小升初典型奥数：方阵问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

方阵问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题． 数量关系： （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数﹣1）×4 每边人数＝四周人数÷4+1 （2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 空心方阵：总人数＝（外边人数）2﹣（内边人数）2 内边人数＝外边人数﹣层数×2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数﹣层数）×层数×4． 第二部分 典型例题 例题1：二年级同学参加合唱表演，现在有55个同学参加表演，至少增加几个同学就能排成正方形的队形？（简单的方阵问题） 【答案】9个． 【分析】排成正方形的队形，那么每行、每列的人数都相等，想乘积稍大于55，且两个乘数相同的乘法口诀“八八六十四”，可知方队的总人数是64人，再减去已有的55人，就是需要增加的人数． 【解答】解：8×8＝64（个） 64﹣55＝9（个） 答：至少增加9个同学就能排成正方形的队形． 【点评】解决本题先理解正方形队形的含义，根据乘法口诀求出总人数，再根据减法的意义求解． 例题2：学校要举行广播体操比赛，五年级学生训练时队伍排成10行10列，现在要增加2行2列，要增加学生多少人？ 【答案】44人。 【分析】10行10列方阵，共有10×10＝100（人），如果增加2行2列，变成10+2＝12（行），10+2＝12（列），共有12×12＝144（人），然后用总人数减去原来的人数就是增加的人数。 【解答】解：10+2＝12（人） 10×10＝100（人） 12×12＝144（人） 144﹣100＝44（人） 答：要增加学生44人。 【点评】本题关键是求出增加2行2列的列数和行数（即每列的人数和列数）。 例题3：有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，需要2+5＝7人，去掉顶点1人，那么原来最外层每边的人数：（2+5﹣1）÷2＝3（人），然后根据“实方阵的总点数＝每边的点数×每边的点数”，求出原来方阵的人数，再加上2人求出有学生多少人即可． 【解答】解：（2+5﹣1）÷2＝3（人） 3×3+2＝11（人） 答：有学生11人． 【点评】本题关键是求出最外层每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数． 例题4：公园在水池周围用鲜花围成了一个每边四层的方阵，最外面一层每边有14盆鲜花。一共摆了多少盆鲜花？ 【答案】160盆。 【分析】由题意知，这是一个四层空心方阵，最外面一层每边14盆鲜花，要求这个四层空心方阵共摆了多少盆鲜花，就是求这个方阵的总点数；根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可。 【解答】解：（14﹣4）×4×4 ＝10×4×4 ＝160（盆） 答：一共摆了160盆鲜花。 【点评】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。 第三部分 高频真题 1．一个正方形花坛四周均匀地种了424棵月季，4个顶点上也各种了1棵。每边有多少棵月季？ 2．16名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？（先画图解释，再解答） 3．学校舞蹈队64人排成方阵，最外层的队员都要手持鲜花，一共要准备多少束鲜花？后来队形变换成长方形，每排16人，这时要准备多少束鲜花？ 4．在学校教学楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成6排，每排6盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？（先画图表示出1个方阵的排列，再计算） 5．同学们做早餐，排成一个长方形的矩阵，从前、后数，小明都是第8个，从左、右数，小明都是第5个，这个长方形的矩阵共有多少人？ 6．四年级团体操队员排成了一个正方形的方阵进行训练，后因服装不够，正式表演时横排、竖排各去掉一排，一共去掉了25人。原来一共有多少名队员参加训练？ 7．“六一儿童节”前夕，实验小学校园里用144盆鲜花摆成一个方阵花坛。最外层一共有多少盆鲜花？ 8．一个正方形的活动场地，在它的四周插上彩旗（四个角都插）．每条边上插8面．一共要插多少面？（先画一画，再算一算） 9．新民小学五年级学生共120人，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边多少人？ 10．一个正方形花坛四周共栽了424朵花，4个角上各栽了1朵，每边有多少朵花？ 11．新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？ 12．在正方形的广场四周插彩旗，四个顶点各插一面，每边插40面，需要插多少面彩旗？ 13．四年级同学参加学校运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人．最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束．举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？ 14．同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站10名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 15．五年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？ 