 因专a>,帅这a1 4x,4温"一150. 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