14.2 全等三角形的判定 同步训练 2024-2025学年沪科版八年级数学上册

沪科版初中数学八年级上册 14.2 全等三角形的判定 同步分层训练培优卷 班级： 姓名： 同学们： 练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你收获满满，学习进步，榜上有名！ 一、选择题 1．如图，已知BF=DE，AB∥CD，要使△ABF≌△CDE，添加的条件可以是（　　） A． B． C． D． 2．已知下列条件，不能作出三角形的是 (　　) A．两边及其夹角 B．两角及其夹边 C．三边 D．两边及除夹角外的另一个角 3．如图，，增加下列条件可以判定的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，已知是的中线，E、F分别是和延长线上的点，且，连接，下列说法中：①；②；③；④．正确的是（　　） ​​ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　） A．50 B．62 C．65 D．68 7．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（　　） A． B． C． D． 8．如图，，点在上，且，点到射线的距离为，点在射线上，．若的形状，大小是唯一确定的，则的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D．或 B． 二、填空题 9．如图，要测量小金河两岸相对的A、两点之间的距离，可以在与垂直的河岸上取、两点，且使．从点出发沿与河岸垂直的方向移动到点，使点A、、在一条直线上．若测量的长为28米，则A、两点之间的距离为　 　米． 10．如图，在中，过点B作的平分线的垂线．连接N与中点M，若，，则　 　． 11．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是　 　（只需写一个，不添加辅助线）； 12．如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为　 　米． 13．如图，已知，垂足分别为、，、交于点，且，则图中的全等三角形共有　 　对． 三、解答题 14．如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，，请判断与是否相等？并说明你的理由． 15．如图，在四边形中，，点E是的中点，．求证：． 证明：∵， ∴，（　　） ∵， ∴ ∴∠ =∠ ． ∵E为中点， ∴ 在和中． ∴（　　） ∴（　　） 四、综合题 16．在中，平分交于点D． （1）如图1，，垂足分别为M，N．试说明：； （2）如图2，点E是线段上一点，过点E作交于点F，与交于点H，平分交于点G； ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与之间的数量关系，并说明理由． 17．如图（1），，，垂足分别为、，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为当点运动结束时，点运动随之结束． （1）AP　 　，　 　用含的代数式表示； （2）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （3）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点、运动到何处时有与全等，求出相应的的值． 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、， ， ， ，即， 不能证明，故选项A不符合题意； B、， ， 又，， 不能证明，故选项B不符合题意； C、， ， ， ， ， ， ， ，故选项C符合题意； D、， ， 又， 该条件不能证明，故选项D不符合题意. 故答案为：C. 【分析】又AB∥CD可得∠B=∠D，又BF=DE，要使△ABF≌△CDE，如果用SAS可以添加：AB=CD；若果要用ASA可以添加能证出∠AFB=∠CED的条件；若果要用AAS可以添加∠A=∠C，从而一一判断得出答案. 2．【答案】D 【解析】【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理即可． 【解答】A、B、C分别符合全等三角形的判定SAS、ASA、SSS，故能作出唯一三角形； D、已知两边及除夹角外的另一个角，不能作出唯一三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形，错误； 故选D． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得： ， A、添加 ，无法判定 ，本项不符合题意； B、添加 ，可利用角边角判定 ，本项符合题意； C、添加 ，无法判定 ，本项不符合题意； D、添加 ，无法判定 ，本项不符合题意. 故答案为：B. 【分析】由题意已知 ，，根据(ASA)，即可判断B；由A、B、C给的条件，都无法判断 .即可选出答案. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵和是的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°，∠FCD+∠DFC=90°，∠EAF+∠AFE=90°， ∵∠AFE=∠DFC， ∴∠EAF=∠FCD， ∵BD=FD， ∴△ABD≌△CFD（AAS） ∴AD=CD=7， ∴AF=AD-DF=7-4=3， 故答案为：A. 【分析】证明△ABD≌△CFD（AAS），可得AD=CD=7，根据AF=AD-DF即可求解. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：是的中线， ，正确； ， ，， ，正确； ，， ， 正确； 条件不足，无法判断， 故答案为：A. 【分析】先通过中线的定义判定正确，再利用平行线的性质通过AAS证得，判定正确，然后利用领补角的定义和三角形的内角和定理判定正确. 6．【答案】A 【解析】【解答】 解：∵AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥FH ∴∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°， ∴∠EAF+∠BAG=90°，　∠ABG+∠BAG=90° ∴∠EAF=∠ABG， 又AE=AB，∠EFA=∠AGB=90°， ∴△EFA≌△ABG ∴AF=BG，EF=AG． ∵EF＝6，BG＝3，∴AG＝6，AF＝3 同理证得△BGC≌△CHD得CG=DH＝4，BG＝CH＝3， ∴FH=AF+AG+CG+CH=3+6+4+3=16 故S=（6+4）×16-×3×4×2-×6×3×2=50． 故答案为50． 故答案为：A. 【分析】证明△EFA≌△ABG，△BGC≌△CHD可得AF，AG，CG，CH的长，再用梯形DHFE的面积减去四个空白三角形面积即可。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵∠OCF=∠ODG=90°，∠COF=∠DOG，OF=OG， ∴△COF≌△DOG（AAS）， ∴DG=FC=20cm， ∴小明离地面的高度是45+20=65cm. 