第1章 反比例函数 单元测试卷（1）2024-2025学年湘教版数学九年级上册

反比例函数单元测试卷(1) 考试时间:120分钟;总分:120分 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题(每题3分,共30分) 1.下列函数中,函数值y随x的增大而增大的是( ) A. B. C. D. 2.某反比例函数的图象经过点(-1,6),则此函数图象也经过点( ). A.(2,-3) B.(-3,-3) C.(2,3) D.(-4,6) 3.若点A(a,b)在双曲线上,则代数式ab-4的值为 A. B. C. D.1 4.已知点和点在反比例函数的图象上,若,则( ) A. B. C. D. 5.对于反比例函数的图象和性质,下列叙述中正确的个数为( ) ①图象的两个分支分别在第二、四象限;②两个分支既关于原点对称,又关于直线对称; ③随的增大而增大;④当时,. A.1 B.2 C.3 D.4 6.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A.B.C. D. 7.如图,正方形ABOC的边长为2,反比例函数的图象过点A,则k的值是( ) A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4 8.在反比例函数(a为常数)的图象上有,,三点,若,则,,的大小关系为( ) A. B. C. D. 9.在平面直角坐标系中,将一次函数了的图像向右平移4个单位,平移前后与反比例函数的图像分别交于,两点,则线段的长是( ) A.2 B. C.4 D.不能确定的 10.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=( x>0)上,BC与x轴交于点D.若点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为( ) A.(3,) B.(4,) C.(,) D.(5,) 第7题图 第10题图 二、填空题(每题3分,共24分) 11.下列函数:①;②;③;④;⑤;⑥中,y是x的反比例函数的有 (填序号) 12.若反比例函数的图象经过第二、四象限,则m的取值范围是 . 13.已知点,都在反比例函数的图象上,且,则k的取值范围是 . 14.一个菱形的面积为,它的两条对角线长分别为,则与之间的函数关系式为 . 15.已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上,若点与点关于y轴对称,则m的值为 . 16.如图,反比例函数的图象经过点,当时,y的取值范围是 . 17.如图,若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形,则的面积是 . 18.如图,在平面直角坐标系中,菱形的边在x轴正半轴上,反比例函数 过该菱形对角线的交点A,且与边交于点 F.若点 D 的坐标为 ,则点 A的坐标是 . 第16题图 第17题图 第18题图 三、解答题(第19 - 25题8分,第26题10分,共66分) 19.已知反比例函数的图象经过. (1)求这个函数的解析式; (2)若点在这个函数图象上,求m的值. 20.已知反比例函数. (1)若该反比例函数图象在每一个象限内,y都随着x的增大而减小,求m的取值范围; (2)若点在此反比例函数图象上,求反比例函数的解析式. 21.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压是气体体积的反比例函数,其图象如图所示. (1)求该函数的表达式; (2)当气球内的气压大于时,气球将爆炸,为了安全起见,气体的体积应不小于多少?(精确到) 22.如图,学校打算用材料围建一个面积为18平方米的矩形的生物园,用来饲养小兔,其中矩形的一边靠墙,墙长为8米,设的长为y米,的长为x米. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)若围成矩形的生物园的三边材料总长不超过18米,材料和的长都是整米数,求出满足条件的所有围建方案. 23.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数的图象经过点,过作轴的垂线,垂足为,且的面积为1. (1)求m和k的值; (2)若点也在这个函数的图象上,当时,求y取值范围 24.小明到眼镜店调查了近视眼镜的度数和镜片焦距的关系如下表: 眼镜片度数(度) … 镜片焦距 … (1)根据上表体现出来的规律,请写出眼镜度数(度)与镜片焦距之间的函数关系式; (2)若小明所戴眼镜度数为度,求该镜片的焦距. 25.