小升初典型奥数：追及问题 (讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

追及问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、追及问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 二、追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 三、解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 第二部分 典型例题 例题1：当甲在60m赛跑中冲过终点线时，比乙领先10m，比丙领先20m。如果乙和丙按各自原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时，将比丙领先几米？ 【答案】12米 【分析】先求出乙和丙的速度比，再根据速度比列出比例解答即可。 【详解】乙和丙的速度比为（60－10）∶（60－20）＝5∶4 解：设乙到达终点时，比丙领先x m。 5∶4＝10∶（20－x） 5（20-x）=40 100-5x=40 5x=60 x＝12 答：将比丙领先12米。 【点睛】本题考查了比例应用题，求出乙和丙的速度比是关键。 例题2：甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。 【答案】780米 【分析】先画图如下： 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟。而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：26－6＝20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD。即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为：50×（26＋6）＝1600（米）。所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），再根据相遇问题：相遇路程＝速度和×相遇时间，可求出A、B间的距离。 【详解】先画图如下： 根据分析： 甲从C走到D所用时间：26－6＝20（分） 乙从C走到D所用时间：26＋6＝32（分） CD表示的路程为：50×（26＋6）＝1600（米） 甲的速度：1600÷20＝80（米/分） 相遇路程：（80＋50）×6＝780（米） 答：A、B两地的距离是780米。 【点睛】本题主要考查行程问题中的相遇与追及问题，准确找出对应路程，对应速度，对应时间是解题的关键。 例题3：一架飞机从机场出发到某地执行任务，原计划每分钟飞行8千米．为了争取时间，现将飞行速度提高到每分钟12千米，结果比计划早到了40分钟．问机场与目的地相距多远？ 【答案】960千米 【分析】将此题可看作是追及问题．一架每分钟飞行8千米的飞机，飞行40分钟后，另一架每分钟飞行12千米的飞机，沿第一架飞机的飞行路线从后面赶来，两架飞机同时到达目的地． 【详解】路程差：8×40=320（千米） 追及时间：320÷（12－8）＝80（分钟），即第二架飞机的飞行时间． 则这段路程：12×80=960（千米） 答：机场与目的地相距960千米． 例题4：小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度。 【答案】125米／分钟 【详解】（米） ＝400÷5 ＝8（分钟） （米/分钟）。 答：小强骑自行车的速度是125米/分钟。 第三部分 高频真题 1．列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长320米，速度为每秒17米。列车与货车从相遇到相离需要多少秒？ 2．小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？ 3．小强每分钟走米，小季每分钟走米，两人同时从同一地点背向走了分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？ 4．六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走米，分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？ 5．张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时? 6．甲、乙两船分别从A港顺水而上，静水中甲船每小时行18千米，乙船每小时行15千米，水速为每小时3千米，乙船出发2小时后，甲船才开始出发，当甲船追上乙船时，乙离开A港多少千米？ 7．A、B、C三人要从甲地到乙地，步行速度都是每小时5千米，骑车速度都是每小时20千米．现在只有一辆自行车，他们想了一个办法：先让A骑车走，同时B、C步行；A骑了一段后，再换步行而把车放在途中，留给B接着骑；B骑一段后，再换步行而把车放在途中，留给C接着骑到乙地．这样，A、B、C三人恰好同时到达乙地．已知甲地到乙地全长12千米，那么，从甲地到乙地共用了多少小时？ 8．小钱和小塘是同班同学且住在同一幢楼。早上7：40分，小钱出发骑车去学校，7：46分时追上一直匀速步行的小塘，这时想起未带马克笔，立即将速度提高到原来的2倍返回，到家拿好笔之后继续出发去学校，结果两人在8：00同时到达学校，已知小钱在家找笔花了6分钟，那么小塘是几时从家出发的？ 9．钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快2分．