16．二（1）班小朋友排成长方形的方队参加体操表演。小红站在从左看是第6名，从右看是第2名，从前看是第4名，从后看是第3名的位置上。二（1）班一共有多少名小朋友参加体操表演？ 17．某小学举行小学生广播体操比赛，五年级同学站成了一个10列10行的方阵，最外层站了多少名同学？这个方阵共有多少名同学？ 18．晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个．这个方阵最外层共用围棋子多少个？ 19．学校体育队的同学排成一个方阵表演“中国功夫”，最外一层的人数是60人，方阵最外一层每边有多少人？一共有多少人？ 20．同学们做早操，小刚站在左起第6列，右起第12列；从前面数是第7个，从后面数是第13个．如果每列的人数同样多，每行的人数也同样多，则一共有多少个同学在做早操？ 21．24名学生围成一个正方形做游戏，每边人数相等，4个顶点都有人，每边各有学生几人？ 22．三（1）班同学站方阵队列，横行、竖行都是6人，队伍前面还有旗手3人，这个队伍一共有多少人？ 23．参加武术操表演的运动员站成一个正方形队列。如果使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少31人。这个正方形队列最外层共有多少名运动员？参加武术操表演的运动员共有多少名？ 24．64名鼓号队员排成一个正方形方阵表演节目。表演完一个节目后，最外一圈的队员退场，剩下的队员不动。你知道还剩下多少名队员吗？ 25．阳光公园有一块正方形的花坛，工人在四周种上树，每边种20棵，且四个顶点各种一棵，每相邻两棵树之间的距离是4米，这个正方形花坛的周长是多少米？ 26．小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？ 27．四年级同学排成5个方阵进行团体操表演，每个方阵排成6行，每行6人．最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿黄色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？ 28．运动会开幕式，五年级代表队站成一个方阵，这个方阵的外层每边是9人．最外层共站了多少人？这个方阵共有多少人？ 29．小红用1元的硬币摆了一个正方形方阵，最外层每边都有6枚硬币．最外层一共有多少枚硬币？ 30．为迎接“六一”儿童节，学校举行团体操表演。五年级学生排成下面的方阵，最外层每边站15名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 31．丘珊用围棋子摆了一个方阵，摆这个方阵一行一列共用17颗棋子．她摆这个方阵共用了多少颗棋子？ 32．学校运动会上，小学生组成一个大型方阵队，方阵队最外层每边25人，共8层；中间部分是15名同学组成的运动会会徽，这个方阵队共有多少名学生？ 33．四年级的小丁想知道本年级一共有多少人，王老师给了他几个信息：四年级的学生排成一个正方形方阵，还多9人，如果横竖都加一排，则又缺24人。小丁听过抓耳挠腮，不知所措。聪明的你，能帮他解决这个问题吗？ 34．某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60，问方阵最外一层每边有多少人？这个方阵一共有学生多少人？ 35．三年级同学举行队列表演，共组成7个方队，每个方队排成7行，每行7人。最外圈的同学每人手捧一束蓝花，其余同学每人手捧一束红花。一共要准备两种颜色的花各多少束？（先画图表示1个方队的队列，再计算） 36．在区运会中，有18个单位参加了开幕式方阵展示活动。每个单位一个方阵，每个方阵长8m，前后两个方阵间隔5m。方阵展示队伍一共有多长？ 37．五一前夕，街心喷水池的周围用216盆鲜花围成一个每边三层的空心方阵，问最外面一层每边有鲜花多少盆？ 38．二年级选出40人参加广播操比赛，至少减去几人就能正好排成正方形的队伍？ 39．国庆节到了，园丁叔叔用菊花摆成了3个“7×7”的方阵来布置人民广场。最外圈用红色的菊花，其余用黄色的菊花。两种颜色的菊花各需要准备多少盆？（先画图表示1个菊花方阵的队列，再解答） 40．学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗，四个角都插一面，每边插7面，一共要准备多少面旗子？ 41．学校体操队排成方阵进行表演，最外层每边有16人，最外层一共有多少人？ 42．学校“阳光大课间”展示时，将学生排成了一个有52排，每排35人的方阵，这个方阵一共有多少人？ 43．运动会上，四年级同学组成了四个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人。每个方阵最外面一圈的同学穿黄色表演服，其余同学穿红色表演服，这两种颜色的表演服各多少件？ 44．操场上，同学们排成一个正方形队列。欢欢的南面有4人，北面也有4人，西面有4人，东面也有4人。这个队列一共有多少人？ 45．9月30日，学校进行“迎国庆”汇操展演，四年级体操队站成了一个正方形方阵，最外层一共有24人，四年级体操队一共有多少人？ 46．王大爷承包了一个边长为120m的正方形鱼塘．他决定在鱼塘四周每隔6m种1棵杨树（四个角上各种1棵）．他买来了84棵树苗，够吗？（用计算说明） 47．庆祝元旦的会场前摆放了一个每边有12盆鲜花的方阵，只有最外层摆放的是黄花． （1）一共摆放了多少盆花？ （2）黄花摆放了多少盆？ 48．为迎接五一国际劳动节，实验小学举行合唱比赛。五年级的同学们排成一个方阵，最外层一共有20名同学，合唱队每边站多少名同学？整个方阵一共有多少名同学？ 49．学校举行队列表演，一共有12个方队，每个方队排成6行，每行6人，最外圈的同学持花束，其余同学手持彩旗．手持花束和手持彩旗的同学各有多少人？ 50．在一次列队训练中，乐乐的东面有4个人，南面有3个人，西面有4个人，北面有5个人。这个方阵一共有多少人？ 51．