小升初典型奥数：相遇问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 第二部分 典型例题 例题1：小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走。小张速度是每小时5.4千米，小王速度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇，那么绕湖一周的行程是多少千米？ 【答案】4.2千米 【分析】由题意知：要先把时间单位统一，小张的速度是每分钟0.09千米；小王的速度是每分钟0.07千米，由题意“半小时后小李和小张相遇”知小张行走的路程是他的速度×30；由“再经过5分钟，小李与小王相遇”，知小王行走的路程是他的速度×（30＋5），小张和小王的路程差即是小李5分钟走的路程，可求出小李的速度，由“半小时后小李和小张相遇”得出小张走的路程＋小李走的路程＝全程。 【详解】1小时＝60分 小张的速度每分钟是：5.4÷60＝0.09（千米） 小张半小时走的路程是：0.09×30＝2.7（千米） 小王的速度每分钟是：4.2÷60＝0.07（千米） 小王35分钟走的路程是；0.07×35＝2.45（千米） 小李的速度每分钟是： （2.7－2.45）÷5 ＝0.25÷5 ＝0.05（千米） 绕湖一周的行程是： （0.05＋0.09）×30 ＝0.14×30 ＝4.2（千米） 答：绕湖一周的行程是4.2千米。 【点睛】解决此题的关键是小张与小王的路程差是小李5分钟所走的路程，算出小李的速度。 例题2：两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行驶45千米，乙车每小时行驶42千米，4小时后，两列火车相距多少千米？（用方程解） 【答案】132千米 【分析】设两列火车相距x千米，因为两列火车相向而行，可知甲乙两车速度和×时间+两车相距的距离=两个城市的距离，据此列方程解答。 【详解】解：设两列火车相距x千米 （45＋42）×4＋x＝480 87×4＋x＝480 348＋x＝480 348＋x－348＝480－348 x＝132 答：两列火车相距132千米。 【点睛】此题主要考查列方程解决实际问题的能力，搞清楚相遇问题中的等量关系是解题关键。 例题3：东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米．乙车每小时行多少千米？ 【答案】30千米 【分析】 从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间． 【详解】（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时） （2）甲车一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米） （3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5-15=90（千米） （4）乙车每小时行多少千米？ 90÷3=30（千米） 答：乙车每小时行30千米． 例题4：甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米．甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已经30分钟．问：甲、乙每分钟各走多少米？ 【答案】甲90米，乙70米 【详解】根据题意，画线段图如下： 方法一：30分钟内，二人的路程和(米)，因此速度和为：(米/分)；又知道30分钟甲的路程为：(米)，所以甲速度为： (米/分)，则乙速度为：(米/分)． 方法二：30分钟内，甲的路程为(米)，乙走的路程为：(米)，因此甲的速度为：(米/分)，乙的速度为：(米/分)． 第三部分 高频真题 1．小聪和小明从学校到相距米的电影院去看电影．小聪每分钟行米，他出发后分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？ 2．甲、乙两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地，两人如此往返。已知甲车与乙车速度的速度比为3∶5，AB两地相距1000米，则甲乙两车第1次相遇时，距离B地多少米？ 3．甲、乙两人沿环形跑道相对运动，从相距200米的两点出发，如果沿小弧运动，甲与乙在10秒后相遇；如果沿大弧运动，经过15秒后相遇．当甲跑完环形跑道一圈时，乙只跑了125米，求环形跑道的周长及甲、乙两人的速度． 4．在比例尺是1∶6000000的地图上，量得A、B两地的距离是7.5厘米，一辆客车和一辆货车分别从两地同时出发，相向而行，经过3小时相遇．客车和货车的速度比是3∶2，求客车每小时行多少千米． 5．两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？ 6．甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？ 7．