11.2.2 三角形的外角 课件 2024-2025学年人教版八年级数学上册

11.2.2三角形的外角 任课教师：姬鑫鑫 第十一章 三角形 学习目标： 1.了解三角形外角的概念. 2.理解三角形外角性质及三角形外角和的探究.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题，进而提高理解能力、数学运算能力。 2 自学任务一：三角形的外角 △ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？ A B C D 内角分别是：∠A，∠B，∠C. 关系：∠A+∠B+∠C=180° 若把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD,这个角还是三角形的内角吗？ 不是 自学任务一：三角形的外角学任务一：三角形的外角 知识归纳 三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角． 任务：自学课本14页最后一段， ∠ACD是什么角？并给出对应知识的定义。 A B C D ∠ACD是△ABC的外角 动手操作 画一个△ABC，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试. 同时想一想外角与相邻内角有什么特殊关系？ 1 2 3 4 5 6 1.每个外角和相邻内角互补； 2.每一个顶点相对应的外角都有２个，且这2个角为对顶角； 3.每一个三角形都有６个外角. 5 新知练习 F A B C D E 如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 如图，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°，∠ACD是 △ABC的一个外角.能由∠A,∠B求出∠ACD吗？ 70° 60° 解：在△ABC中 ∠ACB=180°-（∠A+∠B） =180°-（70°+60°） =50° ∴∠ACD=180°-∠ACB=130° 任务二：三角形的外角的性质 猜想∠ACD与∠A,∠B有什么数量关系？ 任意三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ D A B C 已知：△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 证明：在△ABC中， ∠ACB+∠A+∠B=180° 又∵∠ACB+∠ACD=180° ∴∠ACD=∠A+∠B 任务二：三角形的外角的性质 任务二：三角形的外角的性质 三角形外角性质1 A B C D ( ( ( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. ∠ACD ∠A (<、>)； ∠ACD ∠B (<、>) 性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. > > 巩固训练 说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 三角形的外角和 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：∵∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角 ∴∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又∵∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ∴∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 三角形的外角和 结论：三角形的外角和等于360°. 你还有其它解法吗？ 解法二：如图，∠BAE+∠1=180° ① ， ∠CBF+∠2=180° ②， ∠ACD+∠3=180° ③， 又知∠1+∠2+∠3=180°， ①+②+③得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540 °， 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°. 结论：三角形的外角和等于360°. 12 典例解析 例1.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于 （ ） F A B E C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 例2.如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 典例解析 小结梳理 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360 ° 15 变式：如图，点O是△ABC内一点，连接BO，CO，CO恰好平分∠ACB，延长BO交AC于点E．已知∠A=50°，∠BCO=35°，∠BEC=65°，求∠ABO和∠OBC的度数． 解：∵∠A=50°，∠BCO=35°， ∴∠ABO=∠BEC-∠A=65°-50°=15°， ∵CO平分∠ACB ，∠BCO=35°， ∴∠BCA=2∠BCO=70°， ∴∠ABO=180°-∠A-∠BCA=180°-50°-70°=60°， ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO= 60°-15°=45°． 例3.如图，已知AD是△ABD和△ACD的公共边.求证:∠BDC=∠BAC+∠B +∠C. 证明:延长AD. ∵∠BDE与∠CDE分别是△ABD与△ACD 的外角, ∴∠BDE=∠1+∠B，∠CDE=∠2+∠C, ∵∠BAC=∠1+∠2，∠BDC=∠BDE+∠CDE, ∴∠BDC=∠1+∠B+∠2+∠C =∠BAC+∠B+∠C. 变式：如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51°+20°+30°=101°. E 你发现了什么结论？ A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51°+20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. ) 2 F 【点睛】解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 你发现了什么结论？ 19 A B C D ( ( ( ※基本几何图形---飞镖形 数量关系：∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD 20 定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形内角和定理的推论1： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，∴ ∠ACD=∠A+∠B. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 几何语言：∵∠ACD是△ABC的外角 ∴ ∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B 三角形内角和定理的推论2： $$