精品解析：上海市大同中学2024-2025学年高三上学期开学摸底考试数学试题

大同中学2024秋季开学高三数学摸底考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 不等式的解集为__________. 2. 为虚数单位，若复数，则__________. 3. 的二项展开式中的常数项为______. 4. 双曲线的离心率为2，则___________ 5. 设，若抛物线的焦点为坐标原点，则__________. 6. 下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x（单位：万元），销售额为y（单位：万元），则y关于x的回归方程为__________.（回归系数精确到0.01） 广告费用（万元） 30 26 21 17 11 18 13 16 17 23 25 29 销售额（万元） 843 725 621 587 485 608 523 554 600 703 728 792 7. 设，若，则________． 8. 在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________. 9. 将由曲线、、所围成的封闭区域绕y轴旋转一周后得到的旋转体记为，则该旋转体的体积为__________. 10. 某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品.若每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为______. 11. 如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为__________. 12. 已知三角形的面积为，，，则______. 二、选择题（本题共4题，满分18分，其中第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）. 13. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知等差数列中，，且公差，则其前n项和取得最大值时n的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 15. 经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 16. 如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）. 17. 已知函数其中，, （1）若求的值； （2）在（1）的条件下，若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图象向左平移个单位所对应的函数是偶函数. 18. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，沿DE将折起，使得点A到点P位置，且，M为PB的中点，N是线段BC上的动点. （1）求证：平面平面PBC； （2）当三棱锥与四棱锥的体积之比为时，求直线EN与平面PBC所成角的正弦值. 19. 某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定. （1）求当天小王的该邮箱被锁定的概率； （2）设当天小王尝试该邮箱的密码次数为，求的分布列及，的值. 20. 已知双曲线的左、右顶点分别为点A、B，M为双曲线上的动点，点. （1）求点M到的两条渐近线的距离之积； （2）求经过点Q的双曲线的切线方程； （3）设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA，PB分别与y轴交于点C，D.过点P作的两条切线，分别与y轴交于点E，F（E在F的上方），证明：. 21. 设，已知函数的解析为. （1）当时，求函数的最小值； （2）证明当时函数至多有两个零点； （3）如果函数有3个不同的零点，分别设为、、，求实数a的取值范围；如果，进一步证明存在唯一的实数a，使得、、成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 大同中学2024秋季开学高三数学摸底考 2024.09 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.