第十五章 分式全章复习 课件 2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十五章 分式全章复习 实际问题 列式 列方程 分式方程 分式 类比分 数性质 分式基本性质 类比分 数运算 分式的运算 分式方程的解 目标 整式方程 去分母 解整式方程 整式方程的解 检验 实际 问题 的解 目标 首先我们再来回顾一下本章的知识结构图,上节课我们复习了分式的相关知识,加深了对分式这部分知识的理解与掌握,那么本节课我们着重复习分式方程的相关知识. 2 分式 分式基本性质 分式的概念 分式的运算 本节课我们着重复习分式的相关知识,主要从分式的概念、分式的基本性质,和分式的运算三方面来着重复习. 3 分式的概念 分式定义:一般地,如果A,B表示两个整式, 并且B中含有字母,那么式子叫做分式. 如: . 那么我们先来回顾一下分式的相关概念. 什么是分式呢? 一般地,如果A,B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子叫做分式. 如: . 4 分式的概念 分式定义:一般地,如果A,B表示两个整式, 并且B中含有字母,那么式子叫做分式. 如: . 当x 时,分式 有意义. 当B≠0时 分式有意义. 例 那么,我们具体来做一道例题,当x 满足什么条件时,分式 有意义. 类比分数有意义的条件,分母≠0时分数有意义,所以当分母B≠0时分式 有意义. 由此可得,3x-1≠0,解得 . 5 当B≠0时,分式有意义; 当A=0且B≠0时,分式值为0. 当B=0时,分式无意义; 总结这类问题的解题策略,当B≠0时分式才有意义;当B=0时分式无意义; 当A=0且B≠0时分式值为0. 6 下列各式正确的是( ). 练习 分式基本性质: A. C. B. D. D 约分依据: 分式基本性质. 再次强调,约分的理论依据是分式的基本性质. 现在请同学们完成下面的问题.练习 下列各式中,正确的是( ).A. B. C. D. 我们来看A选项,等号左边的分式,分子分母没有公因式了,它已经是最简分式了,不能约分了,所以A错了. 再看B选项,等号左边的分式已经是最简分式了,不能约分了,所以B也错了. C选项,分子分母的公因式就是(x-y),约分得1,不得0,所以C也错了. 由排除法可知最后答案选D,再看D选项,等号左边分式的分母先因式分解,然后约分化为最简分式,正好等于等号右边,故D选项是对的. 7 分式的运算 例 计算: 分式乘除法: . . ; 下面请同学们和我一起复习分式的运算专题. 我们具体来做几道分式的计算题. 计算 ,这是两个分式相除,我们先来复习一下分式乘除法的法则 分式乘法法则是,两个分式相乘,把分子的积作为积的分子,把分母的积作为积的分母. 符号语言为 分式除法法则是,两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,与被除式相乘. 符号语言为 8 分式的运算 例 计算: 解:原式 分式乘除法: 约分,将运算结果化为最简. . . . ; 依据分式除法法则,此题我们需要先把除式 的分子、分母颠倒位置后与被除式 相乘,然后将分母3m与a 的积作为积的分母,分子 -4n与 的积作为积的分子,然后约分等于 . 或者我们也可以将分母中的3m 与分子中的 进行约分,再将所得的结果相乘,也能得到化简的结果. 总之,要约分,将运算结果化为最简. 9 例 计算: 解:原式 分式加减法: 同分母分式加减: 先判断是同分母还是异分母分式加减. . . 现在请同学们完成这道题,计算 ,这是两个分式相加,分式的加减运算要先判断是同分母还是异分母分式加减,此题它们的分母不同,但a-b 与b-a 互为相反数,根据分式的符号法则,我们同时改变 的分母和分式的符号就可以将原式变成 了.它们的分母都是a-b ,是相同的,根据同分母分式加减法法则,同分母分式加减,分母不变,把分子相加减. 符号语言为 10 例 计算: 解:原式 分式加减法: 同分母分式加减: 先判断是同分母还是异分母分式加减. . . . 相信同学们都已经得出 ,这个分式不是最简分式,分式的分子或分母是多项式时,我们先因式分解,再约分化简. 我们用平方差公式将分子 分解成a+ b乘a-b差,然后约分等于 . 你做对了吗? 11 例 计算: 分式加减法: 先通分,化为 同分母分式加减. 异分母分式加减: . . 现在请同学们完成这道题,计算 ,这也是分式的加减运算,要先判断是同分母还是异分母分式加减,很显然,它们的分母分别是 和x-2 ,是不同的,是异分母分式加减,异分母分式加减,要先通分,变为同分母的分式,再加减. 