第5章 平面直角坐标系 讲义 2024-2025学年苏科版八年级数学上册

编号： 10 学生姓名： 年 级： 八年级 辅导科目：数学 课题 平面直角坐标系 教学内容 【题型预览】 题型1：结合反射求坐标 题型2：角度长度定点位 题型3：坐标的规律探索 题型4：利用坐标求面积 题型5：坐标内点的距离 【重点题型讲解】 题型1：结合反射求坐标 1.如图，已知长方形OABC，一束光线从点P（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反射，反射时反射角等于人射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P（3，0）. （1）通过几次反射P点的路径再次与PP1重合？ （2）当光线P第10次碰到长方形的边时，求点P的坐标. 本题结合了物理学科光的反射，对点坐标的对称进行了考查，学生需要根据物理知识中“根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角“准确作出反射图形，再通过观察坐标与坐标之间的规律来求解，有助于提升学生的逻辑推理能力及数形结合思想. 题型2：角度长度定点位 2.如图① ，∠O＝β°，OP＝a，那么我们规定用（a，β）表示点P在平面内的位置，并记为P（a，β），例如，图② 中，如果OM＝6，∠XOM＝100°，那么点M在平面内的位置，记为M（6，100），根据图形，解答下面的问题: （1）如图③ ，若ON＝7，∠XON＝35°，则点N在平面内的位置可记为; （2）如果点A，B在平面内的位置分别记为A（6，30），B（8，120），试求A，B两点之间的距离; （3）① 如图④ ，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（3，3），用上述方法写出点B在平面内的位置; ② 若将线段OB绕点O逆时针旋转75°，旋转后点B对应的点为B′，求△AOB′的面积. 本题通过平面中点的表示引中到平面直角坐标中点的表示进行考查，学生需要理解该题表示点位置的两个量（角度和长度），再数形结合进行任意点的位置表示和计算，然后结合直角坐标系中点的坐标解决问题，有助于锻炼学生抽象问题具体化的逻辑思维能力. 题型3：坐标的规律探索 3.在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都为整数的点称为整点，已知一组等腰直角三角形的三个顶点恰好均落在两坐标轴上，请你观察每个等腰直角三角形三条边上的整点个数的变化规律. （1）求经过点（-4，1）的等腰直角三角形三条边上的整点个数; （2）① 经过x轴上的点（n，0）（n为正整数）的等腰直角三角形三条边上的整点个数记为m，判断m与n之间的函数关系，并说明理由; ② 若经过x轴上的点（x，0）（x为正整数）的等腰直角三角形的三条边上的整点个数为8088，求x的值. 本题巧妙地将等腰直角三角形放置在了平面直角坐标中进行规律探索，学生需要根据等腰直角三角形在坐标系中点的特征，结合等腰直角三角形的性质，观察出前3个等腰直角三角形三条边的整点个数，总结出规律进而求解，有助于提升学生的数形结合思想及逆推能力. 题型4：利用坐标求面积 4.如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OC，OA分别与x轴，y轴重合，已知点A（0，8），C（-6，0），若动点P从点A出发，沿着A-B--C的方向以每秒2个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t. （1）求点B的坐标; （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段BP的长; （3）若点D的坐标为（0，2），是否存在点P，使S△BPDS长方形ABCO？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由. 本题将点的坐标、相应线段的长和面积的数量关系联系起来，学生需要首先理解点、线、面各变量之间的关系，且在点位置不确定的情况下能想到用分类讨论思想解决问题，有助于提升学生对数形结合思想及转化与化归思想的应用理解. 题型5：坐标内点的距离 5.回顾知识: 在平面直角坐标系中，如图① ，已知x轴上两点A（x1，0），B（x2，0），则AB＝|x1-x2|;如图② ，已知y轴上两点A（0，y1），B（0，y2），则AB＝|y1-y2|. 拓展新知: 如图③ ，已知平面上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向x轴，y轴作垂线，AD，AF和BG，BE，垂足分别是D（x1，0），F（0，y1），E（x2，0），G（0，y2），直线AD交BG的延长线于C. （1）AB＝（用含x1，y1，y2，y2的代数式表示）; 解决问题: （2）已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为（2，-1），试求点N的坐标; （3）已知一个三角形的各顶点坐标为D（0，6），E（-3，2），F（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由. 本题以探索的形式给出坐标系中两点间的距离公式，该题设问的递进形式对学生分析试题解决问题有很好的指导思想，学生首先需要掌握点与线段的关系，并能对基本知识点进行转化，然后根据三角形判定定理进行求解，有助于提升学生数形结合思想及推理能力. 【综合强化练习】 1.若点P（1+a，-b）在第二象限，则点Q（a+b，b-1）在第（　　）象限. A.一 B.二 C.三 D.四 2.万罐原创已知点A（-4，0），B（6，0），C（3，m），如果△ABC的面积是15，则m的值为（　　） A.-3 B.3 C.-4 D.3或-3 3.在平面直角坐标系上具有整数坐标的点称为整点.若一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（　　） A.3个 B.4个 C.6个 D.8个 4.如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位长度/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位长度/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇点的坐标是（　　） A.（1，-1） B.（2，0） C.（-1，1） D.（-1，-1） 5.小林同学将M（x，y）关于x轴的对称点M′错看成M是关于y轴的对称点，因而得出M′′（6，-2），那么M关于x轴的对称点M′的坐标为 . 6.点P（a，b）为平面直角坐标系中任意一点，k为实数且k≠0，则称P1（a+kb，ka+b）为点P关于k的“衍生点”.例如:P1（2+4×3，4×2+3）为点P（2，3）关于4的“衍生点”，即点P1的坐标为（14，11）. （1）点P（-2，3）关于2的“衍生点”P1的坐标为; （2）若点P（-2，1）关于m的“衍生点”P2的坐标为（3，n），求m，n的值; （3）若点P在x轴正半轴上，点O为坐标原点，点P关于k的“衍生点”为点P3，且线段PP3的长度为线段OP长度的3倍，求k的值. 7.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，3），（0，-1），现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B对应的点A′，B′，连接AA′， BB′，A′B′交x轴于点C， （1）求点A′，B′的坐标; （2）若在x轴上存在点P，使得S△PA′B′＝S平行四边形ABBA1，求点P的坐标; （3）若点Q在线段BB′上运动（不与B，B′重合），连接QO，QC，求S△OBO+S△CB′的取值范围. 8.如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（a，0），（0，b），（a，c），其中， a，b，c满足+（b-3）2＝0，|c-6|≤0.点P（m，1）为第一象限内一点. （1）求A，B，C的坐标; （2）请用含m的代数式表示△BOP的面积; （3）将AB绕点B顺时针旋转90°后，点A的对应点为A′，若S△ABC:S△A′OP＝2:3，求m的值. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$