不等式x-2>1的解集为， 【答案1(5，+oU(-0,-V)U(1,l) 【解析】 【分析1根据r-2>1,化为2-2>1或2-2<-1求解 【详解1因为r-21,所以2-2>1或-2<-1， 所以x>5或x<-5或1<x<1, 所以x∈(W5,+∞U(-0,-V3)U(-1,) 故答案为：(N5,+oU(-0,-V⑤)U(←1，) 4i 2.i为嘘数单位，若复数2=一i,则1m2= 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则可得z=-2+2i,即可得出结果 4i 40+)-40+_4i+4.-2+2i 【详解】由2=可得20-0+1-产 2 所以lmz=2. 故答案为：2 的二项展开式中的常数项为 第1页/共27页 6学科网 6组卷网 【答案】160 【解析】 【分析】由二项式定理得展开式的通项公式，代入”=3可求出结果 2) 【详解】因为 的展开式通项为H=C%V” 展开式中常数项，必有3-P=0,即r=3, 所以展开式中常数项为7=2Cg=8×20=160 故答案为：160 2+2 =1 4.双曲线 m的离心率为2，则m= 【答案】-3 【解析】 【分析】由离心率定义和双曲线关系式可直接求解。 〔详解】双曲线化为标准方程得少 二m工，离心率为a元车+=m2。故m=3 故答案为：-3 y= 2+a 5.设a∈R,若抛物线4 的焦点为坐标原点，则a= 【答案】-1 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，再由图象平移规则可得ā=-1. y=Iy 【详解】易知抛物线’4 的焦点坐标为(0，)， 第2页/共27页 6学科网 命组卷网 y=-x y=Ixta 将抛物线 4 在纵轴方向平移α个单位可得到抛物线4 焦点坐标由(0，变为(0,0) 可得a=-l: 故答案为：-1 6.下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x(单位：万元)，销 售额为y(单位：万元)，则y关于x的回归方程为 (回归系数精确到0.01) 广告费用（万 30 26 21 17 11 18 13 16 17 23 25 29 元) 84 72 62 58 48 60 52 55 60 70 72 79 销售额（万元） 3 5 5 P 0 3 8 2 y=17.68x+284.98 【答案】 【解析】 12 【分析】分别求出 再特入我件日归方程求解即丽 i=1 【详解】 x12×30+26++29)=246-123 126, 12×(843+725++792)= 7769 12, =30x843+26×725+.+29x792= 2x2=302+26++29=5460 第3页/共27页 6学科网6组卷网 5x-12西 6 166639-12×123×7769 612≈17.68 所 ∑x2-122 5460-12× 23 6 所以i=立-6=7769 17.68× 123 =284.98 12 所以=17.68x+284.98 y=17.68x+284.98 故答案为： 7. i设x∈R,若(3+°=a,+a(++a,++a,(++a(1+'+a(1+°，则 a41-a2+a%3-a4+a5= 【答案】31 【解析】 【分析】令t=1+x,即可得到(2+)小°=，+a1+a,f+a,+a+a,再利用赋值法计算可得， 【详解】令1=l+x,则(（2+°=，+a1+a,+a,+a,+a, 令1=0，可得4=2=32 令t=-1,可得4-4+4-4+a,-a=(2-1)°-1 所以4-4+4-a4+a=31 故答案为：31 8.在△ABC中，点E,F分别是线段AB,AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则 PB.PC+BC 的最小值是 第4页/共27页 6学科网6组卷网 【答案】2V5 【解析】 【分析】如图，取BC中点为M做PN⊥BC, 将阳.E+C化为N+子C,行我P网，，P网后关系，台案 【详解】如图，取BC中点为M,做PV⊥BC, P吸.心-m+c--m门，x陌+C-2Pw PC--C.P-PM-i 程PB-Pc+Bc2-PM2+BC 4 注意室5m=2d2p网=Bd-PN=2. d=员N又可闲p≥p例 3 =2W3 则 网房网nay 故答案为： 2V3 第5页/共27页 6学科网组卷网 N M 9将由曲线十1、y=】、x=0所围成的封闭区域绕y轴旋转一用后得到的旋转体记为2， 则该旋转体2的体积为 【答案】2π 【解析】 【分析】作出曲线冈+y川=1的图象，分析旋转体2的结构特征，结合体积公式计算即可。 