小升初典型奥数：环形路线问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

环形路线问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 第二部分 典型例题 例题1：甲、乙两人沿环形跑道相对运动，从相距200米的两点出发，如果沿小弧运动，甲与乙在10秒后相遇；如果沿大弧运动，经过15秒后相遇．当甲跑完环形跑道一圈时，乙只跑了125米，求环形跑道的周长及甲、乙两人的速度． 【答案】环形跑道的周长是500米 甲的速度是16米／秒，乙的速度是4米／秒 【详解】甲、乙的速度和：200÷10=20（米／秒） 15秒两人共跑：20×15＝300（米） 环形跑道的周长：300+200＝500（米） 当甲跑1圈时乙跑了125米，甲、乙的速度比为：500：125=4：1 那么甲速：=16（米／秒） 乙速：20－16=4（米／秒） 答：环形跑道的周长是500米．甲的速度是16米／秒，乙的速度是4米／秒． 例题2：如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 【答案】480 【详解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米． 例题3：幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？ 【答案】600 400,6 4 【详解】这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致．因此，当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200米)，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程． ①冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：(秒) ②冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：(米) ③晶晶第一次被追上时所跑的路程：(米) ④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：(圈) ⑤晶晶第2次被追上时所跑的圈数：(圈) 例题4：甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时乙在前，甲在后，出发后8分钟甲、乙第一次相遇，出发后的24分钟时甲、乙第二次相遇．假设两人的速度保持不变，你知道出发时乙在甲前多少米吗？ 【答案】200米 【分析】题目中包含有两个追及问题．第一个追及问题发生在从出发到甲追上乙，即两人第一次相遇，在这个过程中追及时间为8分钟，其他两个量都没有给出．在第二个追及问题中应注意到环形跑道的特殊性，即当两人同时出发到再次相遇，速度快的人比速度慢的人多走了一圈，因此路程差为400米，追及时间为（24-8）分钟．则速度差可求，再把这个速度差代回到第一个问题中，则可求出第一个追及问题中的路程差． 【详解】甲、乙的速度差：400÷（24-8）=25（米／分钟） 甲、乙开始时相距：25×8=200（米） 答：出发时乙在甲前200米． 【点睛】在环形跑道中的追及问题，路程差的计算不同于在直道上的追及问题，它是与跑道周长的倍数相关的，同一地点出发后的第一次相遇路程差是1倍的跑道周长，第二次相遇则为2倍的跑道周长． 第三部分 高频真题 1．如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米．当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？ 2．丁丁和丽丽从圆形街心花园的同一地点出发，同向而行，20分钟后两人再一次相遇。丽丽每分钟走70米，丁丁每分钟走85.7米。这个圆形街心花园的占地面积是多少？ 3．甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长米，甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米。 （1）如果甲、乙两人在跑道上相距米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ （2）如果甲在乙前面米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 4．圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？ 5．甲、乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 6．甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 7．两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？ 8．有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行．甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米．在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇．问：这个花圃的周长是多少米？ 9．小林和小军沿着公园的环湖跑道跑步，跑道一圈的长度是4500m。他们两人同时从同一地点反方向跑步，如图所示。小林每分跑170m，小军每分跑130m，多长时间后两人相遇？ 10．在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人各跑一圈需要几分钟？ 11．如图，两只小爬甲和乙虫从A点出发，沿长方形ABCD的边，按箭头方向爬行，在距C点32厘米的E点它们第一次相遇，在距D点16厘米的F点第二次相遇，在距A点16厘米的G点第三次相遇，求长方形的边AB的长。 12．一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行。黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米。经过几分钟才能相遇? 13．小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？ 14．一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？ 15．一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停的爬行，乙爬行了15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？ 16．一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．1分钟后它们都调头而行，再过3分钟，它们又调头爬行，依次按照1、3、5、7、…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬5.5厘米和3.5厘米，那么经过多长的时间它们初次相遇？ 17．周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A，B两点．甲、乙两人分别从A，B两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 18．如图，A、B是圆直径的两个端点，小华在点A，小明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长． 19．下图中有两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行．问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？ 20．小胖和小巧每天坚持到学校进行晨跑，在环形跑道上，两人从同一地点出发，沿着相反方向跑步，小胖每秒跑2米，小巧每秒跑3米，经过1分钟20秒两人相遇，学校跑道多少米？ 21．甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛，两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米。当甲每次从后面追上乙时，甲的速度就减少1米/秒，而乙的速度增加0.5米/秒，直到乙比甲快。请问：领先者到达终点时，另一人距终点多少米？ 22．三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬虫分别从、两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟l5厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米? 23．两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇。 24．绕湖一周是20千米，甲乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走1小时后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？ 25．甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米， 乙速度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5分钟，乙与丙相遇．那么绕湖一周的行程是多少？ 26．在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？ 27．环形跑道一圈长为400米，甲、乙两人同时从同一起跑线沿跑道同向而行，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米．问（l）甲第一次追上乙时，两人各走了多少米？（2）甲第二次追上乙时，在起跑线前多少米？（3）甲第二次追上乙时，两人各走了多少圈？ 28．2000年华校入学试题）甲、乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米？ 29．如图所示，大圈是400米跑道，由到的跑道长是200米，直线距离是50米．父子俩同时从 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到点便沿直线跑．父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒．如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？ 30．下图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行75米，乙顺时针每分行45米．两人第一次在CD边（不包括C，D两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？ 31．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发。问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？ 32．如图是一个跑道的示意图，沿走一圈是米，沿走一圈是米，其中到 的直线距离是米．甲、乙二人同时从点出发练习长跑，甲沿的小圈跑，每米用秒，乙沿的大圈跑，每米用秒，问： 乙跑第几圈时第一次与甲相遇？ 出发多长时间甲、乙再次在相遇？ 33．一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 34．在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？ 35．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分． （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？ （2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 36．如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米．甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米．甲、乙二人同时由点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑．问：甲、乙可能相遇的位置距离点的路程是多少？(路程按甲跑的计算) 37．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后3人又可以相聚？ 38．运动员小明在环形公路上练长跑，小明离开教练一小时后，教练才想起小明忘带了记时表，立刻骑上自行车送表给小明，已知环形公路全长35千米，小明每小时跑15千米，教练骑自行车的速度是每小时25千米，那么教练送表给小明至少需要多少小时？ 参考答案： 1．在AD边上 【分析】这是一道环行追及问题，这类问题可以先看成“直线”的追及问题，求出乙追上甲所用的时间，再回到环行路上的追及问题，根据乙这段时间所走的路程，推算出应在正方形的哪一条边上． 【详解】解：先求追上甲时乙所用的时间：90×3÷（72－65）=（分） 再求这段时间乙所走的路程：72×=（米） 由于正方形每边长90米，因此：=（4×7＋2）×90＋ 这样不难看出，乙走的比7圈零两条边还多米，所以，当乙第一次追上甲时，甲和乙应在正方形的AD边上． 【点睛】如何将直线上的追及问题，与环行道路的特点相结合，是这道题得以解决的关键． 2．7850平方米 【分析】同向而行，20分钟后两人再一次相遇可知：第一次相遇丁丁比丽丽多走了一圈，这一圈刚好是一个圆形，利用路程＝速度差×时间求出周长，再通过半径＝圆的周长÷π÷2求出半径，最后通过圆的面积＝π×半径×半径来求出圆形街心花园的占地面积。 【详解】（85.7－70）×20 ＝15.7×20 ＝314（米） 圆的半径：314÷3.14÷2 ＝100÷2 ＝50（米） 圆形街心花园的占地面积：3.14×50×50 ＝3.14×2500 ＝7850（平方米） 答：这个圆形街心花园的占地面积是7850平方米。 【点睛】此题考查的追赶问题，熟练掌握速度差×时间＝路程以及圆的周长和面积公式是解题的关键。 3．（1）28秒； （2）196秒 【分析】（1）相遇时间＝（跑道一圈的长度－8米）÷（甲的速度＋乙的速度）； （2）求两人首次相遇就是求甲追上乙的时间，从开始到相遇甲比乙多跑了（400－8）米，追及时间＝路程差÷（甲的速度－乙的速度）；据此解答。 【详解】（1）（400－8）÷（6＋8） ＝392÷14 ＝28（秒） 答：经过28秒两人首次相遇。 （2）（400－8）÷（8－6） ＝392÷2 ＝196（秒） 答：经过196秒两人首次相遇。 【点睛】掌握环形中相遇和追及问题的解题方法是解答题目的关键。 4．5次 【详解】设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为．因为，设，，甲要追上乙则需比乙多跑圈，，，即甲追上乙时所花时间，则甲追上乙时，所走路程为；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即为偶数，所以（最多多跑10圈）；综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次． 5．100 【详解】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为米，因为甲的速度为每秒钟跑米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行米才能回到出发点． 6．米/秒 【分析】因为相遇前后甲乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用24秒，则相遇前两人合跑一圈也用24秒。以甲为研究对象，甲以原速V跑了24秒的路程与以（V＋2）跑了24秒的路程之和等于400米，据此解答。 【详解】解：设甲的原有速度为V米/秒 24V＋24（V＋2）＝400 24V＋24V＋48＝400 48V＝400－48 48V＝352 V＝352÷48 V＝ 答：甲原来的速度是米/秒。 【点睛】发现相遇前后甲乙速度和不变，是解答本题的关键。 7．5 【详解】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题．同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长．这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度．环形道一周的长度可根据两人同向出发，45分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：(米/分)，所以路程差为：(米)，即环形道一圈的长度为2250米．所以反向出发的相遇时间为：(分钟)． 8．8892米 【详解】第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）第一个追及：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追及过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷ （38-36）=114（分钟） 第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程 所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米） 【点睛】这个三人行程的问题由两个相遇、一个追及，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间．把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰． 9．15分钟 【分析】把两人的相遇时间设为未知数，等量关系式：（小林的速度＋小军的速度）×相遇时间＝环湖跑道的总路程，据此解答。 