精品解析：上海市大同中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题

大同中学2024秋季开学高三数学摸底考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 不等式的解集为__________. 2. 为虚数单位，若复数，则__________. 3. 的二项展开式中的常数项为______. 4. 双曲线的离心率为2，则___________ 5. 设，若抛物线的焦点为坐标原点，则__________. 6. 下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x（单位：万元），销售额为y（单位：万元），则y关于x的回归方程为__________.（回归系数精确到0.01） 广告费用（万元） 30 26 21 17 11 18 13 16 17 23 25 29 销售额（万元） 843 725 621 587 485 608 523 554 600 703 728 792 7. 设，若，则__________. 8. 在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________. 9. 将由曲线、、所围成封闭区域绕y轴旋转一周后得到的旋转体记为，则该旋转体的体积为__________. 10. 某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为______. 11. 如图，半椭圆与半椭圆组成曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为__________. 12. 已知三角形的面积为，，，则______. 二、选择题（本题共4题，满分18分，其中第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）. 13. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知等差数列中，，且公差，则其前n项和取得最大值时n的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 15. 经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 16. 如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 已知函数其中，, （1）若求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数. 18. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，沿DE将折起，使得点A到点P位置，且，M为PB的中点，N是线段BC上的动点. （1）求证：平面平面PBC； （2）当三棱锥与四棱锥的体积之比为时，求直线EN与平面PBC所成角的正弦值. 19. 某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定. （1）求当天小王的该邮箱被锁定的概率； （2）设当天小王尝试该邮箱的密码次数为，求的分布列及，的值. 20. 已知双曲线的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线上的动点，点. （1）求点M到两条渐近线的距离之积； （2）求经过点Q双曲线的切线方程； （3）设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作的两条切线，分别与y轴交于点E，F（E在F的上方），证明：. 21. 设，已知函数的解析为. （1）当时，求函数的最小值； （2）证明当时函数至多有两个零点； （3）如果函数有3个不同的零点，分别设为、、，求实数a的取值范围；如果，进一步证明存在唯一的实数a，使得、、成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大同中学2024秋季开学高三数学摸底考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，化为或求解. 【详解】因为，所以或， 所以或或， 所以. 故答案为：. 2. 为虚数单位，若复数，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则可得，即可得出结果. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 3. 的二项展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理得展开式的通项公式，代入可求出结果. 【详解】因为的展开式通项为， 展开式中常数项，必有，即， 所以展开式中常数项为. 故答案为： 4. 双曲线的离心率为2，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由离心率定义和双曲线关系式可直接求解. 【详解】双曲线化为标准方程得，离心率为，故. 故答案为： 5. 设，若抛物线的焦点为坐标原点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，再由图象平移规则可得. 【详解】易知抛物线的焦点坐标为， 将抛物线在纵轴方向平移个单位可得到抛物线， 焦点坐标由变为，可得； 故答案为： 6. 下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x（单位：万元），销售额为y（单位：万元），则y关于x的回归方程为__________.（回归系数精确到0.01） 广告费用（万元） 30 26 21 17 11 18 13 16 17 23 25 29 销售额（万元） 843 725 621 587 485 608 523 554 600 703 728 792 【答案】 【解析】 【分析】分别求出，再带入线性回归方程求解即可. 