12.2 一次函数 教案-2024-2025学年沪科版八年级数学上册

《 12.2 一次函数 》教学设计 教学内容分析 本课时主要讲了正比例函数及一次函数的概念，正比例函数图象的画法及性质，为后面研究一次函数的图象的画法及性质奠定了基础，是十分重要的一课时。 学习者分析 从认知状况来说，学生在此之前已经学习了《变量与函数》、《函数的图像》, 对函数的意义已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于函数图像的理解，由于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应注意发展学生数形结合的思想。 教学目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念； 2.能通过两点画出正比例函数的图象； 3.掌握正比例函数图象的性质. 教学重点 理解正比例函数的图象和性质. 教学难点 掌握正比例函数的图象和性质并能灵活解决问题. 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 函数的概念： 一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应.我们就说x是自变量， y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量为a时的函数值. 学生活动1： 学生动脑回忆思考，并积极回答. 活动意图说明： 回忆函数的概念，进而引出新课。让学生在温习旧知识的过程中体会旧知与新知之间的联系，积极探索新知识。 环节二：理解一次函数和正比例函数的概念. 教师活动2： 在上节，遇到过这样的一些函数： h=30t+1800 ； Q=25t+300 ； y=2x ； y=2x ；s=80t. 问题：这些函数有什么共同特点？ 这些函数的表达式都是关于自变量的一次函数，可以写成：y=kx+b的形式. 一次函数: 一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数． 满足条件：① k≠0； ②自变量x的次数是1； ③常数项b为任意实数. 其中，当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k为常数，且k≠0） 如上面的 y=2x，y=-2x，s=80t，这些函数中两个变量间的关系，就是小学学过的正比例关系． 正比例函数: 形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做正比例函数. 正比例函数是一次函数的特殊情形． 正比例函数必须满足： ①k是常数，且k≠0 ②x、y的次数都是1 注意：（1）正比例函数的比例系数用字母表示时，一定要注明“≠0”. （2）判断一个函数关系式是不是正比例函数，要将式子化简后再进行判断. 学生活动2： 学生观察、思考、分组讨论、交流，总结一次函数的概念。 活动意图说明： 从具体解析式入手，使学生认识到一次函数的解析式的基本结构，通过这些问题使学生进一步加深对函数的理解，引出一次函数和正比例函数的概念. 环节三：通过两点画正比例函数的图象. 教师活动3： 下面，来研究正比例函数的图象与性质. 前面画过函数y=2x，y=-2x及另外一些正比例函数的图象. 可见正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的图象是一条经过原点的直线， 通常我们把正比例函数 y=kx（k为常数，且k≠0） 的图象叫做直线y=kx． 因为两点确定一条直线，所以画正比例函数的图象，只要先描出两点，再过这两点画直线，就可以了． 学生活动3： 学生听教师讲解，思考总结如何画正比例函数的图象. 活动意图说明： 通过具体实例，帮助学生掌握过两点画正比例函数的图象. 环节四：探究正比例函数图象的性质. 教师活动4： 例 １ 在同一平面直角坐标系中，画下列 函数的图象： y＝x， y＝x， y＝3x． 解：列表： 如图 ，过两点（0，0）， （1，）画直线，得y＝x 的图象； 过两点（0，0），（1，1）画直线，得 y＝ x 的图象； 过两点（0，0），（1，3）画直线，得 y＝3x 的图象． 练习：在同一平面直角坐标系中，画下列 函数的图象： y＝-x， y＝-x， y＝-3x． 解：列表： 结合例 1 及上面练习中的图象，就下面问题思考后回答： （1）k＞0 与k＜0时，y=kx的图象各有什么特点？ （2）｜k｜ 的大小不同，对y=kx的图象有什么影响？ 正比例函数 y = k x ( k>0 ) 的性质： 函数图象经过第一、三象限； 图象自左至右上升 ，即y随x的增大而增大. 正比例函数 y = k x ( k＜0 ) 的性质： 函数图象经过第二、四象限； 图象自左至右下降 ，即y随x的增大而减小. k的符号决定了直线的倾斜方向(经过的象限) ，|k|越大，倾斜程度就越大； |k|越小，倾斜程度就越小. 一般地，正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）有下列性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大（图象是自左向右上升的）； 当k＜0时，y随x的增大而减小（图象是自左向右下降的） 学生活动4： 学生小组合作画出函数的图象，派代表展示答案。 