【详解】解：设经过x分钟两人相遇。 （170＋130）x＝4500 300x＝4500 300x÷300＝4500÷300 x＝15 答：15分钟后两人相遇。 【点睛】掌握相遇问题的计算公式是解答题目的关键。 10．6分钟   12分钟 【详解】把这个跑道的长度看做整体“1”， 则较快的速度为：（＋）÷2 ＝÷2 ＝ 较慢的速度是： 所以跑完一圈较快的需要时间：1÷＝6（分钟） 较慢的跑完一圈需要时间：1÷＝12（分钟） 答：各跑一圈时，较快的需要6分钟，较慢的需要12分钟。 11．64厘米 【分析】由题意和图示知甲三次走的路程相等：AB＋BE＝EC＋CF＝FD＋DA＋AG，也就是AB＋AD﹣32＝AB＋16＝16＋AD＋16，由此求出答案即可。 【详解】甲和乙既然是相遇问题，说明时间相同。以甲分析为例，甲三次相遇所走的路程应该是相同的，即：AB＋BE＝EC＋CF＝FD＋DA＋AG，也就是AB＋AD﹣32＝AB＋16＝16＋AD＋16。 得到AB＝64厘米。 【点睛】此题属于多次相遇问题，“甲三次相遇所走的路程应该是相同的”是解题关键。 12．4分钟 【分析】两人相遇时，两人走的路程和恰好等于跑道的周长。黄莺和麻雀每分钟共行125米，那么跑道的周长有几个125米，就需要几分钟。据此利用除法求解即可。 【详解】500÷（66＋59） ＝500÷125 ＝4（分钟） 答：经过4分钟才能相遇。 【点睛】本题考查了相遇问题，相遇时两人的路程和恰好等于跑道的周长。 13．60 【详解】小新第一次超过正南时比正南多跑了一圈，根据，可知小新第一次超过正南需要：(分钟)，第三次超过正南时比正南多跑了三圈，需要(分钟)． 14．60 【详解】先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置． 开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米. 30÷（5-3）＝15（秒） 因此15秒后B与C到达同一位置．以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）＝45（秒） B与C到达同一位置，出发后的秒数是15，60，105，150，195，…… 再看看A与B什么时候到达同一位置． 第一次是出发后，30÷（10-5）=6（秒） 以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要：90÷（10-5）＝18（秒） A与B到达同一位置，出发后的秒数是6，24，42，60，78，96，… 对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置． 答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置． 15．3.75厘米/秒 【详解】根据题意，甲共行了70－30=40（厘米），所需的时间是40÷4=10（秒）．在10秒内乙按原速爬了15厘米，按2倍的速度爬行了15+30=45（厘米），因此，不难求出乙原有的速度． 解：因为，甲共行了70－30=40（厘米），所需的时间是40÷4=10（秒）．10秒内乙爬行：15+30=45（厘米），假设10秒乙全是按原速爬行，可爬行：15+45÷2=37.5（厘米），所以，乙原有的速度是：37.5÷10=3.75（厘米/秒）． 16．64分 【详解】解：因为圆的半周长是：1.44÷2=0.72（米）=72（厘米）．如果不考虑往返的情况，两只蚂蚁所需的相遇时间是：72÷（5.5＋3.5）=8（分）．然后再考虑往返的情况，如下表： 经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16 向上半圆爬行的时间 1 2 2 2 1 向下半圆爬行的时间 2 2 2 2 不难看出，第15分钟后，两只蚂蚁向下半圆爬行刚好都需要8分钟． 根据表格分析，它们初次相遇的时间是：1+3+5+7+9+11+13+15=64（分）． 【点睛】利用列表法进行分析，也是解决行程问题常用的手段． 17．1000 【详解】如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC的路程．由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A点所需时间的.即AC=×400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍．那么甲到达A，乙到达B时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300÷(2-1)×2=600米，加上开始跑的l圈400米．所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米． 18．440米 【分析】第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两人合起来走了一圈，因此，从开始出发到第二次相遇，两人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来走的路程是第一次相遇时合起来所走路程的3倍，因此，不难看出AD的距离是AC距离的3倍，所以再求圆周的长度就比较简单了． 【详解】解：因为AC=100米，AD的长度是AC长度的3倍．AD=AC×3=100×3=300（米） 半个圆的周长：300－80=220（米） 整个圆的周长：220×2=440（米） 19．4圈 【详解】我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在A点，另一只在过A的直径另一直径端点B， 所以在小圆甲虫跑了n圈，在大圆甲虫跑了m＋圈； 于是小圆甲虫跑了30n，大圆甲虫跑了48(m＋)＝48m＋24 因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同， 所以30n＝48m＋24； 即5n＝8m＋4，由不定方程知识，解出有n＝4，m＝2， 所以小圆甲虫跑了4圈后，大小甲虫相距最远． 20．400米 【详解】1分20秒＝80秒 80×（2＋3）＝400（米） 答：学校跑道400米。 21．