星期天上午9点整，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭．钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？ 10．在一条长400米的环形跑道上，正在进行一场5000米的长跑比赛．1号队员的平均跑步速度是每秒6米，2号队员平均每分钟跑0．8圈．当1号队员与2号队员在比赛开始一段时间后又并肩而跑的时候，l号队员距离终点还有多远？ 11．甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶10千米，乙每小时行驶15千米，问：乙经过多长时间能追上甲？ 12．一辆长为12米的大客车以每秒8米的速度由A地开往B地，在距B地4000米处遇见一个行人，l秒后大客车经过这个行人．大客车到达B地休息了10分钟后返回A地，途中追上这个行人．大客车从遇到行人到追上行人共用了多少分钟？ 13．两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米．甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？ 14．有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分钟追上丙，那么甲出发后需多少分钟才能追上乙。 15．甲、乙、丙三人从同一地点出发，沿同一路线追赶前面的小舟，这时三人分别用5分钟、8分钟、10分钟追上小舟．已知甲每小时走36千米，乙每小时走30千米．求丙的速度？ 16．甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人．已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙车的速度是多少？ 17．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯。所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换。一辆汽车通过第一个红绿灯后，以怎样的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？ 18．甲、乙两车同时由A地到B地，甲车每小时行45千米，乙车每小时行30千米，乙车先出发2小时后甲车才出发，两车同时到达B地。求A，B两地的距离。 19．甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人．已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速度是多少？ 20．甲、乙两城间的铁路长360千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇．如果两车从两城同时同向出发，慢车在前，快车在后，12小时快车可以追上慢车，求两车的速度各是多少？ 21．一架敌机侵犯我国领空，我机立即起飞迎击，在两机相距50千米时，敌机调转机头，以每分钟15千米的速度逃跑．我机以每分钟23千米的速度追击，当追至距敌机2千米时，我机与敌机展开激战，仅用半分钟就将敌机击落．敌机从逃跑到被我机歼灭这段时间共用几分钟？ 22．甲乙两人同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时25千米，请问： （1）出发多长时间，甲第一次追上乙？ （2）出发多长时间，甲第二次追上乙？ 23．有甲、乙两列火车，甲车车长115米，每秒钟行驶27米，乙车车长130米，每秒钟行驶32米．从甲车追及乙车到两车离开，共需多长时间？ 24．甲地和乙地相距千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行千米，兵兵每小时行千米，当平平走了千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？ 25．甲、乙二人进行短跑训练，如果甲让乙先跑40米，则甲需要跑20秒追上乙；如果甲让乙先跑6秒，则甲仅用9秒就能追上乙．求：甲、乙二人的速度各是多少？ 26．甲、乙两船在静水中的速度分别是每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？ 27．甲乙两人分别从相距60千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车，已知甲骑车的速度是每小时21千米，乙骑车的速度是每小时9千米，问出发多长时间，甲第一次追上乙？再过多长时间甲第二次追上乙？ 28．小巧以65米/分的步行速度从家里出发去少年宫．出发16分钟后，妈妈发现小巧把学习资料袋忘在家里了，于是骑车以185米/分的速度去追．已知小巧家与少年宫之间的路程是1800米，妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她吗？ 29．早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是15千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？ 30．甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙．甲和丙的速度比是多少？ 31．在一条马路上，小明骑车与小光同向而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽车超过小明．已知公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，问：相邻两车间隔几分？ 32．甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方。此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。甲每小时行多少米？ 33．一架飞机从甲地开往乙地，原计划每分钟飞行9千米，现在按每分钟12千米的速度飞行，结果比原计划提前半小时到达，甲、乙两地相距多少千米？ 34．甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米．问：（1） A， B相距多少米？（2）如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？ 35．狗、兔进行 3000m 赛跑，狗离终点还有 500m 时，兔离终点还有 1000m，如果速度不变，当狗到终点时，兔离终点多少米？ 36．骑车人以每分钟300米的速度，从8路汽车的始发站出发，沿8路车路线前进。骑车人离开出发地2100米时，一辆8路汽车开出了始发站，这辆汽车每分钟行500米，行5分钟到达一站并停1分钟，那么要用多少分钟汽车才能追上骑车人？ 37．A、B两地相距260米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，同向而行（甲是往B方向出发的）。已知甲每秒钟走5米，乙每秒钟走3米，那么甲出发多长时间后可以追上乙？ 38．甲、乙两人以每分60米的速度同时、同地、同向步行出发。走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙，甲骑车多少分钟才能追上乙？ 39．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，他们在距中点160米处相遇。出发时，甲看了下手表，当时是下午六点多，时针与分针的夹角为；相遇时，甲又看了下手表，还没有到下午七点，但时针与分针的夹角仍然为。如果甲出发后在途中某地停留了一段时间，两人还是在距中点160米处相遇，且已知甲的速度为80米/分钟，问甲在途中停留了多少分钟？ 40．甲、乙的速度之比为5∶2，它们在相距6千米的位置同时出发，同向而行，甲追上乙的时候，乙走了多少千米？ 41．甲从A出发，每分钟走50米，甲出发30分钟后，乙也从A出发，去追甲，乙每分钟走80米。那么乙出发多长时间后追上了甲？ 42．、两地间有条公路，甲从地出发，步行到地，乙骑摩托车从地出发，不停地往返于、两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达地时，乙追上甲几次？ 43．甲、乙二人沿着同一条米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后米处起跑，当甲离终点还有米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？ 44．甲、乙两辆汽车同时从地出发去地，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米．途中甲车出故障停车修理了小时，结果甲车比乙车迟到小时到达地．、两地间的路程是多少？ 45．小轿车每小时比面包车每小时多行6千米，它们同时同地出发，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已超过城门9千米，求出发点到城门的距离． 46．一列快车全长米，每秒行米；一列慢车全长米，每秒行米。 （1）两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？ （2）两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？ 47．小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑自行车去追，每分行375米，爸爸出发多少分后能追上小明？ 48．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，多少分钟能追上？ 49．甲、乙两地相距 240 千米，一列慢车从甲地出发，每小时行 60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行 90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计） 50．龟兔进行1000米的赛跑，小兔心想：我1分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．比赛开始后，当小兔跑到全程一半时，发现把乌龟甩得老远，便在路旁睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了拔腿就跑．当胜利者到达终点时，另一个距终点还有几米？ 51．甲、乙两车同时同地出发去同一地点，甲车速度为42千米／小时，乙车速度为35千米／小时．途中甲车停车5小时，结果甲车比乙车迟1小时到达目的地，求两地间的距离？ 参考答案： 1．190秒 【分析】列车与货车从相遇到相离的路程差为两车车长，先求出列车速度和车长，在根据路程差÷速度差＝追及时间，可得列车与货车从相遇到相离所用时间，据此解答。 【详解】列车的速度是： （250－210）÷（25－23） ＝40÷2 ＝20（米/秒）， 列车的车身长：20×25－250＝250（米）。 列车与货车从相遇到相离所用时间为： （250＋320）÷（20－17） ＝570÷3 ＝190（秒）。 【点睛】本题考查了追及问题，灵活运用路程差÷速度差＝追击时间，这一公式。 2．4分钟．