学军小学举行广播操比赛，96名学生围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？ 52．红星小学五年级同学排成一个方阵参加学校运动会开幕式表演。外层每边都是9人，外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？ 参考答案与试题解析 1．一个正方形花坛四周均匀地种了424棵月季，4个顶点上也各种了1棵。每边有多少棵月季？ 【答案】107棵。 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”可得：（最外层四周点数+4）÷4＝每边点数，据此解答即可。 【解答】解：（424+4）÷4 ＝428÷4 ＝107（棵） 答：每边有107棵月季。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 2．16名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？（先画图解释，再解答） 【答案】5名。 【分析】此题可以看做是空心方阵问题，把16名学生看作16个点，利用空心方阵的最外围每边点数＝（最外层四周点数+4）÷4，即可解决问题。 【解答】解： （16+4）÷4 ＝20÷4 ＝5（名） 答：每边各有5名学生。 【点评】此题考查了空心方阵中每边点数＝（四周点数+4）÷4这个公式的灵活应用。 3．学校舞蹈队64人排成方阵，最外层的队员都要手持鲜花，一共要准备多少束鲜花？后来队形变换成长方形，每排16人，这时要准备多少束鲜花？ 【答案】28，36。 【分析】一共共有64人，排成方阵，由乘法口诀，可知，排成8行8列，要求需要准备多少束鲜花，就是求方阵最外层有多少人，根据四周人数＝（每边人数﹣1）×4，代入数值计算即可；队形变成长方形，先求出一共有多少排，用除法计算，然后将四边的人数相加，减去重复计算的四个角上的人数即可。 【解答】解：64÷8＝8（人） （8﹣1）×4 ＝7×4 ＝28（束） 答：一共要准备28束鲜花。 变换阵型后， 64÷16＝4（排） 16×2+4×2﹣4 ＝32+8﹣4 ＝40﹣4 ＝36（束） 答：这时要准备36束鲜花。 【点评】本题主要考查了方阵问题，能够熟记方阵问题中公式，并灵活运用，是本题解题的关键。 4．在学校教学楼前用若干盆花摆放3个方阵，每个方阵摆成6排，每排6盆。最外层摆红花，其余为黄花。一共要准备两种颜色的花各多少盆？（先画图表示出1个方阵的排列，再计算） 【答案】红花60盆，黄花48盆。 【分析】画图如下，先根据方阵总点数＝每边点数×每边点数，求出每个方阵的总盆数，再利用方阵最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4计算出最外层四周红花的盆数，然后作差求出黄花的盆数，再求出3个方阵两种颜色的花各多少盆即可。 【解答】解：1个方阵排列图如下： （6﹣1）×4 ＝5×4 ＝20（盆） 6×6﹣20 ＝36﹣20 ＝16（盆） 20×3＝60（盆） 16×3＝48（盆） 答：一共要准备红花60盆，准备黄花48盆。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用。 5．同学们做早餐，排成一个长方形的矩阵，从前、后数，小明都是第8个，从左、右数，小明都是第5个，这个长方形的矩阵共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，从前、后数，小明都是第8个，这样就把小明多数了一次，用8加8再减去1就是每列的人数，同样根据“从左、右数，小明都是第5个，”可以求出共有的列数；然后列数与每列的人数相乘即可得出答案． 【解答】解：（8+8﹣1）×（5+5﹣1） ＝15×9 ＝135（人） 答：这个长方形的矩阵共有135人． 【点评】解题的关键是找到列数和每列的人数，求列数和每列的人数时，把数重的人数减去，才能准确求出结果． 6．四年级团体操队员排成了一个正方形的方阵进行训练，后因服装不够，正式表演时横排、竖排各去掉一排，一共去掉了25人。原来一共有多少名队员参加训练？ 【答案】169名。 【分析】根据题干，去掉一行一列共去掉了25人，那么原来的方阵的每边人数是（25+1）÷2＝13（名），据此利用每边人数×每边人数＝总人数解答即可。 【解答】解：（25+1）÷2 ＝26÷2 ＝13（名） 13×13＝169（名） 答：原来一共有169名队员参加训练。 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数。 7．“六一儿童节”前夕，实验小学校园里用144盆鲜花摆成一个方阵花坛。最外层一共有多少盆鲜花？ 【答案】44盆。 【分析】方阵中每行、每列的数量都相等，144＝12×12，所以这个方阵的每行、每列都是12盆，最外层每边也是12盆；最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4，再由此求出最外层的盆数。 【解答】解：144＝12×12 所以最外层每边有鲜花12盆。 12×4﹣4 ＝48﹣4 ＝44（盆） 答：最外层一共有44盆鲜花。 【点评】本题考查了方阵的特点，以及最外层四周的总点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 8．一个正方形的活动场地，在它的四周插上彩旗（四个角都插）．每条边上插8面．一共要插多少面？（先画一画，再算一算） 【答案】见试题解答内容 【分析】利用方阵最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4计算出最外层四周的面数即可．画图时，先在每条边上画8面，去掉顶点上的一面，每7面一组即可． 【解答】解： （8﹣1）×4 ＝7×4 ＝28（面） 答：每条边上插8面．一共要插28面． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝（每边点数﹣1）×4的灵活应用． 