甲、乙两辆客车从两地同时相向开出，4时后在离中点30千米处相遇，慢车每时行驶64千米，快车每时行驶多少千米？ 8．A、B两地相距2100千米，甲、乙两列火车从A、B两地同时相向而行，甲车的速度是65千米／小时，乙列火车的速度是48千米／小时，乙列火车出发时，从车厢里飞出一只鸽子，以75千米／小时的速度向甲车飞去，在鸽子与甲车相遇时，乙车距离A地还有多远？ 9．甲、乙、丙三人，甲每分钟走30米，乙每分钟走25米，丙每分钟走27米，甲、乙从A镇、丙从B镇，同时相对出发，丙遇到甲后，10分钟后再遇到乙，求A、B两镇的距离？ 10．甲、乙两地相距560千米，一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相向而行，4小时后两车相遇。客车每小时行73.5千米，货车每小时行多少千米？ 11．甲、乙两城间的铁路长360千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇．如果两车从两城同时同向出发，慢车在前，快车在后，12小时快车可以追上慢车，求两车的速度各是多少？ 12．两人骑马同时从甲、乙两地相向跑来，4小时后相遇。一匹马每小时跑15千米，另一匹马每小时跑18千米，甲乙两地相距多少千米？ 13．长沙至北京的路程是1560千米．甲车以每小时120千米的速度从长沙开往北京,同时乙快车从北京开往长沙,每小时比甲车多行20千米．出发多少小时后两车相遇? 14．甲乙两车同时从相距千米的、两地相对开出，2.5小时后两车相遇。甲车平均每小时比乙车多行千米，求甲车的速度是多少？（列方程解答。） 15．绕湖一周是24千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行。 （1）甲以3千米/小时的速度走，乙以5千米/小时的速度走，则两人从出发到第一次相遇用多长时间？ （2）甲以4千米/小时的速度走，每走4千米后休息10分钟；乙以6千米/小时的速度走，每走5千米后休息5分钟，则两人从出发到第一次相遇用多长时间？ 16．甲乙两车从相距900千米的两地同时相向开出，经过5小时相遇，已知甲乙两车的速度比是5∶4，两车的速度各是多少？ 17．甲、乙两人同时分别从A、B两地出发相向而行，他俩相遇后经过5分钟，甲抵达B点，已知甲的速度是乙的速度的2倍，那么甲到达B后还要经过多长时间，乙才能到达A点？ 18．两地间的路程是630千米。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4.5小时相遇。甲车每小时行75千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 19．小红家和小军家相距760 m，两人同时从家出发相向而行，经过8分钟相遇，小红每分钟走45 m，小军每分钟走多少米？ 20．甲、乙两城相距425km，两辆汽车同时分别从甲、乙两城相对开出。如果两辆汽车14：00出发，那么它们相遇时是几时几分？ 21．一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行．14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开．14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生．问：工人与学生将在何时相遇？ 22．田田坐在行驶的列车上，发现从迎面开来的货车用了6秒钟才通过他的窗口．后来田田乘坐的这列火车通过一座234米长的隧道用了13秒．已知货车车长180米，求货车的速度． 23．海口市到三亚市的高速公路全长300千米，一辆客车和一辆货车从两地同时出发，相向而行，经过1.5小时相遇。客车每小时行110千米，货车每小时行多少千米？（用方程解） 24．甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲车速度是乙车速度的，已知甲走完全程用5小时，求两车几小时后在中途相遇？ 25．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？ 26．两辆汽车同时从两地出发，相向而行，快车每小时行驶64千米，慢车每小时行驶60千米，出发2.5小时后，两车还相距15千米（相遇前）。两地之间的路程是多少千米？ 27．在一幅比例尺为1∶1500000地图上，量得A、B两地的距离为16厘米，有两辆汽车分别从A、B两地同时出发，相向而行，速度分别是55千米时和65千米时。两车经过多长时间相遇？ 28．甲、乙两辆车同时从相距380千米的AB两地相对开出，甲车每小时行驶52千米，3.5小时后与乙车相距30千米，乙车每小时行驶多少千米？ 29．甲、乙两列火车从相距千米的两地相向而行，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米，乙车先出发小时后，甲车才出发。甲车行几小时后与乙车相遇？ 30．、两地相距米，包子从地到地需要秒，菠萝从地到地需要秒，现在包子和菠萝从、两地同时相对而行，相遇时包子与地的距离是多少米？ 31．甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离． 32．客车从甲地到乙地要10小时，货车从乙地到甲地要15小时，两车同时从两地相对开出，相遇时客车比货车多行了90千米，甲、乙两地之间的距离是多少千米？相遇时客车和货车各行了多少千米？ 33．一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头，如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔依次是1秒，3秒，5秒，…，即是一个由连续奇数组成的数列。问：两只蚂蚁爬行了多长时间才能第一次相遇？ 34．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行75千米，乙车每小时行55千米，经过两小时后两车相距20千米，A、B两地相距多少千米？（先画图表示出信息和问题，再列式解答） 35．妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走米。妈妈走了分钟后，小红从学校出发，小红每分钟走米。再经过分钟妈妈和小红相遇。从小红家到学校有多少米？ 36．甲、乙两站相距360千米，一列快车和一列慢车分别从两站同时相对而行，3.6小时相遇。已知快车与慢车的速度比是3∶2，慢车每小时行多少千米？快车行完全程要几小时？ 37．两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走千米，另一列城铁每小时走千米，在途中每列车先后各停车次，每次停车分钟，经过小时两车相遇，求两城的距离？ 38．一列货车与一列客车同时从北京站出发反向而行，货车每小时比客车多走7千米，4小时后两车相距468千米．求两车速度． 39．深圳通往长沙的高速路大约长810km。一辆汽车从深圳出发，每小时行95km；另一辆货车从长沙出发，每小时行85km。两车同时出发，几小时能够相遇？（先画图表示题意，再用方程解答） 40．两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？ 41．甲车和乙车从相距的两座城市同时出发，相向而行，经过4.2小时相遇。已知乙车每小时行驶比甲车快。甲车每小时行多少千米？（列方程解答） 42．两列火车从甲乙两地同时相对开出，4小时后在距中点48千米处相遇。已知慢车是快车速度的，快车和慢车的速度各是多少？甲乙两地相距多少千米？ 43．汽车和公交车的速度比为5∶3，两车同时从A地同向出发前往B地，到达B地后掉头返回A地两人如此往返。A、B两地相距160千米，则两车第一次相遇时，相遇地点距离B地多远？ 44．青青和云云家相距715米，他们相向而行。青青走路的速度是云云的1.2倍，5分钟后他们相遇。青青和云云每分钟分别走多少米？（用方程解） 45．甲、乙两地相距480千米，－列客车与－列货车从甲、乙两地同时相向而行，4小时相遇。已知客车与货车的速度比是3∶2，客车每小时行多少千米？ 46．张明和徐芳同时从两地沿一条公路面对面走来。张明的速度是72米/分，徐芳的速度是68米/分，经过5分钟两人相遇。两地间的路程是多少米？ 47．甲、乙两辆汽车从东、西两城相对开出，已知甲车行完全程用10小时，乙车行完全程用15小时，当两车相遇时甲车比乙车多行12千米，问：东西两城相距多少千米？ 48．小军和小琴两人同时从相距2千米的两地相向而行。小军每分钟行120米，小琴每分钟行80米。如果一只狗与小军同时出发，同向而行。当它遇到小琴后，立即回头向小军跑去。这样来回不断，直到小军和小琴相遇为止，这时狗一共跑了4千米。这只狗每分钟行多少米？ 49．兄弟两人同时从家里到体育馆，路长1300米。哥哥每分钟步行80米，弟弟骑自行车以每分钟180米的速度到体育馆后立刻返回，途中与哥哥相遇，这时哥哥走了几分钟？ 50．甲站到乙站。客车要10小时，货车要12小时。两车同时从两地相对开出，在离中点60千米的地方两车相遇，两站相距多少千米？ 51．两列火车从相距570千米的两地同时相对开出，3小时后相遇，甲车每小时行110千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解） 52．甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，两车的速度比是7∶4。甲车行了全程的后又行了32千米，正好与乙车相遇。两地相距多少千米？ 参考答案： 1．80米 【详解】要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：(分钟)，小明所用的时间是：(分钟)，小明每分钟走的米数是：(米)． 2．250米 【分析】同时同地出发再返回的相遇，仍然满足时间相同，路程之比等于速度之比，故两人的路程之比为3∶5，两人共走完了两倍的全程，总路程÷总份数，求出一份数对应的路程，再用一份数×甲的对应份数＝甲的路程，AB两地距离－甲的路程＝距离B地的距离。 【详解】1000×2÷（3＋5）×3 ＝2000÷8×3 ＝750（米） 1000－750＝250（米） 答：距离B地250米。 