1120米 【详解】 当爸爸开始追小明时，小明已经离家：(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短(米)，也就是爸爸与小明的速度差为 (米/分),爸爸追及的时间：(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发(分钟)，此时离家的距离是：(米) 3．2940米 【详解】小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：(米)追及时间为：(分钟)小强走的总路程为：(米) 4．192米 【详解】同学们分钟走（米），即路程差．然后根据速度差＝路程差÷追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟米，就可以得出李老师的速度．即（米）． 5．中午12时 【详解】甲、乙之间的距离：张早上6时出发，晚上6时到，用了12小时，每小时5千米，所以甲、乙两地距离千米．赵的速度：早上8时出发，晚上6时到，用了10小时，走了60千米，每小时走千米．所以，赵追上李时用了：小时，即中午12时． 6．252千米 【分析】此题为追及问题，追及时间＝路程÷速度差，要求追及时间，需要知道甲船开始出发时与乙船的距离和两船的速度差，两船距离是乙船顺水行驶2小时的路程，即（15＋3）×2＝36（千米），因为都是顺水行驶，速度差为18－15＝3（千米/小时），据此求出追及时间，再将甲船的顺水速度乘追及时间求出甲船行驶的路程，就是乙船离开A港的距离。 【详解】甲船追上乙船所用时间： （15＋3）×2÷（18－15） ＝18×2÷3 ＝36÷3 ＝12（小时） 乙船离开A港的距离： （18＋3）×12 ＝21×12 ＝252（千米） 答：甲船追上乙船时，乙离开A港252千米。 【点睛】本题考查流水行船中的追及问题，易错点是求乙船离开A港的距离不能直接用追及时间乘乙船的顺水速度求出，还需再加上乙船早出发2小时行驶的路程，或者用甲的顺水速度乘追及时间。关于流水行船问题： 顺水速度＝静水船速＋水速 逆水速度＝静水船速－水速 追及时间＝路程÷速度差 相遇时间＝路程÷速度和 7．小时 【分析】这道题人多车少，需要通过合理的安排搭配，才能使问题很好的解决．根据题目的要求，关键是要解决每人骑车和步行的路程．由于无论是骑车还是步行，三人的速度都相同，并且是同时到达，因此每人步行的路程一定相等，同样每人骑车的路程也相等．我们将全程看成1份，由于三人骑车和步行共行了3份的路程，其中三人骑车共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程．那么每人行了全程的，由此，问题的解决就比较简单了． 【详解】解：将全程看成1份，由于三人骑车和步行共行了3份的路程，其中三人骑车共行了1份的路程，所以，三人步行共行了2份的路程．那么每人行了全程的，这样步行的路程为：12×=8（千米）；骑车的路程为：12－8=4（千米）． 所以，所用的时间为：4÷20＋8÷5=（时）． 【点睛】把握骑车与步行的关系，是这道题的关键．由于合理地安排了骑车与步行的路程，使问题很巧妙的得到了解决． 8．7：25 【分析】先求出小钱后面从家到学校需要的时间，再减去原来追上一直匀速步行的小塘的那一段路的时间，就可以得到从追上小塘那里开始到学校小钱需要花的时间，然后再求出小塘从那里开始到学校所花的时间，就可以得到同样的路程小塘用的时间是小钱的几倍，进而可以求出小塘从家到学校的时间。 【详解】原来小钱的速度∶现在小钱的速度＝1∶2 原来用的时间：现在用的时间＝2∶1 7时46分－7时40分＝6（分钟） 取马克笔路上用的时间：6÷2＝3（分钟） 小钱在路上的时间：8时－7时40分－6分＝14（分钟） 拿好笔回学校的时间：14－6－3＝5（分钟） 第一次遇见小塘的地方到学校的时间：5－3＝2（分钟） 从第一次遇见小塘到学校的时间：8时－7时46分＝14（分钟） 14÷2＝7 5×7＝35（分钟） 8时－35分＝7：25 小塘从家里出发的时间：7：25 答：小塘是7：25从家里出发的。 【点睛】此题需要学生读懂题意，缕清思路，逐步分析。 9．11点35分 【详解】闹钟与标准时间的速度比是62:60="31:30," 11点半与9点相差 150分， 根据十字交叉法，闹钟走了 150×31÷30=155(分),所以 闹钟的铃应当定在11点35分上． 10．1400米 【详解】先统一两个队员跑步的速度单位：l号队员：6×60=360（米／分钟）；2号队员：400×0．8=320（米／分钟） 追及时间：400÷（360-320）=10（分钟） 此时1号队员跑了：360×10=3600（米） 距离终点：5000-3600=1400（米） 答：l号队员距终点还有1400米． 11．2小时 【详解】出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时），还需要2个小时． 12．53分钟20秒 【分析】大客车在距B地4000米处遇见一个行人，l秒钟后大客车经过这个行人，是一个相遇问题．由速度和=全程÷相遇时间，可知客车与行人速度和：12÷1=12（米／秒），则行人速度可知：12-8=4（米／秒），当客车到达B地10分钟后返回时，再追上行人是一个追及问题．追及时间可求．大客车从第一次遇到行人到第二次追上行人的时间可分为3段：一段是从距B地4000米处到B地，一段是休息10分钟，一段是追及时间． 【详解】行人的速度：12÷1-8=4（米／秒） 大客车行驶4000米需时间：4000÷8=500（秒） 10分钟相当于60×10=600（秒） 大客车从B地出发，大客车与行人的路程差：4000+4×（500+600）=8400（米） 大客车追上行人所需时间：8400÷（8-4）=2100（秒） 故大客车从遇到行人到追上行人共需：500+600+2100=3200（秒）=53分钟20秒． 答：大客车从遇到行人到追上行人共用了53分钟20秒． 