【详解】当x≥0且y≥0时，xx+yy=x2+y2=1,图象为4个单位圆： 当x≥0且y<0时，+y=?-少=1，图象为焦点在x销上的双曲线在第四象限的部分， 其中双曲线过第四象限的渐近线方程为y=-x,曲线方程为x=1+y(y<0): 当x<0且y20时，+=-？+少=，图象为焦点在y轴上的双曲线在第二象限的部分： 当x<0且y<0时，xx+y川=-x2-y2=1 不能成立 曲线树+=1的图象如图所示， 第6页/共27页 6学科网命组卷网 曲线冈+=1、y=小、x=0所国成的封闭区域绕y轴旋转一周， 2 旋转体2的上半部分为半径为1的半球，上半部分体积 = 旋转体2的下半部分，新近线少=-x、y=、x=0, 所围成的封闭区域绕y轴旋转一周，得到的旋转体 是底面半径为1高为1的圆锥， %∈-l,0],直线y=,与y=-x和x=1+y(y<0)分别交于点A(o,必)和B(V1+乃) 线段AB绕y轴旋转一周得到的圆环，内外圆半径分别为以和V1+, vi+ -=π 则圆环的面积为 所以第四象限双曲线渐近线与双由线之间的部分，与”一和产销所国成的封闭区线绕y轴旋转一眉。 由祖暅原理，旋转体的体积与一个底面半径为1高为1的圆柱体积相等， 14 V3=π+5π= 所以旋转体Ω的下半部分体积为 33, 所以%=2x 故答案为：2π 10.某医药研究所将在7天时间内检测3种不同抗生素类药品、3种不同抗过敏类药品、1种降压类药品若 每天只能检测1种药品，且降压类药不在第1天或第7天检测，3种不同抗生素类药品中恰有2种在相邻两 天被检测，则不同的检验时间安排方案的个数为一 【答案】2016 【解析】 【分析】根据题意，先计算3种不同抗生素类药品中恰有2种相邻两天被检测的种数，再求得1种降压类 药品安排在第1天或第7天的检测种数，结合间接法，进而得到答案。 【详解】根据题意，先计算3种不同抗生素类药品中恰有2种相邻两天被检测的种数， 第7页/共27页 命学科网命组卷网 可分三步分析：先将3种不同抗过敏类药品和1种降压类药品进行全排列， 有A好=24 情况，其排好后有5个空位可选， 再从3种不同抗生素类药品任选2种，安排在相邻的2天检测， CA号=6种， 最后和另外1种抗生素类药品，安排在4个空位中，有A=20 种排法， 此时，共有24×6×20=2880种不同的排法， 2CA3A3A4=864 其中1种降压类药品安排在第1天或第7天的检测，有 综上可得，共有2880-864=2016种不同的排法， 故答案为：2016. x2y2 y2,x2 1.如图，半椭圆京+京=1(x≥0)与半椭圆厅+。=1(x<0)组成的曲线称为果圆，其中 口=B+c2,a>0,b>c>0“果圆”与x轴的交点分别为A、4,若在“果圆"y轴右侧部分上存在点P 使得 LAPA,=2,则a的取值范周为 B2 A 0 A x 【答案)21< 1 2 【解析】 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，己知夹角的情况下，可以利用向量坐标表示数量积得到 第8页/共27页 6学科网列组卷网 相应等量关系，再有点的变化范围得到相应不等式，从得出取值范围。 【详解】设P(acos8,bsin).cos0∈(0,1) AP=(acos0+c,bsine)AP=(acos0-a,bsine) AP%=. .AP.AP=(acos0+c)(acos0-a)+b2sin20=0 a2 cos20+accos0-a2 cos0-ac+b2-b2 cos20=0 c2cos20+(ca-a2)cos0+b2-ac=0 (c2cos0+ac-b2)(cos0-1)=0 cos0-b-ac_a2-ac-c c2 c2或cos0=1(舍去)， C=1 cos0= 令a,则 2 t, cos0∈(0,1) :0<1-1-2<2 s1<-1 1 解得2 2, V5-1 故答案为：2 2 34+11=23 12.已知三角形ABC的面积为2024，AC=110,tanA'tanB,则AB= 第9页/共27页 6学科网列组卷网 【答案】 46#184v2 【解析】 34+11=23 【分析】由己知tan A tanB-25,可得1 IsinC=23sinB(sinA-cosA),由余弦定理可得 23b(sin A-cos A) 再白及一号cn4=2024,可利m4-至.是面料ms4.