【点睛】关键是理解比的意义，将比的前后项看成份数。 3．环形跑道的周长是500米 甲的速度是16米／秒，乙的速度是4米／秒 【详解】甲、乙的速度和：200÷10=20（米／秒） 15秒两人共跑：20×15＝300（米） 环形跑道的周长：300+200＝500（米） 当甲跑1圈时乙跑了125米，甲、乙的速度比为：500：125=4：1 那么甲速：=16（米／秒） 乙速：20－16=4（米／秒） 答：环形跑道的周长是500米．甲的速度是16米／秒，乙的速度是4米／秒． 4．90千米 【详解】6000000×7.5＝45000000(厘米)＝450(千米) 450÷3＝150(千米)　150÷(3＋2)×3＝90(千米) 答：客车每小时行90千米． 5．5分钟 【详解】（分钟） 答：两个人还需要5分钟相遇． 6．780千米 【详解】建议教师帮助学生画图分析． 从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程．已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行(千米)，(小时)，说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时．那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是(千米)． 7．79千米 【分析】在离中点30千米处相遇，也就是快车比慢车多行驶（30×2）千米，用快车多行的路程除以相遇时间，可以求出快车每小时比慢车多行的路程，进而用加法求出快车的速度。 【详解】30×2÷4＋64 ＝60÷4＋64 ＝15＋64 ＝79（千米） 答：快车每时行驶79千米。 【点睛】此题是一道相遇问题的应用题，解答本题的关键是了解路程、速度和时间三者的关系，利用两车的路程差除以相遇时间，求出两车速度差。 8．1380千米 【详解】甲车与鸽子的速度和：75+65＝140（千米/小时） 相遇时间：2100÷140=15（小时） 此时乙车行驶路程：15×48=720（千米） 距离A地：2100－720=1380（千米） 答：到鸽子与甲车相遇时，乙车距离A地还有1380千米． 9．5928米 【详解】甲、丙在C地相遇，此时乙在D地，10分钟后，乙、丙在E地相遇．甲在C地时，乙在D地，D、C这段距离是乙、丙10分钟内共同走的．距离为：10×（25+27）=520（米），即甲、丙相遇时，乙比甲少走520米．乙比甲少走520米，所需时间：520÷（30-25）=104（分钟），也是甲、丙的相遇时间，则A、B两镇间距离： （30+27）×104=57×104=5928（米） 答：两镇相距5928米． 10．66.5千米 【分析】根据“速度×时间＝路程”可得出等量关系：客车的速度×相遇时间＋货车的速度×相遇时间＝甲、乙两地的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设货车每小时行千米。 73.5×4＋4＝560 294＋4＝560 294＋4－294＝560－294 4＝266 4÷4＝266÷4 ＝66.5 答：货车每小时行66.5千米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，根据速度、时间、路程之间的关系得出等量关系，按等量关系列出方程。 11．快车与慢车的速度分别为75千米／小时和45千米/小时 【详解】相遇问题中，全程360千米，相遇时间3小时．快车与慢车的速度和：360÷3=120（千米／小时）． 追及问题中，路程差360千米，追及时间12小时，快车与慢车的速度差：360÷12＝30（千米/小时）． 那么快车的速度：（120+30）÷2=75（千米/小时） 慢车的速度：（120-30）÷2=45（千米／小时） 答：快车与慢车的速度分别为75千米／小时和45千米/小时． 12．132千米 【分析】当两车相遇时，两车行的路程是两地间的距离，根据路程＝速度和×时间求解即可。 【详解】（15＋18）×4 ＝33×4 ＝132（千米） 答：甲乙两地相距132千米。 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系。 13．6小时 【详解】560÷[120+(120+20)]=6(小时) 14．78千米时 【分析】设甲车的速度是千米时，则乙车的速度是千米时，甲车2.5小时行驶的距离＋乙车2.5小时行驶的距离＝A、B两地的距离；列方程：2.5x＋2.5×（x－12）＝360，解方程，即可解答。 【详解】解：设甲车的速度是千米时，则乙车的速度是千米时。 2.5x＋2.5×（x－12）＝360 2.5x＋2.5x－30＝360 5x＝360＋30 5x＝390 x＝390÷5 x＝78 答：甲车的速度是78千米/时。 【点睛】本题考查方程的实际应用，根据速度、时间和距离三者的关系，列方程，解方程。 15．（1）3小时；（2）158分钟 【分析】（1）根据相遇时间＝路程和÷速度和，用24÷（3＋5）即可求出两人从出发到第一次相遇用的时间。 （2）根据题意可知，甲走4千米需要1小时10分钟，也就是70分钟；5千米是6千米的，根据分数乘法的意义，可知乙走5千米需要（60×＋5）分钟，也就是55分钟；甲出发70分钟时，甲走了4千米，乙出发70分钟的路程为（55＋15）分钟的路程，也就是5千米加上（×6）千米，即6.5千米；甲出发（70×2）分钟时，甲走了8千米；乙出发140分钟的路程为（55＋55＋30）分钟的路程，也就是（5×2）千米加上（×6）千米，即13千米；此时甲乙之间的距离是（24－8－13）千米，也就是3千米，甲距离下次休息要60分钟，乙距离下次休息要（50－30）分钟，即20分钟，这20分钟甲乙都在走，没有休息；根据速度和×相遇时间＝路程和，可知20分钟的路程和大于3千米，所以剩下3千米的路程，甲乙相遇的时间小于20分钟，根据相遇时间＝路程和÷速度和，用剩下3千米除以两人的速度和，即可求出剩下行走的时间，然后加上140分钟，即可求出两人从出发到第一次相遇用多长时间。 【详解】（1）24÷（3＋5） ＝24÷8 ＝3（小时） 答：两人从出发到第一次相遇用3小时。 （2）1小时＝60分钟 60＋10＝70（分钟） 60×＋5 ＝50＋5 ＝55（分钟） 70分钟时，甲走了4千米， 对乙，70＝55＋15 乙走了5＋×6 ＝5＋1.5 ＝6.5（千米） 140分钟时，甲走了8千米， 对乙，140＝55＋55＋30 乙走了5×2＋×6 ＝10＋3 ＝13（千米） 两人共走了8＋13＝21（千米） 此时两人相距24－21＝3（千米） 而距甲再次休息还要60分钟， 距乙再次休息还要50－30＝20（分钟） 20分钟内，甲、乙都在走，能共同走 （4＋6）× ＝10× ＝（千米） 千米＞3千米 共同走3千米需要3÷（4＋6） ＝3÷10 ＝（小时） 小时＝18分钟 140＋18＝158（分钟） 答：两人从出发到第一次相遇用158分钟。 【点睛】本题主要考查了较复杂的相遇问题，利用休息的时间节点去推算路程是解答本题的关键。 16．甲100千米/时；乙80千米/时 【分析】甲乙两车相遇时，路程之和恰好等于两地相距的距离，据此解题即可。 【详解】解：设甲车的速度是x千米/时，则乙车的速度是x千米/时 5x＋5×x＝900 解得，x＝100，则x＝80 答：甲乙两车的速度分别是100千米/时、80千米/时。 【点睛】本题考查了相遇问题和比的应用，明确相遇时路程之和等于两地相距的距离是解题的关键。 17．15分钟 【详解】因为甲的速度是乙的速度的2倍，所以在相遇前，甲行走的路程是乙行走的路程的2倍，相遇前乙行走的路程，甲只用5分钟便走完了，所以，在相遇前二人都走了10分钟，相遇前甲走的这一段路让乙来走要用20分钟，所以甲到达B后还要经过20-5=15分钟，乙才能到达A点． 18．65千米 【分析】（1）找出未知数，用字母x表示，即设乙车每小时行x千米； （2）根据等量关系“甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两地间的总路程”列出方程； （3）解方程并检验作答。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 75×4.5＋4.5x＝630 337.5＋4.5x＝630 4.5x＝630－337.5 4.5x＝292.5 x＝292.5÷4.5 x＝65 答：乙车每小时行65千米。 【点睛】列方程解决问题时，把所求的未知数用x表示，未知数参与列式，把算术法的逆向思维转变成列方程的顺向思维来思考。 19．50米 【详解】760÷8＝95（米） 95－45＝50（米） 答：小军每分钟走50米 20．16时30分 【分析】相遇时间=相遇路程÷速度和，据此求出相遇的时间，最后求出它们相遇时是几时几分即可。 【详解】时间： （小时） 2.5小时=2时30分 14时2时30分=16时30分 答：它们相遇时是16时30分。 【点睛】本题考查行程问题，解答本题的关键是掌握相遇问题中的数量关系。 21．14时40分 【详解】工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米 学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米 14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟 14时16分+24分=14时40分 22．12米/秒 【分析】田田坐在列车上，货车用6秒通过他的窗口，这是一个相遇问题，是田田与货车相遇，因此与列车车长无关．假设田田不动，则货车行驶了一个货车车长，用时6秒．由速度和=全程÷相遇时间，可求田田与货车的速度和，田田的速度即列车的速度．那么只需利用下一个过隧道的条件求出列车的速度，此问题可解． 【详解】列车与货车的速度和：180÷6=30（米／秒） 列车的速度：234÷13=18（米／秒） 货车的速度：30－18=12（米／秒） 答：货车每秒钟行驶12米． 【点睛】此问题不同于单纯的列车相遇，因为所给的条件是从在车上的人的角度给出的，而人在此问题中是被看做一点，没有长度．列车过隧道也是按照从田田进隧道，到出隧道来计算时间的，因此与列车的车长无关． 23．