9．新民小学五年级学生共120人，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，已知共有学生120人，要求最外层每边有多少名学生，据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出：最外层每边人数＝总人数÷4÷层数+层数，据此解答即可． 【解答】解：120÷4÷3+3 ＝10+3 ＝13（人） 答：这个方阵的最外层每边有13人． 【点评】此题考查了方阵问题中的数量关系：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4的灵活应用． 10．一个正方形花坛四周共栽了424朵花，4个角上各栽了1朵，每边有多少朵花？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”可得：（最外层四周点数+4）÷4＝每边点数，据此解答即可． 【解答】解：（424+4）÷4 ＝428÷4 ＝107（朵） 答：每边有107朵花． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 11．新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？ 【答案】88。 【分析】根据方阵的特点，内外两层差8人，每层的人数＝（每边的人数﹣1）×4，求出最外层的人数，内层的人数＝外层的人数﹣8，据此解答。 【解答】解：由分析可得： 外层人数有：（13﹣1）×4 ＝12×4 ＝48（人） 内层人数有：48﹣8＝40（人） 周围总人数有：48+40＝88（人） 答：彩车周围的少先队员有88人。 【点评】明确方阵每边人数与一周人数的关系及内外层人数的关系是解决本题的关键。 12．在正方形的广场四周插彩旗，四个顶点各插一面，每边插40面，需要插多少面彩旗？ 【答案】156面。 【分析】由题意可知，四个顶点各插一面，每边插40面，除去顶点处则每边插40﹣2＝38面，再用38乘4，最后再加上四个顶点处各插的一面即可求出需要插多少面彩旗。 【解答】解：（40﹣2）×4+4 ＝38×4+4 ＝152+4 ＝156（面） 答：需要插156面彩旗。 【点评】本题主要靠方阵问题的应用，关键注意每个顶点上都多数了一次。 13．四年级同学参加学校运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人．最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束．举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？ 【答案】见试题解答内容 【分析】如图是每个方阵的情况，用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈举彩旗的人数，然后再乘4，就是举彩旗的同学一共有多少人；再用每个方队的总人数相减求出举彩旗的人数，求出每个方阵中举花束的人数，再乘4，就是举花束的一共有多少人． 【解答】解： 6×6＝36（人） 6×4﹣4＝20（人） 20×4＝80（人） （36﹣20）×4 ＝16×4 ＝64（人） 答：举彩旗的同学一共有80人，举花束的有64人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 14．同学们排成方阵进行团体操比赛，最外层每边站10名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 【答案】36名；100名。 【分析】根据题意，方阵最外层每边有10名同学，则其4个点上人员是重复的，即最外层人数＝每边人数×4﹣4，实心方阵总人数＝每边人数×每边人数，代入数据求解即可。 【解答】解：10×4﹣4 ＝40﹣4 ＝36（名） 10×10＝100（名） 答：最外层一共有36名学生，整个方阵一共有100名学生。 【点评】本题考查了方阵问题，牢记公式是解题的关键。 15．五年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？ 【答案】64人。 【分析】先求出现在最外层每边的人数：（17+1）÷2＝9（人），然后根据“中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数”，求出原来准备参加健美操表演的人数即可。 【解答】解：（17+1）÷2 ＝18÷2 ＝9（人） （9﹣1）×（9﹣1） ＝8×8 ＝64（人） 答：原来准备参加健美操表演的有64人。 【点评】本题关键是求出现在每边的人数；方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。 16．二（1）班小朋友排成长方形的方队参加体操表演。小红站在从左看是第6名，从右看是第2名，从前看是第4名，从后看是第3名的位置上。二（1）班一共有多少名小朋友参加体操表演？ 【答案】42名。 【分析】小红从左看是第6名，从右看是第2名，这一行的人数就是（6+2﹣1）名，从前看是第4名，从后看是第3名，这一列的人数就是（4+3﹣1）名，然后根据方阵问题的解答方法计算即可。 【解答】解：（6+2﹣1）×（4+3﹣1） ＝7×6 ＝42（名） 答：二（1）班一共有42名小朋友参加体操表演。 【点评】本题的关键是先求出每行和每列的人数，再根据“总点数＝每边点数×每边点数”列式解答。 17．某小学举行小学生广播体操比赛，五年级同学站成了一个10列10行的方阵，最外层站了多少名同学？这个方阵共有多少名同学？ 【答案】36，100。 【分析】最外层每边有10人，有4个边，用乘法计算，每个角上的人都重复计算了，需要减去；一列有10人，一共有10列，用乘法计算。 【解答】解：4×10﹣4 ＝40﹣4 ＝36（人） 10×10＝100（人） 答：最外层站了36名同学；这个方阵共有100名同学。 