四川省成都石室中学2024-2025学年高二上学期第一次周考数学试卷

石室中学高2026届高二上期第一次数学周考试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知随机事件，与相互独立，与对立，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72 5. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 6. 构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：（ ） A. B. C. D. 7.掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是两个平面，是两条直线，且. 下列四个选项，正确的有（ ） A.若，则或 B.若，则 C.若，且，则 D.若与和所成的角相等，则 10. 已知事件发生的概率分别为，，则（ ） A. 若，则事件与相互独立 B. 若与相互独立，则 C. 若与互斥，则 D. 若发生时一定发生，则 11. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（ ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：，，；，，．记样本平均数为，样本方差为，． A. 男生样本容量为50 B. 每个女生被抽到的概率 C. 抽取的样本的均值为165 D. 抽取的样本的方差为43 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 12. 甲乙丙三位同学之间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，球仍回到甲处的概率为____________． 13. 已知 ，则 ______________. 14. 将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是_____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）求函数在区间上的所有零点之和. 16.（本小题满分15分） 现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，…，第组，得到如下频率分布直方图． （1）求的值并估计这名男生的身高的第百分位数； （2）求这名男生中身高在以上（含）的人数； （3）从这名男生身高在以上（含）的人中任意抽取人，求该人中身高恰有人在以上（含）的概率． 17.（本小题满分15分） 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． （1）求三棱锥的体积． （2）在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 18. （本小题满分17分） 在锐角中，其内角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 19. （本小题满分17分） 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为. 如图，在直三棱柱中，点的曲率为，分别为的中点，且. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值； （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石室中学高2026届高二上期第一次数学周考试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 4. 已知随机事件，与相互独立，与对立，且，，则（ ） A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72 【答案】B 5. 已知，，，则的最小值是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 【答案】C 6. 构造法是数学中一种常见的解题方法，请结合三角形的正、余弦定理，构造出恰当的图形解决问题：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7.掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是两个平面，是两条直线，且. 下列四个选项，正确的有（ ） A.若，则或 B.若，则 C.若，且，则 D.若与和所成的角相等，则 【答案】AC 10. 已知事件发生的概率分别为，，则（ ） A. 若，则事件与相互独立 B. 若与相互独立，则 C. 若与互斥，则 D. 若发生时一定发生，则 【答案】AB 11. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法正确的是（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：，，；，，．记样本平均数为，样本方差为，． A. 男生样本容量为50 B. 每个女生被抽到的概率 C. 抽取的样本的均值为165 D. 抽取的样本的方差为43 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上. 12. 甲乙丙三位同学之间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传，则经过3次传递后，球仍回到甲处的概率为____________． 【答案】 13. 已知 ，则 ______________. 【答案】 14. 将正方形沿对角线折叠成直二面角，则此时与平面所成角的大小是_____________. 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）求函数在区间上的所有零点之和. 【解析】（1） ……………………6分 因为，所以， 所以，则的值域为；………………………8分 （2）因为，所以，由得 所以，解得，……………………………12分 所以函数在区间上的所有零点之和为.………………………………13分 16. （本小题满分15分） 现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，…，第组，得到如下频率分布直方图． （1）求的值并估计这名男生的身高的第百分位数； （2）求这名男生中身高在以上（含）的人数； （3）从这名男生身高在以上（含）的人中任意抽取人，求该人中身高恰有人在以上（含）的概率． 【解析】 （1）由频率分布直方图知， ，解得.………………………………3分 因为，， 所以第百分位数落在区间内， 设第百分位数为，则，解得， 即第百分位数为.………………………………6分 （2）由图知，身高在以上（含）的人数频率为， 则身高在以上（含）的人数为.…………………………8分 （3）由（2）知，身高在以上（含）的人数为， 则身高在以上（含）的人数为，………………………………10分 男生中身高在内的人数为， 令身高在内编号为， 身高在内编号为， 则样本空间为，………………………………13分 所以该人中身高恰有人在以上（含）的概率为.………………………………15分 17. （本小题满分15分） 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． （1）求三棱锥的体积． （2）在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【解析】 （1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面，……………………………2分 所以.………………………6分 （2）当为的中点时满足平面平面，……………………………8分 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以，……………………………12分 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面.……………………………15分 18. （本小题满分17分） 在锐角中，其内角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 【解析】 （1）因为，故， 整理得到：，……………………………3分 由正弦定理可得，………………………………5分 所以即， 所以，而为锐角三角形， 故，故即.………………………………8分 （2）因为，故，所以， 而，结合可得，………………………………11分 而为锐角，故， 故外接圆半径为，………………………………14分 故.…………………………17分 19. （本小题满分17分） 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为. 如图，在直三棱柱中，点的曲率为，分别为的中点，且. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值； （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数. 【解析】 （1）证明：因为在直三棱柱中，平面，平面， 所以， 所以点的曲率为，得，……………………………2分 因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，所以平面；………………………5分 （2）取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 设，则， 所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，……………………………10分 因为， 所以在中，， 所以二面角的余弦值为；……………………………12分 （3） 证明：设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号， 设第号（）多边形有条边， 则多面体共有条棱， 由题意，多面体共有个顶点，…………………………14分 号多边形的内角之和为，……………………………15分 所以所有多边形的内角之和为， 所以多面体的总曲率为 ，所以简单多面体的总曲率为.…………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$