36米。 【分析】要求领先者到达终点时，另一人距终点多少米，应先求得另一人已经跑了多少米，再求领先者到达终点时的时间和另一人此时的速度，要求领先者到到终点的时间，应求出他距终点的路程和此时的速度，再依据数量关系即可列式计算。 【详解】甲追乙1圈时，甲跑了 8×[400÷（8﹣6）] ＝8×200 ＝1600（米）， 此时甲、乙的速度分别变为6米/秒和5.5米/秒。甲追上乙2圈时，甲跑了 1600＋6×[400÷（6﹣5.5）] ＝1600＋6×800 ＝6400（米）， 此时甲、乙的速度分别变为4米/秒和5米/秒。乙第一次追上甲时，甲跑了 6400＋4×[400÷（5﹣4）] ＝6400＋1600 ＝8000（米）， 乙跑了8000﹣400＝7600（米）。此时，甲、乙的速度分别变为4.5米/秒和5.5米/秒。乙跑到终点还需 （10000﹣7600）÷5.5 ＝2400÷5.5 ＝（秒）， 乙到达终点时，甲距终点 （10000﹣8000）﹣4.5× ＝2000﹣1963 ＝36（米）。 答：领先者到达终点时，另一人距终点36米。 【点睛】此题主要考查环形跑道的追及问题，关键是弄明白随着速度的变化，快到终点时乙的速度要快一些。 22．300 【详解】根据题意，甲爬虫爬完半圈需要分钟，乙爬虫爬完半圈需要分钟．由于甲第一次爬到1、2之间要分钟，第一次爬到2、3之间要分钟，乙第一次爬到2、3之间要7分钟，所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处． 由于甲第一次爬到2、3之间要分钟，第二次爬到1、2之间要分钟，乙第一次爬到1、2之间要14分钟，所以第二次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处． 当两只爬虫都爬了14分钟时，甲爬虫共爬了米，(米)，所以甲在距1、2交点35米处，乙在1、2交点上，还需要(分钟)相遇，所以第二次相遇时，两只爬虫爬了分钟． 所以甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了厘米． 23．315秒 【详解】（4＋3）×45 ＝7×45 ＝315（米） 315÷（4－3） ＝315÷1 ＝315（秒） 答：315秒后两人再次相遇。 24．136分钟 【详解】两人相遇时间要超过2小时，出发130分钟后，甲乙都休息完2次，甲已经行了（千米），乙已经行了（千米）．相遇还需要（小时），即6分钟．所以两人从出发到第一次相遇用（分钟）． 25．4.2 【详解】30分钟乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟，因为乙和丙从出发到相遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：35÷5×0.6＝4.2（千米）． 26．6 4 【详解】甲乙的速度和为：(米/秒)，甲乙的速度差为：(米/秒)，甲的速度为：(米/秒)，乙的速度为：(米/秒)． 27．（1）甲第一次追上乙时，甲走了2400米，乙走了2000米． （2）甲第二次追上乙时，甲恰好在起跑线上． （3）甲第二次追上乙时，甲走了12圈，乙走了10圈． 【详解】（1）甲第一次追上乙时所用时间：400÷（120-100）=20分钟） 这时：甲走了120×20=2400（米）    乙走了100×20=2000（米） （2）第二次追上乙时所用时间为第1次的2倍，即40分钟，这时甲走了120×40=4800（米） 4800÷400=12（圈），说明甲此时在起跑线上． （3）甲第二次追上乙时，甲走了120×40÷400=12（圈） 乙走了100×40÷400=10（圈） 答：甲第一次追上乙时，甲走了2400米，乙走了2000米．甲第二次追上乙时，甲恰好在起跑线上．这时甲走了12圈，乙走了10圈． 28．3000 【详解】首先是一个相遇过程，相遇时间：小时，相遇地点距离点：千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间：小时，乙车在此过程中走的路程：千米，即5圈余3千米，那么这时距离点千米．甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离点千米，而第4次相遇时两车又重新回到了点，并且行驶的方向与开始相同．所以，第8次相遇时两车肯定还是相遇在点，又，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，距离点是3000米． 29．3 【详解】首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由沿逆时针方向到这一段跑道上相遇．而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲．儿子跑一圈所用的时间是（秒），也就是说，儿子每过76秒到达点一次．同样道理，父亲每过50秒到达点一次．在从到逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑（秒），父亲要跑（秒）．因此，只要在父亲到达点后的2秒之内，儿子也到达点，儿子就能从后面追上父亲．于是，我们需要找76的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数），它比50的一个整数倍大，但至多大2．换句话说，要找76的一个倍数，它除以50的余数在0到2之间．这试一下就可以了：余26，余2，正合我们的要求．因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第3圈． 30．7 【详解】两人第一次相遇需分，其间乙走了（米）．由此知，乙没走135米两人相遇一次，依次可推出第7次在CD边相遇（如图，图中数字表示该点相遇的次数） 31．猫跑8437.5米，狗跑23437.5米，兔跑16537.5米 【分析】由题意，根据路程、时间之间的关系，可以求得猫与狗的速度之比为9∶25，猫与兔的速度之比为25∶49。设单位时间内猫跑1米，则狗跑米，兔跑米；据此可求狗追上猫一圈需要的时间以及兔追上猫一圈需要的时间；进而求出猫、狗、兔再次相遇的时间，则各自跑的路程可求。 【详解】由题意可知，猫与狗的速度之比为9∶25，猫与兔的速度之比为25∶49。 