【点评】本题主要考查了方阵问题，注意重复计数的数量需要减去。 18．晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个．这个方阵最外层共用围棋子多少个？ 【答案】52个． 【分析】利用方阵最外层四周点数＝每边点数×4﹣4计算出最外层四周人数即可． 【解答】解：14×4﹣4 ＝56﹣5 ＝52（个） 答：这个方阵最外层共用围棋子52个． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 19．学校体育队的同学排成一个方阵表演“中国功夫”，最外一层的人数是60人，方阵最外一层每边有多少人？一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，方阵中每边人数相等，都等于行数，方阵最外层有60人，因为：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1可得：60÷4+1＝16（人），方阵总人数＝每边人数×每边人数．据此解答． 【解答】解：60÷4+1＝16（人）， 16×16＝256（人） 答：方阵最外一层每边有16人，一共有256人． 【点评】本题主要考查方阵问题．注意各角上的人． 20．同学们做早操，小刚站在左起第6列，右起第12列；从前面数是第7个，从后面数是第13个．如果每列的人数同样多，每行的人数也同样多，则一共有多少个同学在做早操？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，左数的人数加上右数的人数，这样就把小刚多数了一次，再减去1就是每行的人数，同样可以求出每列的人数；然后每行与每列的人数相乘即可得出答案． 【解答】解：每行的人数：6+12﹣1＝17（人）， 每列的人数：7+13﹣1＝19（人）， 所以总人数：17×19＝323（人）； 答：一共有323个同学在做早操． 【点评】解题的关键是找到每行和每列的人数，求每行和每列的人数时，把数重的人数减去，才能准确求出结果． 21．24名学生围成一个正方形做游戏，每边人数相等，4个顶点都有人，每边各有学生几人？ 【答案】14人。 【分析】此题属于空心方阵问题：每边人数＝（总人数+4）÷4，由此即可解答。 【解答】解：（24+4）÷4 ＝28÷4 ＝14（人） 答：每边各有学生14人。 【点评】抓住空心方阵的每边点数＝（四周点数+4）÷4这个公式即可解答此类问题。 22．三（1）班同学站方阵队列，横行、竖行都是6人，队伍前面还有旗手3人，这个队伍一共有多少人？ 【答案】39人． 【分析】先根据方阵总人数＝每行人数×每列人数，求出这个方阵的总人数，再加队伍前面的旗手3人即可． 【解答】解：6×6+3 ＝36+3 ＝39（人） 答：这个队伍一共有39人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用． 23．参加武术操表演的运动员站成一个正方形队列。如果使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少31人。这个正方形队列最外层共有多少名运动员？参加武术操表演的运动员共有多少名？ 【答案】60名；256名。 【分析】由题意可知，每行人数和每列人数相等，减少的人数加上1刚好是每列人数的2倍，先求出正方形队列每列的人数，正方形队列最外层每边人数按照一端栽一端不栽的植树问题计算，正方形队列最外层人数＝（实际每边的人数﹣1）×边数，参加武术操表演的总人数＝每行人数×每列人数，据此解答。 【解答】解：每列人数：（31+1）÷2 ＝32÷2 ＝16（名） 最外层人数：（16﹣1）×4 ＝15×4 ＝60（名） 总人数：16×16＝256（名） 答：这个正方形队列最外层共有60名运动员，参加武术操表演的运动员共有256名。 【点评】本题主要考查方阵问题，计算最外层人数时，也可以先求出4条边的总人数，再减去顶点处重复计算的人数。 24．64名鼓号队员排成一个正方形方阵表演节目。表演完一个节目后，最外一圈的队员退场，剩下的队员不动。你知道还剩下多少名队员吗？ 【答案】36名。 【分析】64名鼓号队员排成一个正方形方阵表演节目，64＝8×8，所以每边有8人，最外一圈的队员退场，剩下的队员不动，那么每边就有8﹣2＝6人，然后再进一步解答即可。 【解答】解：64＝8×8，所以每边有8人， （8﹣2）×（8﹣2） ＝6×6 ＝36（名） 答：还剩下36名队员。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 25．阳光公园有一块正方形的花坛，工人在四周种上树，每边种20棵，且四个顶点各种一棵，每相邻两棵树之间的距离是4米，这个正方形花坛的周长是多少米？ 【答案】304米。 【分析】根据“最外层四周点数＝每边点数×4﹣4”求出四周的间隔数，植树的棵数＝间隔数，然后再乘间距就是这个正方形鱼花坛的周长是多少米。 【解答】解：20×4﹣4 ＝80﹣4 ＝76（个） 76×4＝304（米） 答：这个正方形花坛的周长是304米。 【点评】此题属于封闭图形植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数，间隔数＝间隔总长÷间隔距离。 26．小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】这个方阵最外一层的横、竖各一列的棋子之和为17枚，那么顶点1枚，则原来每边有（17﹣1）÷2＝8枚，据此根据方阵总点数＝每边点数×每边点数，求出原来这个方阵的总枚数即可． 【解答】解：（17﹣1）÷2＝8（枚） 8×8＝64（枚） 答：原来实心方阵有64枚棋子． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 27．四年级同学排成5个方阵进行团体操表演，每个方阵排成6行，每行6人．