【点睛】此题中的整个过程综合了相遇问题和追及问题，要注意不同的问题选用不同的公式．此题目还要注意时间单位的换算． 13．甲135千米，乙120千米 【详解】根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135（千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）. 14．500分钟 【分析】根据已知条件得知，乙用40分钟所走的距离与丙用50分钟所走的距离相等，所以丙的速度是乙的；甲用100分钟所走的距离与丙用130分钟所走的距离相等．故丙用130分钟所走的距离，乙用了：（分钟），即甲用100分钟走的距离，乙用104分钟走完．由于甲比乙晚出发20分钟，当甲追上乙时，设甲用了x分钟，则乙用了（x＋20）分钟，由此可得方程：。 【详解】解：丙用130分钟所走的距离，乙用了： （分钟） 设甲用了x分钟，可得： 104x＝100（x＋20） 104x＝100x＋2000 4x＝2000 x＝500 答：甲出发后需要500分钟才能追上乙。 【点睛】首先根据行驶相同的距离、所用时间与速度成反比求出他们的速度比是完成本题的关键。 15．每小时28千米 【分析】因为三人从同一地点出发追赶小舟，因此他们与小舟的路程差是相等的 【详解】解：设小舟的速度为x米／分钟，36千米/小时=0．6千米／分钟，30千米／小时=0.5千米／分钟．甲与小舟的路程差：（0．6－x）×5．乙与小舟的路程差：（0．5－x）×8． （0．6-x）×5=（0．5-x）×8 三人与小舟的路程差为：（千米） 丙与小舟的速度差：（千米/分钟） 丙的速成度：（千米/分钟） 千米/分钟=（）千米/小时=28（千米/小时） 答：丙的速度是每小时28千米． 16．950米／分 【详解】摩托车在各时间点行驶的位置是甲、乙、丙三车行驶距离的度量，所以本题的关键是求出摩托车的速度． 解：甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000－800）×7＝1400（米） 当甲追上骑摩托车人的时候，丙用了14-7=7（分） 追上1400米，丙车和骑摩托车人的速度差为：1400÷（14－7）＝200（米／分） 骑摩托车人的速度为：800－200＝600（米／分） 三辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000－600）×7＝2800（米） 乙车的速度为：2800÷8＋600＝950（米／分）． 17．15米/秒 【分析】因为红绿灯变换的时间周期是60秒，所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿灯，那么汽车通过第一个路口后，到下一个路口所花的时间必须是60秒。换句话说，只要60秒走900米，汽车就可以一路绿灯。根据路程＝速度×时间公式，速度＝路程÷时间计算即可。 【详解】900÷60＝15（米/秒） 答：汽车以每秒15米的速度行驶可以一路绿灯。 【点睛】本题考查学生利用除法计算来分析问题和解决问题的能力。 18．180千米 【分析】乙每小时行30千米乙车先出发2小时那就是多行60千米，两车同时到达B地，那么就是说在甲追上乙的那刻二者都到终点，甲每小时可以追到15千米，60千米只要4小时就可以追完；根据速度×时间＝路程，那么总路程就是45×4＝180千米，由此解答。 【详解】45×[30×2÷（45－30）] ＝45×[60÷15] ＝45×4 ＝180（千米） 答：A，B两地的距离是180千米。 【点睛】此题属于追及问题，根据追击的路程÷速度差＝追击的时间，再根据路程、速度、时间三者之间的关系列式解答即可。 19．950 【详解】甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000－800）×7＝1400（米），也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了14-7=7（分）钟追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：1400÷（14－7）＝200（米／分），骑摩托车人的速度为：800－200＝600（米／分），三辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000－600）×7＝2800（米），乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为：2800÷8＋600＝950（米／分）． 20．快车与慢车的速度分别为75千米／小时和45千米/小时 【详解】相遇问题中，全程360千米，相遇时间3小时．快车与慢车的速度和：360÷3=120（千米／小时）． 追及问题中，路程差360千米，追及时间12小时，快车与慢车的速度差：360÷12＝30（千米/小时）． 那么快车的速度：（120+30）÷2=75（千米/小时） 慢车的速度：（120-30）÷2=45（千米／小时） 答：快车与慢车的速度分别为75千米／小时和45千米/小时． 21．6.5分钟 【详解】路程差：50-2=48（千米） 速度差：23-15=8（千米／分钟） 追及时间：48÷8=6（分钟） 敌机从逃跑到被歼灭所用时间： 6+0.5=6.5（分钟） 答：敌机从逃跑到被我机歼灭共用6.5分钟． 22．（1）36小时；（2）72小时 【分析】两人从同一地点出发的追及线段图如下： 由图可知，甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是2个全程；以后每两个相邻追及之间，两人的路程差也是2个全程。据此解答本题即可。 