符号语言为: 12 例 计算: 解:原式 分式加减法: 先通分,化为 同分母分式加减. 异分母分式加减: 通分关键:找最简公分母. 通分依据:分式基本性质. . . 此题我们要先把分母 分解因式,原式= ,可以确定最简公分母为x+2乘以x-2,根据分式的基本性质将分式 的分子和分母同时乘x+2 ,完成通分,我们可以发现通分的关键是找最简公分母,通分的依据是分式基本性质. 13 例 计算: 解:原式 分式加减法: 先通分,化为 同分母分式加减. 异分母分式加减: 通分关键:找最简公分母. 分子是多项式时需加括号. 通分依据:分式基本性质. . . . 分母互为相反数 分母有多项式 分母都是单项式 通分后我们将异分母分式相减转化成了同分母分式相减,根据同分母分式加减法法则,分母不变,分子相减,注意当分子是多项式时,需要加括号,这道题括号前面是负号,去掉负号和括号,并将分子合并同类项后得 ,然后约分等于 . 你做对了吗? 14 例 计算: 解:原式 异分母分式加减运算步骤: 2. 通分,化为同分母分式 加减; 1.先确定最简公分母; 3.分母不变,分子相加减; 4.若有同类项要合并同类项; 5.能约分要约分,结果化为最简. . . 结合这道题,我们总结一下异分母分式加减的运算步骤:1.先确定最简公分母; 2.先通分,化为同分母分式加减; 3.分母不变,分子相加减; 4.若有同类项要合并同类项; 5.能约分要约分,结果化为最简. 同学们还需课下多研究、多体验,获得更多的解题经验. 15 例 计算: 解:原式 解:原式 . . . . 判断: 同学们,右侧是小明同学解答过程,他做对了吗?请你来帮他检查一下吧! 16 例 计算: 解:原式 解:原式 不可以去分母 . . . . 判断: 相信同学们已经发现小明同学第二步做错了,异分母分式加减运算应该通分,而不是去分母,如果是解分式方程才可以去分母,去分母的理论依据是等式的基本性质。同学们也要注意哦。 17 例 先化简 解:原式 代入求出代数式的值. 分式混合运算的运算顺序: 先乘方,再乘除,最后加减,有括号时先算括号内的运算. 再选一个你喜欢的值, , 现在请同学们和我一起做这道题,先化简 ,再选一个你喜欢的值,代入求出代数式的值. 这是一道分式的混合运算,一定要注意运算顺序,即先乘方,再乘除,最后加减,有括号时先算括号内的运算. 此题先求小括号内1与分式 的和,再求与分式 的商,小括号内要先通分,小括号外依据分式除法法则,可以先把除式 的分子、分母颠倒位置 那么请同学们帮我将第一步补充完整 18 例 先化简 解:原式 代入求出代数式的值. 分式混合运算的运算顺序: 先乘方,再乘除,最后加减,有括号时先算括号内的运算. 再选一个你喜欢的值, , 非常好,1我们可以写成 ,小括号外乘以 19 例 先化简 解:原式 代入求出代数式的值. 分式混合运算的运算顺序: 先乘方,再乘除,最后加减,有括号时先算括号内的运算. 再选一个你喜欢的值, . , 小括号内同分母分式相加得 ,分式乘法运算要对多项式分解因式,分母 分解因式得 ,分子 分解因式得 ,然后进行两个分式乘法运算,把分子的积作为积的分子,把分母的积作为积的分母,约分化简得 。 或者我们也可以将分母中的a-2 与分子中的a-2约分,再将分子中的a-2+3即a+1 与分母中的a+1 进行约分,再将所得的结果相乘,也能得到化简的结果. 化简完成后不要急着做下一题,还有一问没有解决呢。 20 例 先化简 解:原式 代入求出代数式的值. 再选一个你喜欢的值, . , . 取值条件:分式有意义. . 判断: 题目还要求选一个你喜欢的值,代入求出代数式的值. 下面是小兰同学求值过程,她做对了吗?请你来帮她检查一下吧! 非常好,有同学已经发现了问题,小兰同学做错了,a不可以等于2,不符合题目对取值条件的要求,我们一起来看看题目的取值条件是什么呢,是的取值条件是分式要有意义,即整个运算过程中分式的分母不能等于0, 由此,我们得出 。 21 课堂小结 分式 分式基本性质 分式的概念 分式的运算 分式有意义 分式值为0 分式的约分 分式的通分 分式的加减 分式的乘除 分式的乘方 类比分数的基本性质 类比分数的运算 应用 同学们,本节课我们主要围绕分式的知识展开了三方面的复习, 1、分式的概念,掌握分式有意义和值为零时字母的取值范围;2、分式的基本性质,能利用分数段基本性质进行通分和约分;3、分式运算,能熟练、准确的进行分式的加减乘除等运算. 22 分式方程 解法 概念 应用 我们将从分式方程的概念、解法以及应用三方面进行复习. 23 分式方程的概念 分式方程定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 如: . 