最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿黄色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈穿蓝色运动服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿蓝色运动服的人数就是穿黄衣服的人数． 最后再用每个方队中蓝、黄的衣服人数分别乘5，求出5个方队中两种颜色的运动服的套数即可． 【解答】解：每个方队的总人数：6×6＝36（人） 一个方队穿蓝衣服的人有：6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 一个方队穿黄衣服的人有： 36﹣20＝16（人） 所以5个方队蓝衣服需要：20×5＝100（套） 黄衣服需要：16×5＝80（套） 答：蓝衣服需要100套，黄衣服需要80套． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 28．运动会开幕式，五年级代表队站成一个方阵，这个方阵的外层每边是9人．最外层共站了多少人？这个方阵共有多少人？ 【答案】32，81． 【分析】最外层的人数就等于外层每边的人数乘4，其中四个角上的人计算了两次，需要减去；方阵的总人数等于外层每边人数的平方． 【解答】解：最外层的人数： 4×9﹣4 ＝36﹣4 ＝32（人） 方阵总人数： 9×9＝81（人） 答：最外层共站了32人．这个方阵共有81人． 【点评】本题主要考查了方阵问题，需要学生熟记方阵问题中方阵每边人数与四周人数的关系以及方阵的总人数的关系，并能灵活运用． 29．小红用1元的硬币摆了一个正方形方阵，最外层每边都有6枚硬币．最外层一共有多少枚硬币？ 【答案】见试题解答内容 【分析】最外层每边都有6枚硬币，要求最外层一共有多少枚硬币，根据最外层点数＝每边点数×4﹣4；代入数据即可解答． 【解答】解：6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（枚） 答：最外层一共有20枚硬币． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 30．为迎接“六一”儿童节，学校举行团体操表演。五年级学生排成下面的方阵，最外层每边站15名学生，最外层一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？ 【答案】56名；225名。 【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答。 【解答】解：15×4﹣4 ＝60﹣4 ＝56（名） 15×15＝225（名） 答：最外层一共有56名学生；整个方阵一共有225名学生。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 31．丘珊用围棋子摆了一个方阵，摆这个方阵一行一列共用17颗棋子．她摆这个方阵共用了多少颗棋子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】一行一列共用17颗棋子，那么每行每列就有（17+1）÷2＝9颗；那么根据实心方阵中总点数＝每边点数×每点人数；代入数据即可解答． 【解答】解：（17+1）÷2 ＝18÷2 ＝9（颗） 9×9＝81（颗） 答：她摆这个方阵共用了81颗棋子． 【点评】此题主要考查方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的计算应用． 32．学校运动会上，小学生组成一个大型方阵队，方阵队最外层每边25人，共8层；中间部分是15名同学组成的运动会会徽，这个方阵队共有多少名学生？ 【答案】见试题解答内容 【分析】空心方阵的层数是8层，方阵队最外层每边25人，根据“空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”算出人数，再加上15即可得出答案． 【解答】解：（25﹣8）×8×4+15 ＝544+15 ＝559（名）； 或252﹣（25﹣2×8）2+15 ＝625﹣81+15 ＝559（名）； 答：这个方阵队共有559名学生． 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，外层边长数2﹣中空边长数2＝实面积数． 33．四年级的小丁想知道本年级一共有多少人，王老师给了他几个信息：四年级的学生排成一个正方形方阵，还多9人，如果横竖都加一排，则又缺24人。小丁听过抓耳挠腮，不知所措。聪明的你，能帮他解决这个问题吗？ 【答案】265人. 【分析】根据分析可知，9加24，减1等于原来正方形方阵一排人数的2倍，再除以2即等于原来方阵一排的人数，一排的人数乘排数即等于原来方阵的人数，再加上多的9人即等于四年级的人数，据此解答即可。 【解答】解：（9+24﹣1）÷2 ＝32÷2 ＝16（人） 16×16+9 ＝256+9 ＝265（人） 答：四年级一共有265人。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 34．某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60，问方阵最外一层每边有多少人？这个方阵一共有学生多少人？ 【答案】16人，256人． 【分析】根据四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，得出每边的人数＝四周的人数÷4+1，由此求出这个方阵最外层每边的人数，再利用实心方阵总点数＝每边点数×每边点数即可计算这个方阵的总人数． 【解答】解：60÷4+1＝16（人） 16×16＝256（人） 答：方阵外层每边有16人，这个方阵共有学生256人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 35．