即可 4 11 2 求得AB 34.11 -=23 34c0s4+11c0sB=23 十 【详解】因为tan A tan B,所以sin A sin B 34cos Asin B+11sin Acos B=23sin Asin B. 11cos Asin B+11sin Acos B=23sin Asin B-23cos Asin B. Isin(+B)=23sin B(sin 4-cos) 又4+B+C=元，所以11sinC=23sinB(sinA-cosA) 23b(sin 4-cos A) 由正弦定理得1lc=23b(sinA-cos4),则c= 11 因为三角形ABC的面积为2024，b=AC=110, -bcsin A=2024 123bsin 4(sin A-cos 4)=12650(sin2A-sin Acos 4)2024 则26. 11 sin A-sin Aoos -sin-sin Acos tan-tan sin24+cos24 tan2A+125, 第10页/供27页 6学科网命组卷网 4 tan = 解得 tanA=-I 3, 7 当amAs4 3时，则 1-号osA= 所以c 23b(sin A-cos 4) 23x11043 55 .=46. 11 11 出tanA三-7时，则s0A、v2 10,c0sA=-7V2 10, 所以c=23b(sinA-cosA) 23×110 V2,7W2 1010 =184v2, 11 11 即1B=46,或4B=184V2 故答案为： 46或1842 二、选择题（本题共4题，满分18分，其中第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）· 13.事件A与B独立，A、B 分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是() A.P(AUB)=P(A)P(B) B.P(AUB)=P(A)+P(B) C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AUB)=P(4)+1-P(B) 【答案】C 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式和概率的性质逐项判断即可 【详解)事件A与B独立，A、B分别是4B的对立事件， P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) 故 故AB错误； 第11页/共27页 学科网命组卷网 P(4B)=P(0P(B),故C正确 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=P(A)+1-P(B)-P(A)[1-P(B)]=1-P(B)+P(A)P(B).D 错误。 故选：C 14已知等差数fa,}中，a,-口，且公差d<0,则其前n项和取得最大值时n的值为《） A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】 a=as,且公差d<0,故4，>0>as,4,+a=0, 所以4o+41=a,+4,=0则a0>0,41<0, 故等差数列a,}中，前10项为正数，后面都为负数。 故前n项和取得最大值时n的值为l0. 故选：C 15经过点P,-2》可以作与曲 2x3-3x-y=0 相切的不同直线共有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 【答案】D 【解析】 【分析】设切点为（云2-3）， 则切线的斜率为6x-3,又切线过点P(山，-2)，可得 4x6-6+1=0,设8(6)=4x-6G+1 由导数的单调性和零点的存在性可得8()与x轴有3个 交点，则有3条切线 【详解】设切点为，2-3x）y=6x2-3 第12页/供27页 6学科网6组卷网 则切线的斜率为 x6-3 又切线过点 P(1,-2) 所以28-3x+2=(66-3(x-1) 则4-6xG+1=0,设8()=4-6G+1, 则8'(x)=12-12,令8(6)=0. 解得6=0或=1】 当∈(o,0)和(，+0)时8'(x)>0,函数8()单调递增， 当∈(0，)时8()<0，函数8(6)单调递减。 又8(1)=4-6+1=-9<0.g(0)=1>0 g(1)=4-6+1=-1<08(2)=4×8-6×4+1=9>0 所以存在x∈(-0,0)，8()=0：∈(0,18()=0，￥∈(，+0)，g()=0 所以8，)=4-6G+l与*轴有3个交点， P(1,-2) 则经过 有3条切线。 