如图,已知,是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点. (1)求反比例函数与一次函数的表达式, (2)求的面积、 (3)结合函数图象直接写出不等式的解集. 26.如图所示:已知直线 与双曲线交于A、B两点,且点A的横坐标为4. (1)求k的值; (2)若双曲线上的一点C的纵坐标为8,求的面积? (3)在坐标轴上是否存在一点M使得的值最小,若存在,请求出M点坐标.不存在,请说明理由. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A B B D C B B 1.A 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质,熟练掌握函数的性质,是解题的关键. 【详解】A、,比例系数大于0,随的增大而增大,符合题意; B、,比例系数小于0,随的增大而减小,不符合题意; C、,在每个象限内,随的增大而减小,不符合题意; D、,在每个象限内,随的增大而增大,不符合题意; 故选:A. 2.A 【分析】将(-1,6)代入中即可求出k的值,再根据k=xy解答即可. 【详解】反比例函数的图象经过点(-1,6),则k=-1 6=-6,各选项中只有A中的纵横坐标的积为-6, 故选:A. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,只要点在函数的图象上,则一定满足函数的解析式,反之,只要点满足函数解析式就一定在函数的图象上. 3.C 【详解】试题分析:因为点A(a,b)在双曲线上,所以ab=3,所以ab-4=3-4=-1,故选C. 考点:反比例函数的性质 4.A 【分析】由反比例函数的性质可知,在同一个象限内,y随x的增大而增大,即可得答案. 【详解】解:∵反比例函数中, ∴在同一个象限内,y随x的增大而增大, ∵点都在反比例函数的图象上,且, ∴, 故选:A. 【点睛】本题考查反比例函数的增减性,掌握反比例函数当时,在同一个象限内,y随x的增大而增大是解题的关键. 5.B 【分析】根据反比例函数的性质解答即可. 【详解】∵k=-6<0, ∴反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限;两个分支既关于原点对称,又关于直线对称;在每个象限内y随的增大而增大; 当x=-3时,y=2;当x=2时,y=-3, ∴当时,且, 故正确的有:①、②, 故选:B. 【点睛】此题考查反比例函数的性质,反比例函数的对称性,增减性,函数图象所在的象限,熟记反比例函数的性质是解题的关键. 6.B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析.根据每个函数图象分析出对应的参数范围,再综合对比即可. 【详解】解: A、由反比例函数的图象在可一、三象限知,则, ∴一次函数的图象经过二,三,四象限,与图象不符,故A不符合题意; B、反比例函数的图象在二、四象限可知当,则, ∴一次函数的图象经过一,二,三象限,与图象相符,故B符合题意; C、由反比例函数的图象在可一、三象限知,则, ∴一次函数的图象经过二,三,四象限,与图象不符,故C不符合题意; D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当,则, ∴一次函数的图象经过一,二,三象限,与图象不符,故D不符合题意; 故选:B. 7.D 【详解】解:因为图象在第二象限, 所以k<0, 根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|=2 2=4, 所以k=﹣4. 故选D 8.C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质,由得出反比例函数(为常数)的图象位于第二、四象限,在每个象限内,随的增大而增大,结合即可得出答案. 【详解】解:, 反比例函数(为常数)的图象位于第二、四象限,在每个象限内,随的增大而增大, ∵, , 故选:C. 9.B 【分析】写出平移后的一次函数的解析式y=x-2,令A(a,a+2),B(b,b-2),根据两点坐标公式求解即可. 【详解】解:一次函数了的图像向右平移4个单位,得 , ∵平移前后与反比例函数的图像分别交于,两点, ∴令A(a,a+2),B(b,b-2), , ∵A(a,a+2),B(b,b-2)在比例函数上, ∴, , 或 或(不合题意,舍去), , , 故选:B. 【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题,一次函数图像的平移,两点的距离公式,熟练运用函数图象解决问题是本题的关键. 