故答案为：D. 【分析】利用AAS可证明△COF≌△DOG，得到DG=FC=20cm，据此不难求出小明离地面的高度. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：当MP⊥OA时，即MP=x=a时，△OMP是直角三角形， 当a＜x＜6时，MP与OA的交点有2个，即△OMP有两个， 当x≥6时，MP与OA的交点有1个，即△OMP有1个， ∴x的范围是x=a或x≥6； 故答案为：A. 【分析】分别找出x=a，a＜x＜6，x≥6时，三角形是不是唯一的即可. 9．【答案】28 【解析】【解答】解：，， ， ，， ， ， 的长为28米， 米. 故答案为：28. 【分析】先利用垂直的定义得到∠ABC=∠CDE=90°，再通过ASA判定△ABC≌△EDC，得AB=DE=28，从而求得A、B两点之间的距离. 10．【答案】8 【解析】【解答】解：如图所示：延长BN交AC于点E， ∵AN 是∠BAC的角平分线， ∴∠BAN =∠EAN， ∵AN = AN，∠ANB = ∠ANE=90°， ∴△BAN≌△EAN(ASA)， ∴BN=EN，AE=AB=5， ∵M是BC的中点， ∴BM=CM， ∴CE=2MN=3， ∴AC=AE+CE=5+3=8， 故答案为：8. 【分析】根据角平分线求出∠BAN =∠EAN，再利用ASA证明△BAN≌△EAN，最后利用全等三角形的性质和线段的中点计算求解即可。 11．【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解：添加：∠A=∠D， 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（ASA） 故答案为：∠A=∠D. 【分析】已知，， 欲使，可根据ASA、AAS、SAS进行添加即可. 12．【答案】16 【解析】【解答】解：根据题意可知，BF⊥AB，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 又∵BC＝DC，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC≌△EDC， ∴AB＝ED＝16 故答案为：16. 【分析】证明△ABC≌△EDC可得AB＝ED。 13．【答案】4 【解析】【解答】解： ∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°， 又∵∠BAO＝∠CAO，AO＝AO ∴△ADO≌△AEO ∴OD＝OE，AD＝AE 由OD＝OE，∠BOD＝∠COE，∠ODB＝∠OEC＝90° 可是△ODB≌△OEC； ∴∠B＝∠C，BD＝CE，OB＝OC。 由∠B＝∠C，∠BAO＝∠CAO，AO＝AO可得△AOB≌△AOC。 由∠C＝∠B，∠ADC＝∠AEB＝90°，AD＝AE可得△AOB≌△AOC 综上，共有全等三角形4对。 故答案为：.4 【分析】利用题中已知条件及隐含条件，根据三角形全等的判定方法进行分析判断。 14．【答案】证明：， 理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴ ∴． 【解析】【分析】分析已知条件，由平行可证角相等，易由SAS定理证全等，从而对应角相等。 15．【答案】解：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴． ∵E为中点， ∴， 在和中． ∴（） ∴（全等三角形的对应角相等）． 【解析】【分析】由EA＝EB可得∠EAB＝∠EBA，根据平行线的性质可推导出∠AED＝∠BEC，再结合DE＝CE，AE＝BE可推导出结论。 16．【答案】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①115°； ②110°； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， 又∵ ∴ ． 【解析】【解答】解：（2）①∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ； 故答案为：110°； 【分析】（1）由角平分线的定义得∠DCM=∠DCN，由垂直的定义得∠DMC=∠DNC=90°，根据AAS证明△CDM≌△CDN，利用全等三角形的对应边相等即可求解； （2）①由角平分线的定义可得∠BCD=∠ACB=50°，利用三角形内角和定理求出∠CDB=100°，根据平行线的性质可得∠DEF=∠B=30°，由角平分线的定义可得∠DEG=∠DEF=15°，根据三角形外角的性质求出∠CGE的度数； ②利用三角形内角和定理求出∠B+∠ACB=140°，根据角平分线的定义及平行线的性质可推出∠DEG=∠DEF=∠B，再根据三角形内角和定理求出∠CDB=180°-∠B-∠BCD=180°-∠B-∠ACB，利用三角形外角的性质可得∠CGE=∠CDB+∠DEG，据此计算即可； ③同②方法求解即可. 17．【答案】（1）2t；（7-2t） （2）解：△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下： 证明：点Q的运动速度与点P的运动速度相等， 当t=1时，AP=BQ=2cm，BP=7-2=5cm， ∵AC=5cm， ∴AC=BP， ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A=∠B=90°， 在△CAP与△PBQ中， ∵AC=PB，∠A=∠B=90°，AP=BQ， ∴△CAP≌△PBQ（SAS）， ∴∠ACP=∠BPQ， ∵∠ACP+∠CPA=90°， ∴∠BPQ+∠CPA=90°， ∴∠CPQ=90°， ∴PC⊥PQ； （3）解：由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm， 分类讨论： ①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ， ∴5=7-2t且2t=tx， 解得x=2，t=1； ②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP， ∴5=xt且2t=7-2t， 解得t=，x=， 综上当△ACP与△BPQ全等时，x的值为2或. 【解析】【解答】解：（1）AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm； 故答案为：2t，（7-2t）； 【分析】（1）根据路程=速度×时间可表示出AP的长，进而根据BP=AB-AP可表示出BP； （2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：由题意易得AP=BQ，AC=BP，由垂直定义得∠A=∠B=90°，用SAS判断出△CAP≌△PBQ，得∠ACP=∠BPQ，从而由直角三角形两锐角互余、等量代换及平角定义可得∠CPQ=90°，根据垂直定义可得答案； （3）由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，分类讨论：①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，分别列出方程，求解可得答案. 学科网（北京）股份有限公司 $$