分式方程的解:使方程中等号两边相等的未知数的值,就是 分式方程的解. 是的,分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 如: . 那什么是分式方程的解呢?相信同学们可以类比一元一次方程的解的概念,得出分式方程的解的定义,即,使分式方程等号两边相等的未知数的值就是分式方程的解. 24 分式方程的概念 分式方程定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 如: . 分式方程的解:使方程中等号两边相等的未知数的值,就是 分式方程的解. 例 当m= 时,关于x的方程 的解为1. x=1 我们一起来看一道例题,当m 为何值时,关于x方程 的解为1.相信同学们已经发现关于x方程的解为1翻译成符号语言就是x=1,将x=1代入原方程,转化为关于m的分式方程,就可以解出m= . 你做对了吗. 25 练习 x=2是否为方程 的解?答: . 不是 x=2时分式无意义. 我们再来看一道练习题, x=2是否为方程 的解?对,x=2不是原方程的解,因为x-2 是分母,x=2时分式无意义. 26 分式方程的解法 例 解分式方程: . 下面请同学们和我一起复习分式方程的解法. 我们具体来做一道解分式方程的例题,想一想怎样解这个分式方程呢? 分式方程的特点是分母中含有未知数,解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程.具体怎样转化为整式方程呢?需要去分母,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法. 此题的最简公分母是什么呢? 27 例 解分式方程: . 解: 去分母,得 . 原方程变形为 . 整理,得 . 解得 . 确定最简公分母 不要漏乘 去括号注意负号要变号 . 此题做完了吗? 若分式方程的分母可以因式分解,则先对分母进行因式分解,得到最简公分母 ,此题最简公分母是 ;然后依据等式的性质,将方程两边都乘以最简公分母,通过去分母把分式方程转化为整式方程,注意,每一项都要乘最简公分母,不要漏乘;再求出整式方程的解,注意去括号时 ,若括号前面是负号,要变号;解整式方程得 . 此题做完了吗? 28 例 解分式方程: . 检验: ∴原分式方程的解为 . 最简公分母 , 当 时, 是的,没有做完,相信同学们都明白要对整式方程的解进行检验. 也就是要把 代入最简公分母 中,最简公分母 ,分式方程有意义,所以,原分式方程的解为 . 你做对了吗. 29 解分式方程的步骤: 去分母,把分式方程转化为整式方程; 解这个整式方程; 检验是否为原分式方程的解. 化 检 解 我们一起总结一下解分式方程的步骤,主要是三步曲:一化二解三检,一化,即去分母,把分式方程转化为整式方程;二解,即解这个整式方程;三检、即将整式方程的解代入最简公分母,检验最简公分母是否为0. 若最简公分母为0,原分式方程无意义,若最简公分母不为0,原分式方程有意义,整式方程的解也是分式方程的解. 在此强调一下: 解分式方程的关键步骤是”去分母”,“检验”是必不可少的,主要运用了“化归”的数学思想. 30 练习 解分式方程: . 现在请同学们完成下面的练习题. 解方程 . 31 练习 解分式方程: . 检验:当 时, 因此 不是原分式方程的解. 解: 去分母,得 . 原方程变形为 . 解得 . 最简公分母 , ∴原分式方程无解. 先对分式方程的分母进行因式分解,得到最简公分母 ,去分母,将方程两边都乘以最简公分母 ,每一项都要乘最简公分母,不要漏乘;再求出整式方程的解 ,检验,当x=1时,代入最简公分母 中,最简公分母 ,分式方程无意义,因此x=1不是原分式方程的解. 所以,原分式方程无解. 你做对了吗. 32 分式方程的应用 例 某小区购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境,购买银杏树用了12000元,购买玉兰树用了9000元.已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍,求银杏树和玉兰树的单价. 数学来源于生活又作用于生活,请同学们与我一起进入分式方程的应用复习专题吧. 在实际生活中有这样一个问题,某小区购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境,购买银杏树用了12000元,购买玉兰树用了9000元.已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍,求银杏树和玉兰树的单价. 首先我们一起回忆一下解实际问题的一般步骤是什么?