90千米 【分析】速度×时间＝路程，设货车每小时行x千米，根据货车速度×相遇时间＋客车速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即可。 【详解】解：设货车每小时行x千米。 1.5x＋110×1.5＝300 1.5x＋165＝300 1.5x＋165－165＝300－165 1.5x＝135 1.5x÷1.5＝135÷1.5 x＝90 答：货车每小时行90千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 24．小时 【详解】5小时=小时 因为甲乙的速度比=2:3，所以甲乙的时间比=3:2 乙走完全程所用时间=÷3×2= 相遇时间：1÷（+）=（小时） 25．32千米 【分析】 从图中可知：快车3小时行的路程40×3=120千米，比全程的一半多12千米，全程的一半是120-12=108千米．而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米，所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢车的速度． 【详解】①甲乙两地路程的一半：40×3-12=108（千米） ②慢车3小时行的路程：108-12=96（千米） ③慢车的速度：96÷3=32（千米） 答：慢车每小时行32千米． 26．325千米 【分析】由题意可知，两地之间的路程等于2.5小时两车行驶的距离加上还相距的15千米，根据速度×时间＝路程，据此分别求出两车行驶的距离，再加上15千米即可。 【详解】64×2.5＋60×2.5＋15 ＝160＋150＋15 ＝310＋15 ＝325（千米） 答：两地之间的路程是325千米。 【点睛】本题考查小数乘法，明确速度、时间和路程之间的关系是解题的关键。 27．2小时 【分析】根据比例尺的意义可知：实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离，然后再化成千米即可；再根据关系式：距离÷速度和＝相遇时间，解决问题。 【详解】A、B两地的实际距离： 16÷ ＝16×1500000 ＝24000000（厘米） 24000000厘米＝240千米 240÷（55＋65） ＝240÷120 ＝2（小时） 答：两车经过2小时相遇。 【点睛】此题考查了比例尺以及速度、路程与时间之间的关系。 28．48千米或者65千米 【分析】分两种情况讨论，一种是相遇前相距30千米，此时，两人的路程和为总距离减去甲、乙间距离；另一种是相遇后相距30千米，此时两人的总路程是总距离加上甲、乙间的距离，根据速度和＝总路程÷时间，求出两车的速度和，再减去甲车的速度即可。 【详解】（380－30）÷3.5－52 ＝350÷3.5－52 ＝100－52 ＝48（千米） （380＋30）÷3.5－52 ＝410÷3.5－52 ≈117－52 ＝65（千米） 答：乙车每小时行驶48千米或者65千米。 【点睛】本题主要考查了相遇问题，注意分情况讨论。 29．8小时 【分析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间。 【详解】（770－41×2）÷（45＋41） ＝688÷86 ＝8（小时） 答：甲车行8小时后与乙车相遇。 【点睛】此题考查了行程问题，先找出甲、乙两车行驶的路程之和是解题关键。 30．60米 【详解】包子的速度：(米／秒)，菠萝的速度：(米／秒)，相遇的时间：(秒)，包子距地的距离：(米)． 31．16500米 【分析】从已知条件中唯一的时间量入手，明确甲、乙、丙之间的距离变化关系，逐步求解． 【详解】解：（60＋40）×15＝1500（米） 1500÷（50-40）=150（分） A、B之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）． 答：A、B两地的距离是16500米． 【点睛】此题实质上有着三个行程基本问题：两个相遇问题和一个追及问题．而且这三个问题之间有着相互的联系，甲和丙的相遇路程就是丙和乙的追及路程，丙和乙的追及时间就是甲和乙的相遇时间．利用这些关系层层推进即可解出答案． 32．450千米；270千米；180千米 【分析】由题意可知，货车每小时行全程的，客车每小时行全程的，相遇时间为1÷（＋），相遇时间×（－）求出客车比货车多行全程的分率，它对应的数量是90，据此用除法求出甲、乙两地之间的距离，进而求出相遇时客车和货车各行了多少千米。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝6（小时） 6×（－） ＝6× ＝ 90÷＝450（千米） （450＋90）÷2 ＝540÷2 ＝270（千米） 450－270＝180（千米） 答：甲、乙两地之间的距离是450千米，相遇时客车和货车各行了270千米、180千米。 【点睛】根据工作量÷效率和＝工作时间求出两车的相遇时间是完成本题的关键。 33．49秒 【分析】圆的周长为1.26米即126厘米，相向而行，只要他们在半圆处相遇就行，半圆的周长为63厘米，如果蚂蚁不掉头走，63÷（3.5＋5.5）＝7秒即相遇。