【详解】（1）从出发到第一次追上，路程差是2个全程，所以时间是： 2×90÷（30－25） ＝2×90÷5 ＝36（小时） 答：出发36小时，甲第一次追上乙。 （2）从出发到第二次追上，路程差是4个全程，所以时间是： 4×90÷（30－25） ＝4×90÷5 ＝72（小时） 答：出发72小时，甲第二次追上乙。 【点睛】解答此类问题，要读懂题意，画出线段图，帮助理解。一般地，两人从某地同时出发，同向而行，在两地之间不断往返，相邻两次追及之间，两人的路程差恰好等于2个全长。 23．49秒 【详解】从甲车追及乙车到离开乙车的过程中，路程差为两个列车的车身长和：115+130=245（米）． 甲、乙两车的速度差：32-27=5（米／秒） 追及时间：245÷5=49（秒） 答：从甲车追及乙车到两车离开，共需49秒． 24．6千米 【详解】平平走了千米后，兵兵才出发，这千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小时比平平多走(千米)，要求兵兵几小时可以追上千米，也就是求千米里包含着几个千米，用(小时)．因为甲地和乙地相距千米，兵兵每小时行千米，小时走了(千米)，所以兵兵追上平平时，距乙地还有(千米) 25．甲速:5米/秒 乙速:3米/秒 【分析】如果甲让乙先跑40米，然后甲出发追乙，这40米就是二人间的路程差，甲用20秒追上乙是追及时间，根据速度差=路程差÷追及时间，可求甲、乙二人的速度差，即40÷20=2(米/秒)．如果甲让乙先跑6秒，则甲需要9秒追上乙，这一过程中追及时间是9秒，由上一过程的结论可求路程差: 2X9=18(米)，这18米就是乙先跑6秒所跑过的路程，所以可求出乙的速度是18÷6=3(米/秒)，那么甲速可求． 【详解】甲、乙两人的速度差:40÷20=2(米/秒) 乙速:2×9÷6=3(米/秒) 甲速:3+2=5(米/秒)． 答:甲、乙二人的速度分别为5米/秒和3米/秒． 26．6小时；42小时 【分析】由甲、乙两船同时出发，知它们相遇时共同走完了336千米，且两船行驶时间相同，根据相遇时间＝路程÷速度和，可求出甲、乙两船的相遇时间；如果同向而行，则乙船追上甲船时多比甲船行驶了336千米，根据追及时间＝路程差÷速度差，可求出乙船追上甲船的时间。 【详解】336÷（24＋32） ＝336÷56 ＝6（小时） 336÷（32－24） ＝336÷8 ＝42（小时） 答：甲、乙两船相向而行，6小时相遇；如果同向而行，42小时后乙船追上甲船。 【点睛】本题考查简单的相遇与追及问题，理解并掌握相遇问题和追及问题中速度和（差）、时间和路程（差）之间的关系是解题关键。 27．5小时；10小时 【分析】如图： 从线段图很容易可以发现：甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是1个全程；甲第二次追上乙时，甲和乙的路程差是3个全程；据此用追及时间=追及路程÷速度差解答即可。 【详解】由分析可得：第一次追上，两人的路程差是1个全程，时间： 60÷（21－9） ＝60÷12 ＝5（小时） 从第一次追上到第二次追上，两人的路程差是2个全程，时间： 2×60÷（21－9） ＝2×60÷12 ＝10（小时） 答：出发5小时，甲第一次追上乙，再过10小时甲第二次追上乙。 【点睛】解答此类问题最基本的方法就是画线段图，寻找相同时间内的路程关系。解答本题要明确，两人从两地出发，每相邻的两次追及之间，两人的路程差恰好等于2个全程。 28．能 【详解】追及时间： （65×16）÷（185﹣65） ＝1040÷120 ＝（分钟） 小巧在妈妈追上她时，一共走的路程： 65×16＋65× ＝1040＋563 ＝1603（米） 1603米＜1800米 所以妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她。 答：妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她。 29．10点 【详解】由“下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米”可知：两人的速度差是每小时30千米，由3点开始计算，我们知：小王再有一小时就可走完全程，在这一小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时多走千米，故小张的速度是15千米/小时，小王的速度是45千米/小时．全程是(千米)，(小时)，即上午10点出发． 30．25：18 【详解】根据题意可知，乙和丙的时间比为45：50 =9：10 ，即速度比为10：9．甲和乙的时间比为60：75 =4：5 ，即速度比为5：4，甲、乙和丙的速度比为  25：20：18．甲和丙的速度比为25：18 31．8分 【详解】设车速为a，小光的速度为b，则小明骑车的速度为3b．根据追及问题“追及时间×速度差＝追及距离”，可列方程10（a－b）＝20（a－3b），解得a＝5b，即车速是小光速度的5倍．小光走10分相当于车行2分，由每隔10分有一辆车超过小光知，每隔8分发一辆车． 32．4000米 【分析】乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，得到甲、乙速度之比2︰2.25，乙的速度是甲的速度的1.125倍；加速之后乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，甲乙速度比为3︰3.75，乙的速度是甲的速度的1.25倍，由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为500÷（1.25－1.125），依此计算即可。 【详解】加速前甲乙的速度之比为2︰2.25＝8︰9，乙的速度是甲的速度的1.125倍； 加速后甲乙的速度比为3︰3.75＝4︰5，乙的速度是甲的速度的1.25倍， 甲的速度为500÷（1.25－1.125） ＝500÷0.125 ＝4000（米/时）， 答：甲每小时行4000米。 