10.B 【分析】由矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=( x>0)上,BC与x轴交于点D.若点A的坐标为(1,2),利用待定系数法即可求得反比例函数与直线OA的解析式,又由OA⊥AB,可得直线AB的系数为:,继而可求得直线AB的解析式,将直线AB与反比例函数联立,即可求得点B的坐标. 【详解】∵矩形OABC的顶点A. B在双曲线y= (x>0)上,点A的坐标为(1,2), ∴2=, 解得:k=2, ∴双曲线的解析式为:y=,直线OA的解析式为:y=2x, ∵OA⊥AB, ∴设直线AB的解析式为:y=−x+b, ∴2=− 1+b, 解得:b=, ∴直线AB的解析式为:y=−x+, 将直线AB与反比例函数联立得出: y=y=−x+, 解得:x=4,y=或x=1,y=2, ∴点B(4,). 故选B. 【点睛】本题考查反比例函数,解题的关键利用反比例函数与一次函数的联立. 11.②⑤ 【分析】本题考查了反比例函数定义,熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键. 根据反比例函数的定义逐个判断即可. 【详解】解:①是一次函数,不是反比例函数,故不符合要求; ②是反比例函数,故符合要求; ③不是反比例函数,故不符合要求; ④不是反比例函数,故不符合要求; ⑤是反比例函数,故符合要求; ⑥中,当时,是反比例函数,没有此条件则不是反比例函数,故不符合要求; 故答案为:②⑤. 12. 【分析】本题考查了反比例函数的性质,反比例函数:当时,图象位于第一、三象限;当时,图象位于第二、四象限. 【详解】解:由题意得, 解得. 故答案为:. 13. 【分析】本题考查反比例函数图象及性质,掌握反比例函数的增减性是解题的关键. 根据反比例函数图象上两个点的横坐标的大小关系和纵坐标的大小关系,确定图象的性质,根据图象的性质确定k的取值范围. 【详解】∵,, ∴第一象限内,函数图象从左到右下降, ∴, 解得:. 故答案为:. 14. 【分析】根据菱形面积对角线的积可列出关系式. 【详解】解:由题意得:,可得, 故答案为:. 【点睛】本题主要考查菱形的性质,反比例函数等知识,解题的关键是记住菱形的面积公式. 15.1 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,列出方程是解题的关键. 设,根据点与点关于y轴对称,求出,分别代入各自所在函数解析式,通过方程即可求解. 【详解】解:设, 点与点关于y轴对称, 点, P、Q两点分别在反比例函数和的图象上, 解得:, 故答案为∶1. 16. 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数的性质,利用数形结合是解答此题的关键. 根据图象得出结论. 【详解】解:由图可知,当时,. 故答案为:. 17.3 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和等腰三角形的性质.作于点,由在反比例函数的图象上,根据反比例函数系数的几何意义得,再根据等腰三角形的性质即可求出答案. 【详解】解:如图,作于点, 在反比例函数的图象上, , ,, . 故答案为:3. 18. 【分析】本题考查了菱形的性质,勾股定理的应用.求得中点A的坐标是解题的关键. 由点D的坐标为,可求得菱形的边长,得到,由点中点性质即得. 【详解】∵点 D 的坐标为 , ∴, ∵菱形中,, ∴, ∵点A是的中点, ∴,, ∴, 故答案为:. 19.(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的性质,求反比例函数解析式,解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的性质. (1)将点代入求解即可; (2)将点代入(1)求出的表达式中即可求出的值. 【详解】(1)解:∵反比例函数的图象经过, ∴将代入得:, ∴反比例函数解析式为; (2)解:∵点在这个函数图象上, ∴把代入得, 解得:. 20.(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例的性质, 根据反比例函数得性质得,求解不等式即可; 将点A代入可求得,整体代入即可反比例函数解析式. 【详解】(1)解:∵该反比例函数图象在每一个象限内,y都随着x的增大而减小, ∴, 解得; (2)∵点在反比例函数图象上, ∴, 则, 故反比例函数解析式为. 21.(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式,应用反比例函数解决实际问题,理解气压和气球体积的关系是解题的关键. (1)设反比例函数关系式,再将点A的坐标代入即可得出答案; (2)将代入关系式,求出解,再判断即可. 