故选：D. 16如图所示，四面体1公CD的休积为'，点M为楼BC的中点，点 E, F分别为线段DM的三等分点， 点N为线段4F的中点，过点N的平面“与棱 AB,AC,AD 分别交于 0,P,2 ，设四面 A0P9的体积 V' 为V',则V的最小值为() 第13页/供27页 6学科网6组卷网 1 1 1 A.4 B.8 C.16 D.27 【答案】C 【解析】 A0 =x AB AP 【分析】利用向量线性运算可得 ，令 AC =y可得 AN=14D+14B+ AQ =Z 12 12 AD 1 4N=,。A0+oAP+ AQ 12y 3z ,利用四点共面和基本不等式可求得z的最小值，结合棱锥体积公式 可求得结果 【详解】连接AM, D M AN-F+DF)DMD-D 第14页/供27页 6学科网命组卷网 0++0++4C 3 62 12 12 AO =x AB=A0 AB AP 令 c=y,则 AC=AP y AQ =Z AN-140+1P+40 AD AD=40 12x12y 32 1+L+1=1≥3 1 :N,0,P,Q四点共面，“12x12y32 432z(当且仅当x=y=42时取等号)， 1 .z 16: AP …d=yd 设点C到平面BAD的距离为d,则点P到平面BAD的距离为AC 女Saw-方4BA0n∠BD.成e号40A0n∠Bn 1 y_3So0以40.4g.y 3S.m'd AB-AD “y=z2 “16,即V的最小值为1 3 V 16 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用 四点共面得到z的最小值，进而代入体积公式求解。 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）· 1R已知西黄f倒=sax+p共中o>0.水号。 （1者os7c0sp-6imn3z sin=0, 4 4 求P的值： 第15页/共27页 6学科网6组卷网 (2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数()的解析式： 并求最小正实数m,使得函数 (x) 的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数 π π 【答案】(1) 2;(2)m= 0< 12 【解析】 cos cosp-sin3 π 【详解】(1)由4 sin=0 coscos-sinsin=0 4 得 4 4 又 4 (2)由(1)得，f(w=sin(or+ 4,依题意，23，又0’故 数@=3fe)=sin6x+孕 +年=红+ke2)m ,π 3m g(x)是偶函数当且仅当 kπ+π(k∈Z) 2 即 312 m=T 从而，最小正实数”12。 18.如图，在直角梯形ABCD中，ABIIDC,∠ABC=90°，AB=2DC=2BC,E为AB的中点，沿 DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB,M为PB的中点，N是线段BC上的动点 D D B 第16页/共27页 学科网 组卷网 (1)求证：平面EMN⊥平面PBC; VM-EBN1 (2)当三棱锥M-EBN与四棱锥P-EBCD的体积之比为'，BCD6时，求直线BV与平面PBC所成 角的正弦值. 【答案】(1) 依题意可知，四边形EBCD是正方形，AE⊥DE,(折叠后PE⊥DE) PE⊥ER,DEOEB=-E,DE,EBC平面EBCD,所PE⊥平面EBCD 由 由于BCC平面EBCD,所以PE⊥BC, 由 BC⊥EB,PEOEB=E,PE,BBC平面PBE,所以BCL平面PBE. 由于EMC平面PBE,所以BC⊥EM, PE=BEB,M是PB的中点，所以EM1PB 由于 有 BCoPB=-B,BC,PBC平面PBC,所以EM⊥平面PBC, 由于EMc平面EMN,所以平面EMN⊥平面PBC: 3V26 (2)26 【解析】 【分析】(I)先利用线面垂直的判定定理证得EM⊥平面PBC,从而证得平面EMN⊥平面PBC: (2)先利用定义判断出直线EN与平面PBC所成角，然后解直角三角形来求得正确答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第17页/供27页 学科网 命组卷网 设AB=2DC=2BC=4,由(1)得EM⊥平面PBC, 所以∠MNE是直线EN与平面PBC所成角， 2 依题意V,-BCD 2=BN=} 1 SBD·PE 228 6,则 BN= 4 所以EN= 2+ 213 3EM=21 √232 3W26 所以直线BN与平面PBC所成角的正弦值为2V32V3 26 3 D M D B 19.