【点睛】先求出甲乙二人的速度比是解答此题的关键。 33．1080千米 【分析】速度×时间=路程，那么可用原计划每分钟飞行9千米乘30分钟即可得到原计划比现在慢飞行的路程，然后再用慢飞行的路程除以现在每分钟比原计划每分钟快飞行的速度可得到现在飞行所需要的时间，最后再用现在飞行的时间乘现在飞行的速度即可得到甲、乙两地相距的距离． 【详解】（30×9）÷（12﹣9）×12 =270÷3×12 =90×12 =1080（千米） 答：甲、乙两地相距1080千米． 34．120,7.5 【详解】A)乙跑最后20米时，丙跑了40-24＝16（米）， 丙的速度是乙的． 因为乙到B时比丙多跑24米， 所以A、B相距米 B)甲跑120米，丙跑120-40=80米， 丙的速度是甲的 甲的速度是（米/秒） 35．600米 【详解】相同的时间,狗跑3000-500=2500（米） 兔子跑 3000-1000=2000（米） 狗和兔子的路程比是2500:2000=5:4 速度比是5:4，所以兔子的速度是狗的 兔子再跑: 500×4÷5=400（米） 还差1000-400=600（米） 答：当狗到终点时，兔离终点600米。 36．15.5分钟 【分析】如果汽车不停，则根据路程差÷速度差＝追及时间，用2100÷（500－300）即可求出汽车追上骑车人的时间，也就是10.5分钟，10.5分钟里面有2个5分钟，已知行5分钟到达一站并停1分钟，也就是汽车要停2分钟，此时2分钟骑车人多走了（2×300）米，汽车还要追（2×300）米，根据路程差÷速度差＝追及时间，用（2×300）÷（500－300）即可求出追上（2×300）米的时间，也就是3分钟，最后用10.5＋2＋3即可求出汽车追上骑车人的总时间。 【详解】2100÷（500－300） ＝2100÷200 ＝10.5（分钟） 10.5÷5＝2……0.5 （2×300）÷（500－300） ＝600÷200 ＝3（分钟） 10.5＋2＋3＝15.5（分钟） 答：要用15.5分钟汽车才能追上骑车人。 【点睛】此题主要考查学生对追及问题公式的掌握情况。解题关键是要读懂题目的意思，会根据题目给出的条件，找出其中的数量关系，求出答案。 37．130秒 【分析】从出发到追上，甲、乙的路程差是A、B两地的全程即260米，速度差是米/秒，所以追及时间是秒。 【详解】（米） （秒） 答：甲出发130秒后可以追上乙。 【点睛】本题考查追及问题，用两人的距离差除以速度差即可求出追及时间。 38．7分钟 【分析】由题意可知，甲返回原地时，已经走了15×2＝30（分钟），取东西用去5分钟，共用了35分钟，也是乙走的时间．即此时两人相距60×35＝2100（米），之后甲每分中比乙多走360－60＝300（米），根据路程差÷速度差＝追及时间求出答案。 【详解】60×（15×2＋5）÷（360－60） ＝60×35÷300 ＝7（分钟） 答：甲骑车7分钟才能追上乙。 【点睛】解答此题应明确：路程差÷速度差＝追及时间。 39．分钟 【分析】在时钟的表盘上，有12个大格，时针走一圈是360°，则每小时时针走一个大格，也就是走30°。一小时＝60分钟，则时针每分钟走0.5°，分针转动一圈是60分钟转了360°，分针每分钟转动6°。 由题意可知，两次相遇都是距离中点160米处相遇，但是第二次是甲在停留的情况下，即甲的速度比乙的速度快。在第一次的相遇的过程中，甲行驶的路程比乙行驶的路程多320米。一小时内两次出现夹角为110°，一定是分针先落后110°，后来又超前110°，分针和时针的路程差是为220°。每一分钟，时针和分针的差是5.5°，220°就是40分钟相差的。多出的40分钟的路程差是320米，即每分钟的路程差，也就是速度差是8米。因为甲的速度为80米/分钟，即乙的速度＝甲的速度－8。 第二次相遇，两人还是在距中点160米处相遇，这时甲走的路程少，对于第一次相遇，甲走的路程是超过中点160米，第二次相遇甲走的路程是少于中点160米，则甲少走的了320米，每分钟是80米，即少走了4分钟。乙则多走了分钟。 甲在途中的停留的时间＝甲少走的时间＋乙多走的时间。 【详解】160×2＝320（米） 220÷（6－0.5） ＝220÷5.5 ＝40（分钟） 320÷40＝8（米） 80－8＝72（米） 320÷80＝4（分钟） 320÷72＝（分钟） 4＋＝（分钟） 答：甲在途中停留了分钟。 【点睛】钟表的夹角的度数，可以将时针和分针想成一个追及的问题。追及问题中，行驶的路程差＝速度差×时间。 40．4千米 【分析】甲、乙的速度之比为5∶2，则假设甲的速度为每小时走5千米，乙的速度每小时走2千米，甲每小时比乙多走3千米，则甲要追上乙得多走6千米，甲追上乙的时候用时2小时，据此求出乙走了多少千米即可。 【详解】 （千米） 答：甲追上乙的时候，乙走了4千米。 【点睛】本题考查行程问题、比的意义，解答本题的关键是利用假设法解题。 41．50分钟 【分析】甲早出发30分钟，当乙出发时，甲已经走了米。乙每分钟走80米，乙每分钟追上甲米，那么经过分钟，乙会追上甲。 【详解】（米） （米） （分钟） 答：乙出发50分钟后追上了甲。 【点睛】本题考查追及问题，用两人的距离差除以速度差即可求出追及时间。 42．4次 【分析】 由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100－80＝20（分钟）内所走的路程恰等于线段的长度再加上线段的长度，即等于甲在（80＋100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（180÷20），则的长为的9倍，所以，甲从到，共需走80×（1＋9）＝800（分钟）乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个全程。