小升初典型奥数：牛吃草问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】

第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。

第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。

第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。

第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。

【知识点归纳】 牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化．解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量．显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量﹣﹣每天（每周）新长出的草的数量． 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量． 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：确定两个不变的量． 基本公式： 生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量； 牛吃草问题常用到四个基本公式： 牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的．典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天．由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化．解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是： （1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数﹣相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数﹣吃的较少天数）； （2）原有草量＝牛头数×吃的天数﹣草的生长速度×吃的天数； （3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度）； （4）牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度． 这四个公式是解决消长问题的基础． 由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的．正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式． 这类问题的基本数量关系是： 1、（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草量． 2、牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草．

例题1：西安美术馆举办画展，美术馆9时开门，但早有人来等候．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众数一样多．如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就不再有人排队．那么，第一个观众到达时是8时几分？

【答案】见试题解答内容

【分析】9时开门，开3个入场口，9时9分就不再有人排队，开5个入场口，9时5分就没有人排队，

由此可得来人的速度为（9×3﹣5×5）÷（9﹣5）＝0.5，开门之前来人为3×9﹣0.5×9＝22.5，第一个观众来的时间距开门时间：22.5÷0.5＝45分，再用9时减去45分即可求出答案．

【解答】解：（9×3﹣5×5）÷（9﹣5）

＝（27﹣25）÷4

＝2÷4

＝0.5

3×9﹣0.5×9

＝27﹣4.5

＝22.5

22.5÷0.5＝45（分）

9时﹣45分＝8时15分

答：第一个观众到达的时间是8时15分．

【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用速度解决问题．

例题2：两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，已知男孩子每分钟走45级楼梯，女孩子每分钟走40级楼梯，结果男孩子用6分钟到达另一端，女孩子用9分钟到达另一端，该扶梯共有多少级？

【答案】90级。

【分析】在下楼的过程中，自动扶梯也在以均匀的速度行驶着，所以可以根据男孩和女孩下楼的时间求出自动扶梯每分钟走多少级，然后利用男孩或女孩下楼的时间求出自动扶梯的级数。

【解答】解：自动扶梯每分钟走：

（40×9﹣45×6）÷（9﹣6）

＝（360﹣270）÷3

＝90÷3

＝30（级）

自动扶梯共有级：

40×9﹣30×9

＝360﹣270

＝90（级）

答：该扶梯共有90级。

【点评】本题考查了牛吃草问题，解题关键是求出自动扶梯每分钟走的级数。