三年级同学举行队列表演，共组成7个方队，每个方队排成7行，每行7人。最外圈的同学每人手捧一束蓝花，其余同学每人手捧一束红花。一共要准备两种颜色的花各多少束？（先画图表示1个方队的队列，再计算） 【答案】蓝花168束，红花175束。 【分析】先画出图，然后可以看出每个方队需要蓝花（4×7﹣4）束，每个方队需要红花（5×5）束，据此求出7个方队需要花的数量即可。 【解答】解：画图如下： （4×7﹣4）×7 ＝24×7 ＝168（束） 5×5×7 ＝25×7 ＝175（束） 答：一共要准备蓝花168束，红花175束。 【点评】此题的关键是先根据题意画出一个方阵的图，然后再根据图形进一步解答。 36．在区运会中，有18个单位参加了开幕式方阵展示活动。每个单位一个方阵，每个方阵长8m，前后两个方阵间隔5m。方阵展示队伍一共有多长？ 【答案】229米。 【分析】有18个单位参加了开幕式方阵展示活动，先计算出18个方阵的总长度；前后两个方阵间隔5m，有这样的17个间隔长度，用17乘5求出17个间隔的长度，再加上18个方阵的总长度，据此解答。 【解答】解：18×8＝144（米） 5×（18﹣1） ＝5×17 ＝85（米） 144+85＝229（米） 答：方阵展示队伍一共有229米长。 【点评】掌握方阵问题的解决方法是解题的关键。 37．五一前夕，街心喷水池的周围用216盆鲜花围成一个每边三层的空心方阵，问最外面一层每边有鲜花多少盆？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出最外层每边人数＝空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数，据此求出最外层每边花盆数即可． 【解答】解：216÷4÷3+3 ＝18+3 ＝21（盆） 答：最外面一层每边有鲜花21盆． 【点评】此题考查了方阵问题中的数量关系：最外层每边人数＝空心方阵总人数÷4÷空心方阵的层数+空心方阵的层数． 38．二年级选出40人参加广播操比赛，至少减去几人就能正好排成正方形的队伍？ 【答案】见试题解答内容 【分析】如果要站成方队，则方队的总人数应是完全平方数，最接近40的是36，据此解答． 【解答】解：如果要站成方队，则方队的总人数应是完全平方数，比40小，且最接近40的是36， 40﹣36＝4（人）， 答：至少减去4人就能正好排成正方形的队伍． 【点评】解答此题关键是明确，如果要站成方队，则方队的总人数应是完全平方数． 39．国庆节到了，园丁叔叔用菊花摆成了3个“7×7”的方阵来布置人民广场。最外圈用红色的菊花，其余用黄色的菊花。两种颜色的菊花各需要准备多少盆？（先画图表示1个菊花方阵的队列，再解答） 【答案】72盆，75盆。 【分析】用7乘7求出每个方阵的总盆数，然后用7×4减去4求出最外圈红色菊花的盆数，再和每个方阵的总盆数相减求出黄色菊花的盆数。最后再求3个方阵中两种颜色的盆数；据此画图解答即可。 【解答】解：画图如下： 7×7＝49（盆） 4×7﹣4 ＝28﹣4 ＝24（盆） 49﹣24＝25（盆） 24×3＝72（盆） 25×3＝75（盆） 答：一共要准备红色菊花72盆，黄色菊花75盆。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 40．学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗，四个角都插一面，每边插7面，一共要准备多少面旗子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】此题可以看做是一个空心方阵问题，已知每边点数是7，求四周的点数，利用四周点数＝每边点数×4﹣4即可解决问题． 【解答】解：7×4﹣4 ＝28﹣4 ＝24（面）； 答：一共要准备24面旗子． 【点评】此类问题可归属到求空心方阵的四周点数问题，利用四周点数计算公式即可解决． 41．学校体操队排成方阵进行表演，最外层每边有16人，最外层一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】最外层每边有16人，根据最外层人数＝每边人数×4﹣4；代入数据即可解答． 【解答】解：16×4﹣4 ＝64﹣4 ＝60（人） 答：最外层一共有60人． 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 42．学校“阳光大课间”展示时，将学生排成了一个有52排，每排35人的方阵，这个方阵一共有多少人？ 【答案】1820人。 【分析】求这个方阵一共有多少人，就相当于求52个35是多少，用乘法计算即可。 【解答】解：35×52＝1820（人） 答：这个方阵一共有1820人。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 43．运动会上，四年级同学组成了四个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人。每个方阵最外面一圈的同学穿黄色表演服，其余同学穿红色表演服，这两种颜色的表演服各多少件？ 【答案】黄色表演服80件，红色表演服64件。 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈穿黄色表演服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿红色表演服的人数。 最后再用每个方队中红、黄的衣服人数分别乘4，求出4个方队中两种颜色的表演服的件数即可。 【解答】解：每个方队的总人数：6×6＝36（人） 6×4﹣4 ＝24﹣4 ＝20（人） 36﹣20＝16（人） 20×4＝80（件） 16×4＝64（件） 答：黄色表演服80件，红色表演服64件。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 44．操场上，同学们排成一个正方形队列。欢欢的南面有4人，北面也有4人，西面有4人，东面也有4人。