从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程，因此，追及时间也变为200分钟（100×2），所以，在甲从到的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟。 【详解】有题意可知：走相同距离的路程，甲和乙所需时间比： （80＋100）∶（100－80）＝180∶20＝9∶1 所以，甲和乙的速度比是 （100－80）∶（80＋100）＝20∶180＝1∶9 即，甲走一个全程，乙走9个全程，甲行完一个全程，乙行9个全程。第一次是相遇，第二次是追上，..., 所以共相遇5次，追上4次。 答：乙追上甲4次。 【点睛】本题是一道比较复杂的行程问题，计算出乙和甲第一次相遇时间，由乙的速度是甲的9倍，来求出甲从A到B的800分钟内追击的时间与次数。 43．1米 【详解】甲、乙两人的运动时间相同，所以，甲的路程甲的速度乙的路程乙的速度，而甲、乙的速度都不变，所以，乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍 由图可知，甲跑：(米)，乙跑：(米) 设乙跑到终点时甲跑X米． 88：96=x：108 x=99 甲距终点线：100-99=1米 44．400千米 【详解】由于甲车在途中停车小时，比乙车迟到小时，说明行这段路程甲车比乙车少用小时．可理解成甲车在途中停车小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行小时，两车同时到达地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：(小时)，乙车小时行的路程是：(千米)，甲车每小时比乙车多行的路程是：(千米)，甲车所需的时间是：(小时)，、两地间的路程是：(千米)． 45．72千米 【详解】先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间．此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9÷6=1.5（小时）．小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是9÷=54（千米），面包车速度是：54-6=48（千米/小时）．城门离出发点的距离是48×1.5，计算即可． 解答：解：10分钟=小时， 当面包车到达城门用的时间是： 9÷6=1.5（小时）． 小轿车的速度是： 9÷=54（千米）， 面包车速度是： 54-6=48（千米/小时）． 城门离学校的距离是： 48×1.5=72（千米）． 答：从出发点到城门的距离是72千米． 46．（1）19秒；（2）171秒 【分析】（1）这是一个相遇错车的过程，两列车共走的路程是两车车长之和。据此根据相遇时间＝路程和÷速度和求解即可； （2）这个一个超车过程，即追及问题。路程差为两车的车长和，根据追及时间＝路程差÷速度差求解即可。 【详解】（1）（250＋263）÷（15＋12） ＝513÷27 ＝19（秒） 答：两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要19秒。 （2）（250＋263）÷（15－12） ＝513÷3 ＝171（秒） 答：从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要171秒。 【点睛】利用相遇、追及公式巧解火车行程问题。理解掌握公式相遇时间＝路程和÷速度和，追及时间＝路程差÷速度差。 47．3分钟 【详解】75×12÷(375－75)=3(分钟) 48．45分钟 【详解】本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合．小明在小时内走了千米，那么小明的速度为(千米/时)，追及距离为(千米)．汽车去追的话需要：(小时)(分钟)． 49．8小时 【详解】追及路程即为两地距离240千米，速度差（千米），所以追及时间（小时） 50．乌龟先到达终点，此时兔子还离终点100米 【详解】试题分析：（1）先求出乌龟跑40米需要多长时间，再求这些时间里兔子可以跑多少米，兔子跑的米数与路程的一半比较，看兔子能否到终点，求出谁先到达终点； （2）需要根据谁先到达终点进行求解： ①如果乌龟先到达终点，兔子离终点距离是半程减去醒来后跑得距离； ②如果兔子先到达终点，先求出兔子从醒来到达终点需要的时间，再求出这段时间里乌龟行的路程，然后用40米减去这个路程即可． 解答：解：（1）40÷10=4（分钟）； 100×4=400（米）； 1000÷2=500（米）； 400＜500，乌龟先到达． （2）500﹣400=100（米）； 答：乌龟先到达终点，此时兔子还离终点100米． 点评：本题考查了速度、路程、时间三者的关系，求解时需要找准这三者之间的对应关系，再根据基本的数量关系求解． 51．840千米 【分析】此题也可被看做是追及问题，甲车在中途停留5小时，比乙车迟1小时到达．说明走这段路程甲车比乙车少用5-l=4（小时）．因为甲车的车速比乙车快42-35=7（千米／小时），那么将此题转化为追及问题的形式为，乙车先开出4小时，然后甲车开出，甲、乙两车同时到达目的地．路程差：35×4=140（千米），速度差为7千米／小时，因此追及时间可求，即140÷7=20（小时），也是甲车行驶完全程所需的时间．则两地间的距离可求． 【详解】追及路程：35×（5-1）=140（千米） 追及时间：140÷（42-35）=20（小时） 两地之间的距离：42×20=840千米） 答：两地间的距离是840千米． 【点睛】此题目求解的关键是将题目中的条件转化成追及问题来考虑．由时间差进而确定路程差之后，问题就容易解决了． 学科网（北京）股份有限公司 $$