【详解】(1)设, 将代入,得,解得, ∴所求函数的表达式为; (2)∵, ∴在第一象限内,p随V的增大而减小. 当时,. ∴为了安全起见,气体的体积应不小于. 22.(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用: (1)根据面积得出x和y的函数关系式; (2)根据函数关系式以及得出x的值,然后进行计算. 【详解】(1)解:由题意得,, ∴; (2)解:∵,材料和的长都是整米数,即x、y都是整数,且,且, ∴或. 23.(1),; (2). 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数的性质. (1)根据三角形的面积公式先得到的值,然后把点的坐标代入,可求出的值; (2)先分别求出和3时的值,再根据反比例函数的性质求解. 【详解】(1)解:, ,, , ; 点的坐标为, 把代入, 解得; (2)解:当时,;当时,, 当时,的取值范围为. 24.(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用,熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键. (1)根据图表可以得到眼镜片的度数与焦距的积是一个常数,因而眼镜片度数与镜片焦距成反比例函数关系,即可求解; (2)在解析式中,令,求出的值即可. 【详解】(1)解:∵, ∴与的积恒为,是反比例函数, 则函数的解析式是:; (2)解:令, 则, 解得:, 即该镜片的焦距是. 25.(1), (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合吗,涉及待定系数法确定函数解析式、平面直角坐标系中求三角形面积、图象法解不等式等知识,熟练掌握一次函数及反比例函数图象与性质是解决问题的关键. (1)利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案; (2)在平面直角坐标系中,求出,数形结合,利用,代值求解即可得到答案; (3)不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围,数形结合即可得到答案. 【详解】(1)解:反比例函数过点, ,即; 将,代入,得, 点的坐标为, 将点,的坐标代入一次函数中,得,解得, ; (2)解:在直线中,当时,, 点的坐标为,即, ; (3)解:不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围,且、, 或. 26.(1) (2) (3)存在,M点坐标为,理由见解析 【分析】(1)利用一次函数求出点坐标,再将其代入双曲线中求解,即可解题; (2)利用反比例函数求出点C,过点C作轴于点,过点A作轴于点,,的延长线相加于点,连接,,结合的几何意义根据求解,即可解题; (3)根据点M在坐标轴上使得的值最小分以下两种情况讨论,①当M点在轴上时,②当M点在轴上时,根据以上两种情况结合轴对称性质,两点之间线段最短,待定系数法求一次函数解析式,以及一次函数与坐标轴交点情况分析求解,即可解题. 【详解】(1)解:直线 与双曲线交于A、B两点,且点A的横坐标为4, 将点A的横坐标代入得, 点A的坐标为, 将点A的坐标代入得:, 解得:, 故的值为; (2)解:由(1)可知:双曲线解析式为, 点C在双曲线上,点C的纵坐标为8, 将点C的纵坐标代入得:, 解得:,点C的坐标为, 如图,过点C作轴于点,过点A作轴于点,,的延长线相加于点,连接,, ; (3)解:存在,理由如下: ①当M点在轴上时, 如图,作点关于轴的对称点,连接,交轴于点M,连接, 根据轴对称性质可知,, , 根据两点之间线段最短可知即为的最小值,与轴的交点即为M点, 点C的坐标为, 点的坐标为, 设直线的解析式为, 将、坐标代入得:,解得:, 直线的解析式为, 令,代入得:, 解得:, 点坐标为. 此时最小值为. ②当M点在轴上时, 如图,作点关于轴的对称点,连接,交轴于点M,连接, 根据轴对称性质可知,, , 根据两点之间线段最短可知即为的最小值,与轴的交点即为M点, 点C的坐标为, 点的坐标为, 设直线的解析式为, 将、坐标代入得:,解得:, 直线的解析式为, 令,代入得:, 点坐标为, 此时最小值为,且. 综上所述,M点坐标为. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式,轴对称性质,两点之间线段最短,割补法求面积,的几何意义,以及一次函数与坐标轴交点情况,解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$