这个队列一共有多少人？ 【答案】81人。 【分析】根据题意可知，欢欢的东面的人数加上西面的人数，再加上1，就是每行的人数，同样可以求出每列的人数；然后每行与每列的人数相乘即可得出答案。 【解答】解：每行的人数：4+4+1＝9（人） 每列的人数：4+4+1＝9（人） 所以总人数：9×9＝81（人） 答：这个队列一共有81人。 【点评】解题的关键是找到每行和每列的人数，求每行和每列的人数时，因为欢欢自己没加上，所以还要加1。 45．9月30日，学校进行“迎国庆”汇操展演，四年级体操队站成了一个正方形方阵，最外层一共有24人，四年级体操队一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据最外层人数＝每边人数×4﹣4，先求出这个方阵的每边人数，再利用实心方阵总点数＝每边点数×每边点数即可计算这个体操方阵的总人数． 【解答】解：最外层每边人数：（24+4）÷4 ＝28÷4 ＝7（人） 7×7＝49（人） 答：四年级体操队一共有49人． 【点评】此题考查了最外层点数＝每边点数×4﹣4，以及实心方阵总点数＝每边点数×每边点数这两个计算公式的灵活应用． 46．王大爷承包了一个边长为120m的正方形鱼塘．他决定在鱼塘四周每隔6m种1棵杨树（四个角上各种1棵）．他买来了84棵树苗，够吗？（用计算说明） 【答案】见试题解答内容 【分析】正方形鱼塘边长为120米，每隔6米种一棵，看成两端都种的植树问题，那么每个边就可以种120÷6+1＝21棵，先用21乘4，求出4条边一共有21×4＝84棵，由于四个顶点都种有1棵，4个顶点重复计算了一次，实际上四周共栽84﹣4＝80棵树，再与84棵比较即可求解． 【解答】解：120÷6+1＝21（棵） 21×4﹣4 ＝84﹣4 ＝80（棵） 80＜84 答：他买来了84棵树苗，够了． 【点评】此题考查了方阵问题和沿封闭图形栽树问题中：最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 47．庆祝元旦的会场前摆放了一个每边有12盆鲜花的方阵，只有最外层摆放的是黄花． （1）一共摆放了多少盆花？ （2）黄花摆放了多少盆？ 【答案】（1）144盆；（2）44盆． 【分析】（1）求一共摆放了多少盆花，根据方阵总点数＝每边点数×每边点数解答即可； （2）求黄花摆放了多少盆，根据最外层四周点数＝每边点数×4﹣4解答即可． 【解答】解：（1）12×12＝144（盆） 答：一共摆放了144盆花． （2）12×4﹣4 ＝48﹣4 ＝44（盆） 答：黄花摆放了44盆． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 48．为迎接五一国际劳动节，实验小学举行合唱比赛。五年级的同学们排成一个方阵，最外层一共有20名同学，合唱队每边站多少名同学？整个方阵一共有多少名同学？ 【答案】6名；36名。 【分析】根据“每边的人数＝四周的人数÷4+1”求出合唱队每边站多少名同学；再根据“总人数＝每边人数×每边人数”解答即可。 【解答】解：20÷4+1 ＝5+1 ＝6（名） 6×6＝36（名） 答：合唱队每边站6名同学；整个方阵一共有36名同学。 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用。 49．学校举行队列表演，一共有12个方队，每个方队排成6行，每行6人，最外圈的同学持花束，其余同学手持彩旗．手持花束和手持彩旗的同学各有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用6×4减去4求出最外圈持花束的人数，再和每个方队的总人数相减求出持彩旗的人数．最后再求12个方队中手持花束和手持彩旗的同学人数；据此解答即可． 【解答】解：6×6＝36（人） 4×6﹣4＝20（人） 36﹣20＝16（人） 20×12＝240（人） 16×12＝192（人） 答：手持花束的有240人，手持彩旗的有192人． 【点评】此题考查了方阵问题中：总点数＝每边点数×每边点数；最外层四周点数＝每边点数×4﹣4的灵活应用． 50．在一次列队训练中，乐乐的东面有4个人，南面有3个人，西面有4个人，北面有5个人。这个方阵一共有多少人？ 【答案】81人。 【分析】根据题意可知，乐乐东面的人数加上西面的人数，再加上1，就是每行的人数，同样可以求出每列的人数；然后每行与每列的人数相乘即可得出答案。 【解答】解：每行的人数：4+4+1＝9（人） 每列的人数：3+5+1＝9（人） 总人数：9×9＝81（人） 答：这个方阵一共有81人。 【点评】解题的关键是找到每行和每列的人数，求每行和每列的人数时，因为乐乐自己没加上，所以还要加1，才能准确求出结果。 51．学军小学举行广播操比赛，96名学生围成一个正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？ 【答案】25名。 【分析】可以看作空心方阵问题，把96名学生看做96个点，利用空心方阵的最外围每边点数＝（最外层四周点数+4）÷4，即可解决问题。 【解答】解：（96+4）÷4 ＝100÷4 ＝25（名） 答：每边各有25名学生。 【点评】此题考查了空心方阵中每边点数＝（四周点数+4）÷4这个公式的灵活应用。 52．红星小学五年级同学排成一个方阵参加学校运动会开幕式表演。外层每边都是9人，外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？ 【答案】32人，整个方阵一共有81人。 【分析】最外层人数＝每边人数×4﹣4；实心方阵中总人数＝每边人数×每边人数；代入数据即可解答。 【解答】解：9×4﹣4 ＝36﹣4 ＝32（人） 9×9＝81（人） 答：外层一共有32人，整个方阵一共有81人。 【点评】此题考查了方阵问题中：最外层点数＝每边点数×4﹣4；实心方阵中总点数＝每边点数×每边点数的灵活应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$