把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔依次是1秒，3秒，5秒，…，由于1﹣3＋5﹣7＋9﹣11＋13＝7，所以13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝49秒相遇。蚂蚁爬行的方向不断地发生变化，那么如果这两只蚂蚁都不调头爬行，相遇时它们已经爬行了多长时间呢？非常简单，可列式为：1264÷2÷（5.5＋3.5）＝7（秒）。由于发现蚂蚁爬行方向的变化是有规律可循的，它们每爬行1秒、3秒、5秒、…（连续的奇数）就调头爬行。每只蚂蚁先向前爬1秒，然后调头爬3秒，再调头爬5秒，这时相当于在向前爬1秒的基础上又向前爬行了2秒。同理，接着向后爬7秒，再向前爬9秒，再向后爬11秒，再向前爬13秒，这就相当于一共向前爬行了1＋2＋2＋2＝7（秒），正好相遇。 【详解】1264÷2÷（5.5＋3.5） ＝1264÷2÷9 ＝7（秒）。 1﹣3＋5﹣7＋9﹣11＋13＝7， 13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝49（秒） 答：两只蚂蚁爬行了49秒才能第一次相遇。 【点睛】完成本题的关键是根据所给条件找出规律，然后分析解答。 34．280千米或240千米 【分析】可能性一：两人还没相遇，用甲加上乙的速度乘行驶时间求出甲乙两人一共走的路程，再加上相距的距离即可； 可能性二：相遇后再分开，用甲加上乙的速度乘行驶时间求出甲乙两人一共走的路程，再减去相距的距离即可。 【详解】   （75＋55）×2＋20 ＝130×2＋20 ＝260＋20 ＝280（千米） （75＋55）×2－20 ＝130×2－20 ＝260－20 ＝240（千米） 答：A、B两地相距280或240千米。 【点睛】本题解题的关键是明确路程、时间和速度之间的关系。 35．2925米 【分析】妈妈先走了分钟，就是先走了（米）。分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和小红共同走了分钟，这一段的路程为：（米），这样妈妈先走的那一段路程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离。据此即可解答。即（米）。 【详解】75×3＝225（米） （60＋75）×20＋225 ＝135×20＋225 ＝2700＋225 ＝2925（米） 答：从小红家到学校有2925米。 【点睛】本题主要考查行程问题，熟练掌握它的公式并灵活运用。 36．40千米；6小时 【分析】先根据“路程÷时间＝速度和”求出快车和慢车的速度和；再把速度和按3∶2分配分别求出两车的速度；最后根据“路程÷速度＝时间”求出快车行完全程的时间。 【详解】360÷3.6＝100（千米/时） 100÷（3＋2）＝20（千米/时） 快车的速度：20×3＝60（千米/时） 慢车的速度20×2＝40（千米/时） 360÷60＝6（小时） 答：慢车每小时行40千米，快车行完全程要6小时。 【点睛】明确相遇问题中的数量关系式及按比分配的方法是解决此题的关键。 37．510千米 【详解】每列车停车时间：（分）=（小时），两列车停车时间共小时，共同行驶时间：小时，速度和：（千米），两城距离：（千米）． 38．客车：55千米/小时    货车：62千米／小时 【详解】两车的速度和：468÷4=117（千米/小时） 根据和差公式，可得客车车速：（117-7）÷2=110÷2=55（千米/小时） 货车车速：55+7=62（千米／小时） 答：客车、货车的速度分别为55千米/小时、62千米／小时． 39．4.5小时（图见分析） 【分析】设两车出发后x小时相遇，两车速度和乘x等于810，据此列方程即可解答。 【详解】解：设两车出发后x小时相遇。 （95＋85）×x＝810 180x＝810 180x÷180＝810÷180 x＝4.5 答：两车同时出发，4.5小时能够相遇。 【点睛】本题是相遇问题应用题，掌握路程、速度和时间三者之间的关系是解答本题的关键。 40．7小时 【分析】如果乙在中途不停车，那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和：328＋22×1＝350（千米），两车的速度和：28＋22＝50（千米/小时），然后根据相遇问题“路程和÷速度和＝相遇时间”得 350÷50＝7（小时） 【详解】解法1：（328＋22×1）÷（28＋22） ＝350÷50 ＝7（小时） 解法2： （328－28×1）÷（28＋22） ＝300÷50 ＝6（小时） 6＋1＝7（小时） 答：从出发到相遇经过了7小时。 41．60千米 【分析】设甲车每小时行x千米，则乙车每小时行驶（x＋15）千米，再根据相遇时间×速度和＝相遇路程，据此列出方程解答即可。 【详解】解：设甲车每小时行x千米。 2x＋15＝135 2x＝120 答：甲车每小时行60千米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，解答本题的关键是掌握相遇问题中的数量关系。 42．