设单位时间内猫跑1米，则狗跑米，兔跑米； 狗追上猫一圈需300÷（－1）＝（单位时间） 兔追上猫一圈需300÷（－1）＝（单位时间） 猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍。 与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即 [，]＝＝8437.5 上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第1次相遇。此时，猫跑了8437.5米，狗跑了：8437.5×＝23437.5（米）， 兔跑了8437.5×＝16537.5（米）。 答：当它们出发后第一次相遇时，猫跑了8437.5米，狗跑了23437.5米，兔跑了16537.5米。 【点睛】首先根据它们的速度比求出狗追上猫一圈、兔追上猫一圈所需的时间单位是完成本题的关键。 32．924 【详解】因为甲、乙沿不同的路线，所以并不是谁多跑一圈，就一定有一次超过．超过只可能发生在他们共同经过的路线上，也就是上． ⑴甲跑半圈用时秒，乙跑半圈用时秒．也就是说如果某次乙经过点的时间比甲晚不超过秒，他就能在这半圈上追上甲． 甲跑一圈用的时间为秒，乙跑一圈用的时间为秒，下面看甲、乙经过点的时间序列表（单位：秒） 甲 0 66 132 198 264 330 乙 0 84 168 252 336 可以看出336秒与330秒恰好差6秒，由此可知乙跑完第四圈、在跑第五圈时会第一次与甲相遇． ⑵要在点相遇，两人跑的必须都是整数圈，甲跑一圈用秒，乙跑一圈用秒，它们的最小公倍数为．因此秒即分秒后，甲、乙第一次同时回到点． 33．2 【详解】(分钟)． 34．4米/秒    6米/秒 【详解】同向而跑，这实质是快追慢．起跑后，由于两人速度的差异，造成两人路程上的差异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相距最大．接着，两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑了一圈．背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为：路程和速度和相遇时间．同向而行2分30秒相遇，2分30秒＝150秒，两个人的速度和为：（米/秒），背向而跑则半分钟即30秒相遇，所以两个人的速度差为：（米/秒）.两人的速度分别为：(米/秒)，(米/秒) 35．（1）220米/分（2）5.5圈 【详解】（1）75秒-1.25分 两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程. 小张的速度是500÷1.25-180=220（米/分） （2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长）. 因此需要的时间是500÷（220-180）＝12.5（分） 220×12.5÷500＝5.5（圈） 答：（1）小张的速度是220米/分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王. 36．320 240 160 80 0 【详解】根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环．甲绕大圆环跑一周需要100秒，乙绕小圆环跑一周也需要100秒．所以两人的第一次相遇肯定是在点；而以后在小圆周上肯定还有相遇点．由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，如果以乙为中心，可以看出，每次乙回到点，如果甲也在点，则两人在点相遇；如果甲不在点，则此时甲相当于顺时针跑，乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇． 设乙第次回到点的时间为秒，则，此时甲跑了米．而甲一个周期为米，因此，时刻甲跑了个周期． 而，其中整数部分表示甲回到点，小数部分表示甲又从点跑了一部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是米．由此，我们可以算出甲的位置： 小数部分表示的路程 0 200 400 600 800 甲、乙相距的路程 0 800 600 400 200 甲、乙相遇还需的时间 0 80 60 40 20 甲、乙相遇的位置 0 80 160 240 320 以其中的第三列为例进行说明：这一列表示，于是，这表明甲回到点后又跑了200米，此时乙在点处，甲要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两人相距米，所以需要的时间为秒，在80秒内乙跑了米，所以在这种情况下甲在小圆周上跑的路程为米，这就是此时相遇点与点的距离．其它情况同理可得． 所以甲、乙可能相遇的位置在距离点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米． 37．30分钟 【分析】由题意可知，相遇时走的路程差是圆形跑道的整数倍，甲、乙、丙三人两两相遇时的路程差都是300米，根据“路程差÷速度差”计算甲乙、甲丙、乙丙分别经过多少分钟相遇，再求出它们的最小公倍数即可。 【详解】甲乙第二次相遇时经过的时间：300÷（120－100） ＝300÷20 ＝15（分钟） 甲丙第二次相遇时经过的时间：300÷（120－70） ＝300÷50 ＝6（分钟） 乙丙第二次相遇时经过的时间：300÷（100－70） ＝300÷30 ＝10（分钟） 2×3×5＝30（分钟） 答：30分钟之后3人又可以相聚。 【点睛】本题主要考查环形路线中的追及问题和最小公倍数的应用，灵活运用追及问题的计算公式是解答题目的关键。 38．0.5小时 【详解】同向而行时，需要：15×1÷（25-15） =15×1÷10 =1.5（小时） 相向而行时，需要：（35-15×1）÷（15+25） =（35-15）÷40 =20÷40 =0.5（小时） 0.5＜1.5 答：教练送表给小明至少需要0.5小时． 【点睛】解题关键是环形跑道上，教练追上小明有两种走法：一是同向而行；二是相向而行；分别算出所用时间对比即可得解． 学科网（北京）股份有限公司 $$