是的,一般步骤为:审、设、列、解、检、答. 33 例 某小区购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境,购买银杏树用了12000元,购买玉兰树用了9000元.已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍,求银杏树和玉兰树的单价. 设银杏树的单价为x元,则玉兰树的单价为1.5x元. 银杏树的棵数 + 玉兰树的棵数 = 150棵 现在我们一起分析,经过审题可知银杏树和玉兰树共150棵,关键词“共”代表一个等量关系,即银杏树+玉兰树=150棵,说明此题需要用方程模型来解决. 因为玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍,我们可以设: 银杏树的单价为x元,玉兰树的单价为1.5x元.现在将得到的等量关系转化为符号语言. 34 例 某小区购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境,购买银杏树用了12000元,购买玉兰树用了9000元.已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍,求银杏树和玉兰树的单价. 设银杏树的单价为x元,则玉兰树的单价为1.5x元. 银杏树的棵数 + 玉兰树的棵数 = 150棵 + = 150 因为购买银杏树用了12000元,所以银杏树的棵数为 棵 .购买玉兰树用了9000元,所以玉兰树的棵数为 棵.于是得到方程 . 问题即将解决. 35 解:设银杏树的单价为x元,则玉兰树的单价为1.5x元. 请同学们和我一起书写过程.解:设银杏树的单价为x元,则玉兰树的单价为1.5x元. 36 答:银杏树单价为120元,玉兰树单价为180元. 依题意,得 . 整理得 . 解得 . 检验:当 时, 因此 是原分式方程的解,并符合题意. 最简公分母 , 解:设银杏树的单价为x元,则玉兰树的单价为1.5x元. . 依题意,得 . 整理得 . 解得 . 由于我们列的是分式方程,所以一定不要忘记检验:当 x=120时,最简公分母1.5x≠0,因此x=120是原方程的解,并符合题意. 不要忘记实际问题一定要考虑是否符合题意,也就是要双检验. 所以我们求出银杏树的单价为120元,因为玉兰树的单价1.5x, 1.5x=180 .即玉兰树的单价为180元,最后不要忘记答题,答: 银杏树的单价为120元,玉兰树的单价为180元. 因此实际问题的解题思路是,在审题时抓住问题中表示等量关系的关键词,得到等量关系,经过符号化,建立分式方程的数学模型解决问题. 37 车方式所用时间是自驾车方式所用时间的 . 设小王自驾车方式上班平均每小时行驶x千米. 已知小王家距上班地点18千米.他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米,他从家出发到达上班地点,乘公交 自驾车方式 乘公交车方式 路程(km) 18 18 速度(km/h) x (2x+9) 时间(h) 因为时间=路程 速度,所以由表格信息可得,自驾车时间为 h,乘公交车时间为 h . 38 解:设小王自驾车方式上班平均每小时行驶x千米. 依题意,得 . 整理,得 . 解得 . 答:小王自驾车方式上班平均每小时行驶27千米. 检验:当 时, 因此 是原分式方程的解,并符合题意. 最简公分母7x(2x+9)≠0 , , 依题意得: .整理,得 . 解得 x=27 . 注意,一定要检验,当 x=27时,最简公分母 ,因此x=27是原方程的解,并符合题意. 最后答题, 小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米. 你做对了吗. 实际问题中,如果题目中数量较多,关系复杂,我们可以借助表格来分析题意,得到等量关系,建立分式方程的数学模型解决问题. 39 分 式 方 程 解法 概念 应用 分式方程定义 化 检 解 一般步骤 画关键词、列表格等 一般步骤 审 设 列 解 双检 答 分析方法 去分母转化为整式方程 解这个整式方程 检验是否为原分式方程的解 分式方程的解 同学们,本节课我们主要围绕分式方程的知识展开了三方面的复习, 1、分式方程的概念,了解分式方程及分式方程的解的定义;2、分式方程的解法,我们要熟练掌握解分式方程的一般步骤,准确求解分式方程,明确检验的重要性;3、分式方程的应用,感受数学在实际生产生活中的应用,会画关键词或表格分析题意,进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型. 40 $$