某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了 邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定 (1)求当天小王的该邮箱被锁定的概率： (2)设当天小王尝试该邮箱的密码次数为X,求X的分布列及E[X冈，D[X]的值 【答案】(1)2 (2)X的分布列为： 2 3 1 1 P 6 6 2-3 第18页/供27页 6学科网命组卷网 x-.p品 【分析】(1)“当天小王的该邮箱被锁定”即3次尝试均错误，进而求解： (2)由题X可能取到1,2,3，分别求得概率，列出分布列，根据期望和方差的公式求解即可 【小问1详解】 设“当天小王的该邮箱被锁定”为事件A, w(o 【小问2详解】 由题意，X可能取到1,2,3， Px=)-6Px-2刘-名写8，Px=君1-号 5.4 13, 所以X的分布列为： X 1 2 3 1 2 6 6 3 以-+2g号--引哈2-引公0引号日 6 6 20.已知双曲线 T:x2-y2= 的左、右顶点分别为点4、B,M为双曲线「上的动点，点Q(0,2） (1)求点M到「的两条渐近线的距离之积： (2)求经过点9的双曲线「的切线方程： (3)设点P在第一象限，且在渐近线的上方，直线PA,PB分别与y轴交于点C,D过点P作「的两条切 线，分别与y轴交于点E,F(E在F的上方)，证明： ICEHDF 【答案】(1)2 (2)y=±V5.x+2 第19页/共27页 6学科网列组卷网 (3) 设P）,￥-h<0.A(-L0).B1,0) 前以袋P4的程为车+，级P阳的方程为点红-) C0,2)D0,-2) 所以x2+1, x2-1', 设过P且与双曲线相切的直线方程为'=(-无)+力， [y=k(x-x2)+2 联立x2-y2=1 所以0-)m+2k2-2,)x+2c52-k2-巧-1=0 所以△=(4x-4k2-8xk+45+4=0 所以（传-k2-2xk+巧+1=0 ki k2 设直线PE,PF的斜率分别为， 所以+名= 2x2y2 x号-1，所以PE的方程为y=k(x-)+2, 所以B0,片），同理PF的方程为'=k-)+片， 第20页/供27页 6学科网列组卷网 所以F0,⅓k5),所以k+%=片-夕-2头 x2+1x2-1x号-1，yg+yF =2y2-(k+k)x2=2y2- 2x5丛=-2 x3-1x2-1, 所以e+n=g+ye 所以'g-必e=n一ye 所以ys-eHyo-yl CEDF 所以 【解析】 【分析】(1)设出点M的坐标，写出关系式，求出两个渐近线方程，求出点M到「的两条渐近线的距离 之积： y=k+2 0 k (2)设经过点的切线方程为 ,联立直线与双曲线方程，根据判别式为求出，求出切线方 程： (3)设P(,乃），再由4B坐标得到直线PA,PB的方程，维而可行C,D坐标，设过P且与双曲线相切 的直线为)=x-)+片，联立双曲线与直线方程，由△=0及韦达定理可得 ,F 坐标，继而可得 %+%=+,即a-%=n一e,即e-e日n一e,即可求证 【小问1详解】 设点M,）,所以-=1， x±y=0 两个渐近线方程为 -川x+_x2-1 所以点M到T的两条渐近线的距离之积为 √2√2 2 2； 第21页/共27页 6学科网列组卷网 【小问2详解】 由题意得切线方程斜率存在， y=c+2 设经过点的切线方程为 x2-y2=1 联立y=x+2,所以1-k2x2-4x-5=0 因为直线与双曲线相切，所以△=一-4k2+20=0 所以k=士V5,所以切线方程为y=士5x+2 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的相切关系，解题关键是直线与双曲线的相 切关系本题中设过P且与双曲线相切的直线为'=k(x-)+少，联立双曲线与直线方程，由△=0及韦 达定理可得：+水= 2x2y2 ，-2=-2% .则⅓+%=2%-6+压=2%店，又 yc+yD=- 2y2 x号-1，得yc+yo=ye+yr,即yE-ye=yp-yr,即yE-ycHyp-yr,即可求证 e 21.