【详解】， ， ， ， 所以 所以 所以, 故答案为：. 7. 设，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用二项式定理知识，结合赋值法可解. 【详解】令，得到. 令，得到. 则. 所以31. 故答案为：31. 8. 在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，取BC中点为M，做， 将化为，后找到间关系，可得答案. 【详解】如图，取BC中点为M，做， 则，又， ，则， 得 注意到， 则.又由图可得， 则， 当且仅当，且，即时取等号. 故答案为： 9. 将由曲线、、所围成的封闭区域绕y轴旋转一周后得到的旋转体记为，则该旋转体的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出曲线的图象，分析旋转体的结构特征，结合体积公式计算即可. 【详解】当且时，，图象为个单位圆； 当且时，，图象为焦点在轴上的双曲线在第四象限的部分， 其中双曲线过第四象限的渐近线方程为，曲线方程为； 当且时，，图象为焦点在轴上的双曲线在第二象限的部分； 当且时，，不能成立. 曲线的图象如图所示， 曲线、、所围成的封闭区域绕y轴旋转一周， 旋转体的上半部分为半径为1的半球，上半部分体积， 旋转体的下半部分，渐近线、、所围成的封闭区域绕y轴旋转一周，得到的旋转体是底面半径为1高为1的圆锥， ，直线与和分别交于点和， 线段绕y轴旋转一周得到的圆环，内外圆半径分别为和， 则圆环的面积为， 所以第四象限双曲线渐近线与双曲线之间的部分，与和轴所围成的封闭区域绕y轴旋转一周， 由祖暅原理，旋转体的体积与一个底面半径为1高为1的圆柱体积相等， 所以旋转体的下半部分体积为， 所以. 故答案为： 10. 某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先计算3种不同抗生素类药品中恰有2种相邻两天被检测的种数，再求得1种降压类药品安排在第1天或第7天的检测种数，结合间接法，进而得到答案. 【详解】根据题意，先计算3种不同抗生素类药品中恰有2种相邻两天被检测的种数， 可分三步分析：先将3种不同抗过敏类药品和1种降压类药品进行全排列， 有种情况，其排好后有5个空位可选， 再从3种不同抗生素类药品任选2种，安排在相邻的2天检测，有种， 最后和另外1种抗生素类药品，安排在4个空位中，有种排法， 此时，共有种不同的排法， 其中1种降压类药品安排在第1天或第7天的检测，有， 综上可得，共有种不同的排法. 故答案为：. 11. 如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，已知夹角的情况下，可以利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再有点的变化范围得到相应不等式，从得出取值范围。 【详解】设，， ， ∵， ∴， ， ， ， 或(舍去）， 令，则， ∵， ∴， 解得， 故答案为： 12. 已知三角形的面积为，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知，可得，由余弦定理可得，再由，可得，进而得，即可求得. 【详解】因为，所以， 则， 则， 则， 又，所以， 由正弦定理得，则， 因为三角形的面积为，， 又， 则， 则， 解得，或， 当时，则， 所以， 当时，则， 所以， 即，或. 故答案：或. 二、选择题（本题共4题，满分18分，其中第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）. 13. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式和概率的性质逐项判断即可. 【详解】事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件， 故，故AB错误； ，故C正确； ,故D错误. 故选：C 14. 已知等差数列中，，且公差，则其前n项和取得最大值时n的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】，且公差，故 所以则 故等差数列中，前10项为正数，后面都为负数， 故前n项和取得最大值时n的值为10. 故选：C 15. 经过点可以作与曲线相切不同直线共有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 【答案】D 【解析】 【分析】设切点为，则切线的斜率为，又切线过点，可得，设，由导数的单调性和零点的存在性可得与轴有3个交点，则有3条切线. 【详解】设切点为，， 则切线的斜率为， 又切线过点， 所以， 则，设， 则，令， 解得或， 当和时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又，， ，， 所以存在,；；， 所以与轴有3个交点， 则经过有3条切线. 故选：D. 16. 如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算可得，令可得，利用四点共面和基本不等式可求得的最小值，结合棱锥体积公式可求得结果. 【详解】连接， 由题意知：； 令，则，， 四点共面，（当且仅当时取等号）， ； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又，， ，即的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用四点共面得到的最小值，进而代入体积公式求解. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 已知函数其中，, （1）若求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【详解】（1）由得 即又 （2）由（1）得，，依题意，，又故 函数的图象向左平移个单位后所对应的函数为， 是偶函数当且仅当即 从而，最小正实数. 18. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，沿DE将折起，使得点A到点P位置，且，M为PB的中点，N是线段BC上的动点. （1）求证：平面平面PBC； （2）当三棱锥与四棱锥的体积之比为时，求直线EN与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证得平面，从而证得平面平面PBC； （2）先利用定义判断出直线EN与平面PBC所成角，然后解直角三角形来求得正确答案 【小问1详解】 依题意可知，四边形是正方形，，（折叠后） 由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 由于是的中点，所以， 有平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面PBC； 【小问2详解】 设，由（1）得平面， 所以是直线EN与平面PBC所成角， 依题意，则， 所以，， 所以直线EN与平面PBC所成角的正弦值为. 19. 某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定. （1）求当天小王的该邮箱被锁定的概率； （2）设当天小王尝试该邮箱的密码次数为，求的分布列及，的值. 【答案】（1） （2）的分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）“当天小王的该邮箱被锁定”即3次尝试均错误，进而求解； （2）由题可能取到1，2，3，分别求得概率，列出分布列，根据期望和方差的公式求解即可. 【小问1详解】 设“当天小王的该邮箱被锁定”为事件， 则 【小问2详解】 由题意，可能取到1，2，3， 则，，， 所以的分布列为： 1 2 3 所以， 20. 已知双曲线的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线上的动点，点. （1）求点M到的两条渐近线的距离之积； （2）求经过点Q的双曲线的切线方程； （3）设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作的两条切线，分别与y轴交于点E，F（E在F的上方），证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，写出关系式，求出两个渐近线方程，求出点M到的两条渐近线的距离之积； （2）设经过点的切线方程为，联立直线与双曲线方程，根据判别式为求出，求出切线方程； （3）设，再由坐标得到直线的方程，继而可得坐标，设过且与双曲线相切的直线为，联立双曲线与直线方程，由及韦达定理可得坐标，继而可得，即，即，即可求证. 【小问1详解】 设点，所以， 两个渐近线方程为， 所以点M到的两条渐近线的距离之积为； 【小问2详解】 由题意得切线方程斜率存在， 设经过点的切线方程为， 联立，所以， 因为直线与双曲线相切，所以， 所以，所以切线方程为； 【小问3详解】 设，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 所以，， 设过且与双曲线相切的直线方程为， 联立， 所以， 所以， 所以， 设直线，的斜率分别为，， 所以，所以的方程为， 所以，同理的方程为， 所以，所以， ， 所以， 所以， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的相切关系，解题关键是直线与双曲线的相切关系.本题中设过且与双曲线相切的直线为，联立双曲线与直线方程，由及韦达定理可得，则，又，得，即，即，即可求证. 21. 设，已知函数的解析为. （1）当时，求函数的最小值； （2）证明当时函数至多有两个零点； （3）如果函数有3个不同的零点，分别设为、、，求实数a的取值范围；如果，进一步证明存在唯一的实数a，使得、、成等差数列. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数求函数单调性，由单调性得函数最小值点，可求函数的最小值； （2）当时，利用导数求函数单调性，由单调性判断函数零点个数； （3）结合函数单调性求函数有3个不同的零点的条件，得实数a的取值范围；、、成等差数列时，通过构造函数，求结论成立所需条件. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 ，则， 时，恒成立， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故当时函数至多有两个零点； 【小问3详解】 ，则， 由（2）可知，时不合题意， 当时，， 解得或，，解得， 函数在和上单调递增，在上单调递减， 由函数有3个不同的零点，则， 又， 令，记， 则，其中，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，即，当且仅当时取等号， 故不等式组的解集为， 因为，， 故当时函数有3个不同的零点， 因为，，结合（2）中结论得， ①当时，若存在符合题意的实数a，则由于， 因此，，， 因此，成等差数列可得出， 考虑，即， 这等价于， 令， 所以， 令， 则 令 则 当时，，则单调递增，即函数单调递增， 所以，则单调递增，故函数单调递增， 因为，，所以在上存在唯一零点，记为， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， ，， 因此在上无零点，在上存在唯一的零点 所以存在唯一实数，使得、、成等差数列. 此时，得， ②当时，，则，不合题意， 综上所述，存在唯一的实数使得、、成等差数列. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$