学生通过上面的实例尝试总结正比例函数的性质。 活动意图说明： 在多个实例的基础上，归纳得到正比例函数图象的性质，潜移默化地对学生进行了概括、归纳、比较、分析的思维方法的教育. 板书设计 课题：12.2.1一次函数 1.一次函数、正比例函数的概念: 2.正比例函数的图象: 3.正比例函数的性质： 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列函数中，y是x的正比例函数的是（ C ） A．y=4x+1 B．y=2x² C．y=-x D．y=x+1 2.若正比例函数y=（1-4m）x的图象y随x的增大而减小，则m的取值 范围是（ A ） A． B． C． D．m<0 3.函数 y=4x 的图象经过点(0, 0 )与点(1, 4 ),图象经过第 一、三 象限,y随x的增大而 增大 . 4.函数y=-2x的图象经过点(0, 0 )与点(1, -2 ),图象经过第 二、四 象限,y随x的增大而 减小 . 5.已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值. 解：∵正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）, ∴4=m·m，解得m=±2. ∵y的值随着x值的增大而减小， ∴m<0，故m=-2 选做题： 6.正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2的大小关系是( A ) A. k1>k2 B. k1=k2 C. k1<k2 D. 不能确定 7.若 y 关于 x-2 成正比例函数，当 x=4时，y=-4. 试求出 y关于 x 的函数解析式. 解：因为 y 关于 x-2 成正比例函数，所以设 y=k(x-2)(k≠0). 当 x=4 时，y=-4. 所以 -4=k(4-2)，即 2k=-4，解得：k=-2. 则函数解析式为：y =-2(x-2)=-2x+4. 【综合拓展类作业】 8.已知y-3与2x-1成正比例，且x=1时，y=6. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果y的取值范围是0≤y≤30 ，求x的取值范围. 解：(1)根据题意，设y-3=k(2x-1) 将x=1， y=6代入解得：k=6 . ∴y-3=6(2x-1)，即y=6x . (2)因为k=6＞0，所以y随x的增大而增大. 又当y=0时，x=0；当y=30时，x=5 . ∴x的取值范围是0≤x≤5. 课堂总结 1.一次函数: 一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数． 2.正比例函数： 形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做正比例函数. 3.正比例函数的图象： 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线. 根据两点确定一条直线，一般选(0，0)和(1，k). 4.正比例函数的性质： 一般地，正比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）有下列性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大（图象是自左向右上升的）； 当k＜0时，y随x的增大而减小（图象是自左向右下降的） 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知正比例函数y=ax的图象经过点(3,−6)，则下列四个点中在这个函数图象上的是（ B ） A．(1,−3) B．(2,−4) C．(4,−7) D．(5,−8) 2.若函数y＝－2xm－2是正比例函数，则m＝ 3 ． 3.已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上有两点（-3，y1），（1，y2），则y1 ＞ y2. 选做题： 4．已知正比例函数y=(2m+4)x. （1）当m ＞-2 ，函数图象经过第一、三象限； （2）当m ＜-2 ，y 随x 的增大而减小； （3）当m =0.5 ，函数图象经过点（2，10）. 5．如右图所示，三个正比例函数的图象分别对应表达式：① y=ax，② y=bx，③ y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“<”连接为 a<c<b . 【综合拓展类作业】 6.已知 y 与 x 成正比例函数，当 x=2时，y=6. 则当 y=9 时，求 x 的值. 解：因为 y 与 x 成正比例函数，所以设 y=kx(k≠0). 当 x=2 时，y=6. 所以 6=2k，即 k=3. 则函数解析式为：y =3x. 当 y=9 时，9 =3x，解得 x=3. 教学反思 本节课内容是在学生学习了变量和函数的基本概念的基础上进行的，由于刚接触函数，学生对于变量之间的关系理解得还不是很透彻，对于这节课学习有关于正比例函数图象的性质，有一定的困难，而且这节课中两个变量成正比例和正比例函数这两个概念之间的联系和区别是学生较难理解的内容.通过本节学习让学生了解正比例函数的定义、图象、性质及画法，经历描点法绘制图象的过程探究正比例函数图象及性质,通过合作解决实际问题的能力培养学生的数学交流能力和团队协作精神. 学科网（北京）股份有限公司 $$