设2，已知函数y=f(w)的解析为f()=(x-2)e*-a(x2-2x)+2 ,a< (1)当a= 0时，求函数y=四 的最小值： 时函数f (2)证明当a∈（∞， 至多有两个零点： (3)如果函数y=f(四有3个不同的零点，分别设为、、，求实数a的取值范围：如果 ·名<0，进一步证明存在唯一的实数口，使得、、成等差数列 第22页/共27页 6学科网命组卷网 【答案】(1)2-e (2) f()=(x-2)e"-a(x2-2x)+2,f(x)=(x-I)e"-2a(x-1)=(x-1)(c"-2a), a≤0时，c-2a>0恒成立， 当x<1时，)<0，函数y=田在(0,1)上单调递减， 当x>1时，f)>0,函数y=f在（，+o)上单调递增， ,a∈(-o,0 故当 时函数)】 至多有两个零点： sG-2. 证明如下： 因为0)=0，f2)=2,结合(2)中结论得。∈(，2)， 。1 ①当a02)时，若存在符合题意的实数a,则由于X5<0, 因此，名<0<书书=0 因此，方，，成等差数列可得出=一 [(x-2)(e-a)+2=0 考虑1(-x-2)er+a四)+2=0即e+e-2,+2 =0, x+2'x-2 这等价于(e+e(r-4）+8=0 令(x=(e+e*(x-4）+8 所以8'()=2x(e+e)+(e-e(r-4). 令p(=2x(e+e）+(e-e)(r-4 第23页/共27页 命学科网命组卷网 则p'(x)=(x2-2e+e）+4x(e-e） 令p()=(x-2(e+e)+4x(e-e） 则p()=6x(e+e）+(e-e(xr2+2) 当1<x<2时，p()>0,则()单调递增，即函数p(单调递增， 南P(小p刊=c尽0.则P年.茄高货g单造。 因为30-日e<0,g2)=0+号>0 0,所以8()在（山，2)上存在唯一零点，记为， 当1<x<时，8)<0，即函数8()在凸七)上单调递减。 当。<x<2时，g)>0,即函数8()在，2)上单调递增。 80-(e+日k-3+8<0,g)=8>0. 因此8（田）在（，6)上无零点，在，2)上存在唯一的零点 使得x、x2、x3成等差数列 2 时f)=-2e-G-25+2=0,得a-562 @2e-2 时，ln2a>0,则x=0<x2<x3,不合题意， 2 医上所述，存在唯一的实数“、伍2便5、小5成等若家列 【解析】 第24页/共27页 6学科网命组卷网 【分析】(1)当a=0时，利用导数求函数单调性，由单调性得函数最小值点，可求函数的最小值： ∈(-∞，0] (2)当 时，利用导数求函数单调性，由单调性判断函数零点个数； (3)结合函数单调性求函数y=f()有3个不同的零点的条件，得实数α的取值范围：、、成等 差数列时，通过构造函数，求结论成立所需条件 【小问1详解】 当a=0时，f闭=(x-2e+2.则f')=(x-le 当x<1时，f()<0,函数y=f在（-0,1)上单调递减， 当x>1时，f(y>0,函数y=f在山，+o)上单调递增， 所以函数'=f田的最小值为0=2-e 【小问2详解】 略 【小问3详解】 fw=x-2e*-a(r-2x+2,则f'=x-1e-2a(x-)=(x-l(e-2a, a∈(-o,0] 由(2)可知， 时不合题意， 0<a< 2时，ln2a<1, f)>0解得x<h2a段>1.f)<0.解得h2a<x<1 ,解得 函数y=f(y在（-，1h2a和（，+o）上单调递增，在（血2a,上单调递减。 fI)=2+a-e<0 由函数y=f(x)有3个不同的零点，则fn2a)>0 第25页/供27页 命学科网命组卷网 又fm2四=-a(m2a-2)2+2=c2(m2a-2)2+2 令1=h2a∈(-o,l）,记fm2a=h0) 0-6:2+2,10-心2 2 2 当∈(0,1)时，h0>0,函数h单调递增， 当1∈(-o,0)时，h0<0,函数h(单调递减， a=- 所以h()≥g(0)=0,即fm2a)≥0，当且仅当“=2时取等号， fI)=2+a-e<0 故不等式组f2a>0 解失为(0}行-2. 因为f(2)=2>0, )o 故ya(0ge-2 时函数y=f(x)有3个不同的零点， 证明：略 【点睛】方法点睛： 1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题， 注意分类讨论与数形结合思想的应用：二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问 题处理. 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨 论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用 这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效 第26页/供27页 命学科网组卷网 第27页/共27页