快车：84千米；慢车：60千米；576千米 【详解】快车速度： 慢车速度：（千米/时） 乙两地相距：（84＋60）×4＝576（千米） 答：快车速度84千米/时，慢车速度60千米/时，甲、乙两地相距576千米。 【点睛】本题考查行程问题中的相遇问题。求快车速度时用快车每小时比慢车多行驶的距离除以快车速度比慢车速度多的分率即可，再根据题意求出慢车速度与甲、乙两地间的距离。 43．40千米 【分析】汽车和公交车的速度比为5∶3，两车同时从A地同向出发前往B地，所以第一次相遇时两车行驶的时间相同，路程比为5∶3，两车第一次相遇时共行驶路程为（160×2）千米，汽车行驶的路程占总路程的，用乘法计算即可得到汽车行驶的路程，再减A、B两地距离即可得相遇地点距离B多远。 【详解】160×2×－160 ＝320×－160 ＝200－160 ＝40（千米） 答：相遇地点距离B地有40千米远。 【点睛】本题考查比的应用，关键是得出两车第一次相遇时共行驶路程为（160×2）千米，汽车行驶的路程占总路程的。 44．云云：65米；青青：78米 【分析】青青走路的速度是云云的1.2倍，可以设云云的速度是x米每分钟，青青的速度是1.2x米每分钟，依据相遇问题的公式作为等量关系即可，相遇总路程＝速度和×时间。 【详解】解：设云云每分钟走x米，青青每分钟走1.2x米。 （x＋1.2x）×5＝715 2.2x×5＝715 11x＝715 11x÷11＝715÷11 x＝65 1.2×65＝78（米） 答：云云每分钟走65米，青青每分钟走78米。 【点睛】两个未知量之间有倍数关系，可以设较小数为未知数，较大数为倍数乘未知数。 45．72千米 【分析】先根据速度＝路程÷时间，算出两车的速度和，然后根据比例3∶2，算出客车的速度即可。 【详解】两车的总速度为：480÷4＝120（千米/小时） 因为客车与货车的速度比是3∶2， 所以，客车的速度为： ＝ ＝72（千米/小时） 答：客车每小时行72千米。 【点睛】本题主要考查了相遇问题，以及成比例的量的求解，需要学生熟练掌握相遇问题中路程、速度、时间之间的关系。 46．700米 【分析】根据路程＝速度×时间，分别求出张明和徐芳5分钟行走的路程。再将两个路程加起来，求出两地间的路程。 【详解】72×5＋68×5 ＝360＋340 ＝700（米） 答：两地间的路程是700米。 【点睛】本题考查行程问题，关键是熟记公式路程＝速度×时间。 47．60千米 【详解】根据题意可知相遇时间为：（时），那么甲车相遇时行了全程的，乙车行了全程的．甲车多行的12千米正好对应全程的，这样就能求出全程． 方法一：1÷（+）=6  （时） 12÷（）=60（千米） 方法二：甲车1小时比乙车1小时多行全程的-= 相遇时间为1÷（+）=6  （时） 所以全程为12÷6÷=60（千米） 答：东西两城相距60千米． 48．400米 【分析】由于无论狗在两人之间跑了多少个来回，狗所走的时间与小军、小琴两人相遇所用的时间是一样的，问题转化为求小军、小琴两人相遇所用的时间，也就是狗行走的时间；再根据路程÷时间＝速度，这只狗每分钟行多少米，即可解答题目。 【详解】2千米＝2000米 2000÷（120＋80） ＝2000÷200 ＝10（分钟） 4千米＝4000米 4000÷10＝400（米） 答：这只狗每分钟行400米。 【点睛】本题属于相遇问题，要求小狗跑的速度，已知小狗跑的路程，关键是得到小狗跑的时间，然后用关系式：路程÷时间＝速度进行解答。 49．10分钟 【分析】兄弟两人相遇时二人共走了2个路长，走的时间也相等，设这时哥哥走了x分钟，则可列出方程80x＋180x＝2×1300，解方程即可解答。 【详解】解：设这时哥哥走了x分钟。 80x＋180x＝2×1300 260x＝2600 x＝10（分钟） 答：这时哥哥走了10分钟。 【点睛】这是一道相遇问题，设方程即可解答，注意两人相遇时二人共走了2个路长。 50．1320千米 【分析】把甲、乙两站间的距离看作10＋12＝22份，根据路程＝速度×时间，路程一定，所以速度和时间成反比例，即速度比是时间比的反比，所以相遇时客车行了12份，货车行了10份，客车比货车多行了2份，正好多行了60×2＝120千米，1份是120÷2＝60千米，22份是60×22，计算求出即可。 【详解】60×2÷（12－10）×（12＋10） ＝120÷2×22 ＝60×22 ＝1320（千米） 答：两站相距1320千米。 【点睛】本题主要考查行程问题中的相遇问题以及反比例的意义，解题的关键是求出路程差。 51．80千米 【详解】解：设乙车每小时行x千米 110×3＋3x＝570 3x＝240 x＝80 答：乙车每小时行80千米。 52．2816千米 【分析】根据甲乙两车的速度比是7∶4可知相遇时所行驶的路程比也是7∶4，从而得出相遇时甲行驶了全程的，而这全程的中包括了全程的以及32千米，因而可求得32千米所占全程的分率为（－），从而可列除法算式求出全程。 【详解】32÷（－） ＝32÷ ＝2816（千米） 答：两地相距2816千米。 【点睛】本题主要考查了比的应用，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 学科网（北京）股份有限公司 $$