精品解析：陕西省武功县普集高级中学2024-2025学年高一上学期新生暑期综合素质测试数学试卷

2024级新生暑期综合素质测试卷（数学） 试卷说明： 1．试卷分值：100分；建议时长：60分钟； 2．请将答案正确填写到相应的答题区域. 一、单选题（本题共8小题，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 31 4. 若方程的一根为1，则另一根为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知全集，集合，集合，则 （　　） A. B. C. D. 8. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共2小题，共10分） 9. 在中，，，，且为重心，为外心，则______． 10. 计算______． 三、解答题（本题共3小题，共50分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11. 已知，求： （1）； （2）． 12. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 13. 据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一条经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面10米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. （1）求这个抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由； （3）某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级新生暑期综合素质测试卷（数学） 试卷说明： 1．试卷分值：100分；建议时长：60分钟； 2．请将答案正确填写到相应的答题区域. 一、单选题（本题共8小题，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】进行分母有理化运算即可. 【详解】. 故选：D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见数集可判断BC的正误，根据元素与集合的关系可判断A的正误，根据集合的关系可判断D的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，为的一个元素，故不正确，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故成立，故D正确， 故选：D. 3. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合真子集个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合， 所以集合的真子集个数为个. 故选：D. 4. 若方程的一根为1，则另一根为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可计算出，再解方程即可得. 【详解】由题意可得，即， 则原方程为，解得或， 故另一根为. 故选：C. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求，结合并集定义求. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：D. 6. 下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可求得集合，根据集合中的元素可判断两集合之间的关系. 【详解】根据题意由可得，即； 解方程可得或，解得或或或， 即可得； 因此可得集合有交集，但没有包含关系. 故选：A 7. 已知全集，集合，集合，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的补集，交集运算从而求解. 【详解】由题意知：全集，集合，所以：， 又因为：集合，所以：，故选项C正确. 故选：C. 8. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，利用完全平方公式可求，再结合立方差公式求 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 二、填空题（本题共2小题，共10分） 9. 在中，，，，且为重心，为外心，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】易知是以为斜边的直角三角形，求得外接圆半径利用重心性质可得结论. 【详解】根据题意可知满足，所以为直角三角形，且为斜边，如下图所示： 又为外心，可得为的外接圆半径，即, 因为为重心，利用重心性质可得. 故答案为： 10. 计算______． 【答案】5 【解析】 【分析】 运用裂项相消求和即可. 【详解】此问题可以看作数列的前50项和. 即. 故答案为：5. 三、解答题（本题共3小题，共50分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11. 已知，求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式化简后配方可得，即可得，代入计算即可得解； （2）由，代入计算即可得解. 【小问1详解】 由，即， 即，故有，即， 则； 【小问2详解】 由，得. 12. 解下列不等式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1） 化简解一元二次不等式； （2）先判断分母的正负情况再化简解一元二次不等式； （3）对进行讨论，确定绝对值里面符号，化简变形即可求解. 【小问1详解】 由题意知可变形为， 解不等式可得或； 【小问2详解】 由题意知， 则可变行为， 化简，可变行为， 解之可得； 【小问3详解】 当时，原不等式可化简为， 解之可得， 当时，原不等式可化简为， 解之可得， 综上可得或. 13. 据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一条经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面10米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误. （1）求这个抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由； （3）某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？ 【答案】（1）； （2）会，理由如下： 当运动员在空中距池边的水平距离为米，即时，， 所以此时运动员距水面距离为， 所以此次跳水会出现失误. （3）米. 【解析】 【分析】(1)设出抛物线的方程，再由抛物线经过的点即可计算作答. (2)利用(1)的结论求出运动员在空中调整好入水姿势时距离水面的高度即可判断作答. (3)设调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m米，利用(1)的结论及给定条件列出不等式，解不等式即可作答. 【小问1详解】 依题意，设抛物线方程为，而抛物线必过，两点， 则有，解得，即有， 所以这个抛物线的解析式为； 【小问2详解】 此次跳水会出现失误，理由略； 【小问3详解】 设要使跳水成功，调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m(m>2)， 则有，解得， 所以运动员此时距池边的水平距离最大为米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $