小升初典型奥数：周期问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

周期问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 定义：重复不断、周而复始的循环的现象，叫做周期现象，我们把这种规律性的问题叫做周期问题。 如：在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现．如：人的12生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等．像这些问题，我们都称为“简单周期问题”． 1、解决周期规律问题主要确定循环周期。仔细观察出现的现象，认真分析循环规律，总结出经过几次又开始重新开始，得出一个周期是几。（一个循环中经过的次数就是一个周期数）。 2、周期性问题解决方法： 这一类问题一般要利用余数的知识来解答，这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果． 3、关于周期问题公式： 总数÷周期数＝组数，即整除时，结果为周期的最后一个； 总数÷周期数＝组数……余数，即有余数时，余几就在下个周期中数几。 第二部分 典型例题 例题1：实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一枚指针，而且都是每分钟跳一次，第一只钟一圈有12个格。格线上依次标着0﹣11，指针一次跳过2个格（例如从4跳到6）：第二只钟一圈有7个格。格线上依次标着0至6，指针一次跳过3个格。开始时两个指针都指向0。如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着是哪个数字？ 【答案】6。 【分析】第一只钟的数字是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11，每分钟跳过2个格，从0开始，跳过的格依次是2、4、6、8、10、0、2、4、6、8、10、0…规律是6分钟一个循环；第二只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6，每分钟跳过3个格，从0开始，跳过的格依次是3、6、2、5、1、4、0、3、6……规律是7分钟一个循环，6和7的最小公倍数42分钟，两个钟循环一次是42分钟，一个循环有4次指向同一个数字，分别是0、6、4、2，由此解答即可。 【解答】解：第一只钟跳过的格依次是2、4、6、8、10、0、2、4、6、8、10、0…，每6分钟一个循环； 第二只钟跳过的格依次是3、6、2、5、1、4、0、3、6…，每7分钟一个循环； 【6，7】＝42 即两个钟循环一次是42分钟。 一个循环有4次指向同一个数字，分别是0、6、4、2， 30÷4＝7......2 所以当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着是6。 答：当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着是6。 【点评】此题考查周期问题的应用。 例题2：小白熊的饭店门前有一串彩灯，每串彩灯都是按4个红灯、2个黄、3个蓝、灯的规律排列，请你算一算，第39盏彩灯是什么颜色？这39盏灯中红灯有几盏？黄灯有几盏？蓝灯有几盏？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题干分析可得，这串彩灯的排列规律是：9盏彩灯一个循环周期，分别按照4盏红灯、2盏黄灯、3盏蓝灯的顺序循环出现，据此求出第39盏是第几个循环周期的第几个，然后根据周期数和余数求出三种灯各有多少盏即可． 【解答】解：4+2+3＝9（个） 39÷9＝4（个）…3（盏） 所以第39盏彩灯是第5周期的第3个，是红灯； 有红灯：4×4+3＝19（盏） 黄灯：4×2＝8（盏） 蓝灯：4×3＝12（盏） 答：第39盏彩灯是红灯，这39盏灯中有红灯19盏、黄灯8盏、蓝灯12盏． 【点评】根据题干，得出这串彩灯的排列规律是解决此类问题的关键． 例题3：国庆节期间，胜利街在街道的两边挂上了彩灯。聪聪站在胜利街路口，向右看去，发现这一边的彩灯是按二红一绿三黄的规律排列的。那么胜利街这一边从这个路口开始的第131盏灯是什么颜色的？ 【答案】黄色。 【分析】彩灯是按二红一绿三黄的规律排列的，因此可将2+1+3＝6盏灯看成1组，然后用灯的总数除以6，计算出的商就是得到的组数，余数就表示剩下的盏数，再根据计算出的余数确定出第131盏灯的颜色即可。 【解答】解：2+1+3 ＝3+3 ＝6（盏） 131÷6＝21（组）……5（盏），即按二红一绿三黄的规律排列，第131盏灯是1组里的第5盏灯，是黄色的灯。 答：第131盏灯是黄色。 【点评】本题考查了带余除法的周期性问题，找出周期规律是解题的关键。 例题4：小兔子梦奇的饮食非常有规律，5天一次循环，通常第一天吃胡萝卜，第2天和第3天吃苹果，第4天吃白菜，第5天吃香蕉，请问第164天梦奇应该吃什么？这164天梦奇总共吃了多少个苹果？ 【答案】见试题解答内容 【分析】5天一次循环，求第164天梦奇应该吃什么就是求164里面有几个5，余数是1第164天就吃胡萝卜，余数是2或3第164天就吃苹果，余数是4第164天就吃白菜，没有余数第164天就吃香蕉， 因为一个循环吃2个苹果，这164天一共有32个循环，余数里还有2个苹果，所以总共吃了33个2个苹果，所以用33乘2计算． 【解答】解：164÷5＝32…4 余数是4，余数是4说明第164天就吃白菜． 32×2+2＝66（个） 答：第164天梦奇应该吃白菜，这164天梦奇总共吃了66个苹果． 【点评】解答周期性问题，要找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果． 第三部分 高频真题 1．200个学生排成一圈，依次按顺时针方向给学生编上1～200号，然后按顺时针方向从1号开始，按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，按这个规律报下去，直至当队伍只剩下一人为止，最后留下的这个人原来的号码是多少？ 2．余数的妙用，兴趣小组活动时，老师出了这样一道题：我喜欢数学小灵通我喜欢数学小灵通……依次排列，第999个汉字是什么？我利用从《数学小灵通》上学到的解答方法试着做了起来。因为“我喜欢数学小灵通”这8个字是依次重复的，那么，一个循环周期就有8个字，把这8个字看成一组。999÷8＝124（组）……7（个），这就是说，第999个汉字应该是第125组的第7个字，所以第999个汉字就是“灵”字。根据这样的方法，第2001个汉字是什么呢？请解答在下面。 3．小亮有红、黄、蓝、绿四种颜色的气球若干个，请你设计一种排列方案，使得第100个气球是蓝色．（四种颜色必须全用，画出这样的两组，并用算式说明） 4．12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图． （1）从1号同学开始，顺时针传100次，手绢应在谁手中？ （2）从1号同学开始，逆时针传100次，手绢又在谁手中？ （3）从1号同学开始，先顺时针传156次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107次，最后手绢在谁手中？ 5．2021年1月10日是首个“中国人民警察节”，这天是星期日。2022年的“中国人民警察节”是星期几？ 6．五一广场的四周按照“一黄三红二绿”的顺序挂了900个灯笼，你知道红灯笼挂了多少个吗？ 7．已知一列数：40214021…由此可推出第25个数是多少？前30个数字的和是多少？ 8．同学们做游戏，按三个男生四个女生依次排队，第30个是男生还是女生？第40个呢？ 9．有一堆围棋子，按照“三黑二白”的规律排列，第29颗棋子是白色的还是黑色的？ 10．依依买了一本童话书，正文部分每两面插图之间有4面文字，也就是说4面文字前后各有1面插图。如果这本童话书正文部分有96面，而第1面是插图，这本童话书正文部分共有多少面文字？（周期问题） 11．6÷7的商是循环小数，商的小数点后第19位上的数字是几？商的小数部分前19位上的所有数字之和是多少？ 12．某人打工共挣得1200元．星期一到星期五全天工作，日工资20元；星期六加班工作，日工资40元；星期日不上班，无工资．他从3月下旬的一个周五开始工作，3月1日是周日，问：打工第一天是几日，最后一天是几月几日？ 13．将12345678910111213…依次写到第30个数字，组成一个30位数那么此数除以9的余数是几？ 14．信合医院是1路和3路公交车的起点站。1路公交车每8分钟发一辆，3路公交车每5分钟发一辆，8：10两路公交车同时从信合医院发车，下一次同时发车是什么时间？ 15．（黑白珠子按前面规律排列） （1）第4006个珠子是什么颜色？（列式计算） （2）如果共有3700个珠子，那么这3700个珠子中共有多少颗黑珠子？（列式计算） 16．把化成循环小数，求小数点后第199位上的数字是几？ 17．一座喷泉由内外双层构成。外面的每8分钟喷一次，里面的每6分钟喷一次。中午12：15同时喷过一次后，下次同时喷水是几时几分？ 18．2023年7月4日是星期二，2024年7月4日是星期几？ 19．公园里，8个小伙伴在玩传球游戏（如图）。从1号开始按顺时针方向传球，在传球的同时按顺序报数。当报到68时，球传到了几号小伙伴的手上？ 20．有一列数0，2，5，3，4，7，0，2，5，3，4，7……第25个数是多少？这25个数字相加的和是多少？ 21．国庆节，新兴街在街道的两边挂上了彩灯。聪聪站在新兴街路口，向右看去，发现这一边的彩灯是按一红二绿三黄的规律排列的.那么新兴街这一边从这个路口开始的第123盏灯是什么颜色的（把你的想法写一写、算一算或者画一画）？ 22．大家都听说过“蜗牛爬墙”的故事：一只地面上的蜗牛要爬上高9尺的一堵光滑的墙，它很懒惰，每爬1小时后要休息1小时，向上爬时每小时可前进3尺，由于墙壁很滑，休息时要自然下滑2尺，这只蜗牛需多少小时才能爬到墙顶？现在蜗牛想从墙顶爬到地面上，又需要多少小时？（假设蜗牛笔直前进） 23．有一串珠子，按4个红的，3个白的2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？ 24．24÷7商的小数点后面第2018位是多少？小数点后这2018个数字之和是多少？ 25．47.5÷11商的小数点后面第2016个数字是几？小数点后2016个数字的总和是多少？ 26．某市举办花博会。大会决定4月5日开幕，共举办20天（包括开幕和闭幕）。如果开幕式是星期二，那么闭幕式是星期几？ 参考答案与试题解析 1．200个学生排成一圈，依次按顺时针方向给学生编上1～200号，然后按顺时针方向从1号开始，按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，按这个规律报下去，直至当队伍只剩下一人为止，最后留下的这个人原来的号码是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为首先单数离开，也就是剩下的是2n，n为整数即2，4，6，8，…，200，其次剩下的是4n，进一步根据按一、二报数，报一的人离开队伍的规律求解即可． 【解答】解：第一圈剩下的数是：2，4，6，8，10，…，200； 第二圈剩下的数是：4，8，12，16，…，200； 第三圈剩下的数是：8，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96，104，112，120，128，136，144，152，160，168，176，184，192，200； 第四圈剩下的数是：16，32，48，64，80，96，112，128，144，160，176，192； 第五圈剩下的数是：16，48，80，112，144，176； 第六圈剩下的数是：16，80，144； 第七圈剩下的数是：16，144； 剩下的数是：144． 答：最后留下的这个人原来的号码是144． 【点评】考查了周期性问题，本题找出每圈留下的学生号码的规律，再根据规律进行求解即可． 2．余数的妙用，兴趣小组活动时，老师出了这样一道题：我喜欢数学小灵通我喜欢数学小灵通……依次排列，第999个汉字是什么？我利用从《数学小灵通》上学到的解答方法试着做了起来。因为“我喜欢数学小灵通”这8个字是依次重复的，那么，一个循环周期就有8个字，把这8个字看成一组。999÷8＝124（组）……7（个），这就是说，第999个汉字应该是第125组的第7个字，所以第999个汉字就是“灵”字。根据这样的方法，第2001个汉字是什么呢？请解答在下面。 【答案】见试题解答内容 【分析】因为“我喜欢数学小灵通”这8个字是依次重复的，那么，一个循环周期就有8个字，把这8个字看成一组，求出2001里面有多少个8，再结合余数解答即可。 【解答】解：2001÷8＝250（组）……1（个） 余数是1，所以第2001个汉字是“我”。 答：第2001个汉字是“我”。 【点评】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解。 3．小亮有红、黄、蓝、绿四种颜色的气球若干个，请你设计一种排列方案，使得第100个气球是蓝色．（四种颜色必须全用，画出这样的两组，并用算式说明） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题干分析可得，100÷4＝25，这串气球的排列规律是：4个气球一个循环周期，分别按照红、黄、绿、蓝的顺序依次循环排列即可解答． 【解答】解：100÷4＝25 … 没有余数，所以按照红、黄、绿、蓝的顺序依次循环排列，就能保证第100个气球是蓝色． 【点评】根据题意得出这串气球的排列规律是解决本题的关键． 4．12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图． （1）从1号同学开始，顺时针传100次，手绢应在谁手中？ （2）从1号同学开始，逆时针传100次，手绢又在谁手中？ （3）从1号同学开始，先顺时针传156次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107次，最后手绢在谁手中？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）从1号同学开始，顺时针传一次到2号，传两次到3号…以此类推，传十二次到1号，然后又从1号开始传递，所以一个周期为12次，100÷12＝8……4，那么传8圈之后，再传4次，手绢在5号手中．（2）从1号同学开始，逆时针传一次到12号，传两次到11号…以此类推，传十二次回到1号，然后又从1号开始传递，所以一个周期为12次，100÷12＝8……4，那么传8圈之后，再传4次，手绢在9号手中． （3）根据第（1）（2）小题的分析，顺时针传156次，156÷12＝13，没有余数，刚好13圈，在1号手中；逆时针传143次，143÷12＝11……11，传11圈之后再传11次，传到2号手中；再顺时针传107次，107÷12＝8……11，传8圈之后再传11次，注意是从2号顺时针传11次，最后在1号手中 【解答】（1）100÷12＝8……4，在5号手中（2）100÷12＝8……4，在9号手中（3）156÷12＝13，在1号手中；143÷12＝11……11，在2号手中；107÷12＝8……11，最后在1号手中 【点评】本题运用周期解决问题，总数÷周期数＝周期个数……余数，余几就从周期开始的数，往后数几个 5．2021年1月10日是首个“中国人民警察节”，这天是星期日。2022年的“中国人民警察节”是星期几？ 【答案】星期一。 【分析】先求出2021年1月10日到2022年1月10日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。 是4的倍数的年份（整百年份是400的倍数）就是闰年，不是4的倍数年份就是平年。平年全年365天，闰年全年366天。 【解答】解：2022÷4＝505……2 365÷7＝52（周）……1（天） 星期日向后推1天是星期一。 答：2022年的“中国人民警察节”是星期一。 【点评】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。 6．五一广场的四周按照“一黄三红二绿”的顺序挂了900个灯笼，你知道红灯笼挂了多少个吗？ 【答案】450个。 【分析】一黄三红二绿，也就是1+2+3＝6（个）灯笼一个周期，求出900里面有多少个6，再乘3即可求出红灯笼的个数。 【解答】解：1+2+3＝6（个） 900÷6×3 ＝150×3 ＝450（个） 答：红灯笼挂了450个。 【点评】此题的关键是明确有多少个周期，然后再进一步解答。 7．已知一列数：40214021…由此可推出第25个数是多少？前30个数字的和是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】“40214021……”这一列数字是按照4、0、2、1这4个数字为一组进行循环出现的，求出25（或30）里面有多少个这样的一组，还余几；求出每组和，进而求出前30个数字的和． 【解答】解：4、0、2、1这4个数字为一组进行循环出现， 25÷4＝6（组）…1（个） 6组还余1个数字，余下的1个是4， 所以，第25个数字是4； 4+0+2+1＝7 30÷4＝7（组）…2（个） 7×7+4+0＝53． 答：第25个数是4；前30个数字的和是53． 【点评】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解． 8．同学们做游戏，按三个男生四个女生依次排队，第30个是男生还是女生？第40个呢？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由按照“三个男生四个女生”的顺序排成一队可知，3+4＝7个人一循环，用总人数除以7，余数是几，就与这7位同学的第几位性别相同，由此列式解答即可． 【解答】解：3+4＝7（人） 30÷7＝4（组）…2（人） 余数是2，说明第30个是男生， 40÷7＝5（组）…5（人） 说明第40个是女生． 答：第30个是男生，第40个是女生． 【点评】此题考查简单周期现象中的规律，找出循环的周期，即可解决问题． 9．有一堆围棋子，按照“三黑二白”的规律排列，第29颗棋子是白色的还是黑色的？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意知每3+2＝5颗棋子一个循环，循环的顺序是黑、黑、黑、白、白，用29除以5，根据它的商和余数可求出是什么颜色的棋子．据此解答． 【解答】解：3+2＝5（颗） 29÷5＝5…4 第29个棋子是第6个循环的第4颗棋子，是白色． 答：第29颗棋子是白色． 【点评】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解． 10．依依买了一本童话书，正文部分每两面插图之间有4面文字，也就是说4面文字前后各有1面插图。如果这本童话书正文部分有96面，而第1面是插图，这本童话书正文部分共有多少面文字？（周期问题） 【答案】76。 【分析】4面文字前后各有1面插图，即图字字字字图……，每5页是一个周期，根据有余数除法，求出96面有几个周期，进行计算即可。 【解答】解：每5面为一个周期，每个周期内有4面文字， 96÷5＝19……1， 最后两面是一面插图一面文字， 所以，文字的总数为： 19×4＝76（面） 答：这本童话书正文部分共有76面文字。 【点评】本题主要考查了周期性问题，正确的找到周期是几面是本题解题的关键。 11．6÷7的商是循环小数，商的小数点后第19位上的数字是几？商的小数部分前19位上的所有数字之和是多少？ 【答案】8；89． 【分析】6÷7＝0.857142857142……，循环节是857142，6个数字一个循环周期，只要看19位里面有几个循环周期，再结合余数即可得出答案； 求小数部分前19位上的所有数字之和是多少，只要看19位里面有几个循环周期的数字和（即8+5+7+1+4+2），再结合余数即可得出答案． 【解答】解：6÷7＝0.857142857142……，循环节是857142，6个数字一个循环周期， 19÷6＝3……1 第19位上的数字，在第4个周期的第1个数是8， 和是：（8+5+7+1+4+2）×3+8 ＝81+8 ＝89 答：商的小数点后第19位上的数字是8；商的小数部分前19位上的所有数字之和是89． 【点评】关键是确定小数的循环节的位数，再结合结合循环周期的个数和余数判断． 12．某人打工共挣得1200元．星期一到星期五全天工作，日工资20元；星期六加班工作，日工资40元；星期日不上班，无工资．他从3月下旬的一个周五开始工作，3月1日是周日，问：打工第一天是几日，最后一天是几月几日？ 【答案】3月27日，5月25日。 【分析】确定打工第一天为3月27日，此人工作8周外，还要挣80元，即可得出结论。 【解答】解：因为3月1日周日，所以如图所示： 因为3月下旬的周五开始打工，3月21日以后的周五，只有3月27日，所以打工第一天为3月27日。 每周工资20×5+40＝140（元）， 1200÷140＝8（周）……80（元）， 所以此人工作8周外，还要挣80元。 3月27日、28日工作两天挣40+20＝60（元），从3月30日开始到5月24日工作8周后，挣140×8＝1120（元），还要再5月25日工作1天挣20元，共挣60+1120+20＝1200（元），因此，5月25日是其工作的最后一天。 答：打工第一天是3月27日，最后一天是5月25日。 【点评】本题考查周期性问题，考查学生分析解决问题的能力，确定打工第一天为3月27日，此人工作8周外还要挣80元是关键。 13．将12345678910111213…依次写到第30个数字，组成一个30位数那么此数除以9的余数是几？ 【答案】见试题解答内容 【分析】一个数除以9的余数等于它的所有数字之后相加之后除以9的余数[如1256÷9＝139……5，（1+2+5+6）÷9＝1……5]．这30个数之和除以9余几，这个30位数除以9就余几．这30个数分：1、2、3、4、5、6、7、8、9；1、1、1、1、1、1、1、1、1；1、2、3、4、5、6、7、8、9；还有1、0、2．由此即可求出这30个数字之和． 【解答】解：一个数除以9的余数等于它的所有数字之后相加之后除以9的余数 （1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2+1×9+1+2+0 ＝45×2+9+1+2+0 ＝90+9+1+2+0 ＝102 102÷9＝11……3 答：此数除以9的余数是3． 【点评】解答此题的关键一是明白：一是一个数除以9的余数等于它的所有数字之后相加之后除以9的余数；二是找出计算这三十个数字的规律． 14．信合医院是1路和3路公交车的起点站。1路公交车每8分钟发一辆，3路公交车每5分钟发一辆，8：10两路公交车同时从信合医院发车，下一次同时发车是什么时间？ 【答案】8时50分。 【分析】先求出5、8的最小公倍数，然后用第一次同时发车的时刻加这个分钟数就是第二次同时发车时间。 【解答】解：5×8＝40（分钟） 8时10分+40分钟＝8时50分 答：下一次同时发车是8时50分。 【点评】此题主要考查几个数最小公倍数的求法及用此知识解决实际问题，理解第一次同时发车后到再次同时发车的时间是5、8的公倍数是本题的解答关键。 15．（黑白珠子按前面规律排列） （1）第4006个珠子是什么颜色？（列式计算） （2）如果共有3700个珠子，那么这3700个珠子中共有多少颗黑珠子？（列式计算） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把“”这样的4个图形看成一组，求出4006里面有几个4，还余几，再根据余数进行推算； （2）求出3700里面有几个4，还余几，再根据余数进行推算共有多少颗黑珠子即可． 【解答】解：（1）4006÷4＝1001…2 第4006个图形是第1002组的第2个是黑珠子； 答：第4006个珠子是黑珠子． （2）3700÷4＝925 2×925＝1850（颗） 答：这3700个珠子中共有1850颗黑珠子． 【点评】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解． 16．把化成循环小数，求小数点后第199位上的数字是几？ 【答案】见试题解答内容 【分析】1÷7＝0.4285，这个小数的循环节是142857，有6位数，199÷6＝33（个）…1，所以小数部分的第199位数字是第34个循环节的第一个数1，据此解答． 【解答】解：1÷7＝0.4285， 循环节是142857，有6位数， 199÷6＝33（个）…1，所以小数部分的第199位数字是第34个循环节的第一个数1． 答：小数点后第199位上的数字是1． 【点评】解题的关键是找出循环节及循环节的数字，用199除以循环节的位数得出是第几个循环节，没有余数就是循环节的最后一个数字，有余数的，余数是几就是循环节的第几个数字． 17．一座喷泉由内外双层构成。外面的每8分钟喷一次，里面的每6分钟喷一次。中午12：15同时喷过一次后，下次同时喷水是几时几分？ 【答案】12时39分。 【分析】外面的每8分钟喷一次，里面的每6分钟喷一次，最小公倍数是24，用12时15分加上24分钟即可求出下次同时喷水的时刻。 【解答】解：6＝2×3 8＝2×2×2 2×3×2×2＝24 12时15分+24分钟＝12时39分 答：下次同时喷水是12时39分。 【点评】此题的关键是先求出6和8的最小公倍数，然后再进一步解答。 18．2023年7月4日是星期二，2024年7月4日是星期几？ 【答案】星期四。 【分析】先求出2023年7月4日到2024年7月4日经过了多少天，也就是先求2024年是平年还是闰年。天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。 【解答】解：2024÷4＝506 366÷7＝52（周）……2（天） 星期二向后推2天是星期四。 答：2024年7月4日是星期四。 【点评】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。 19．公园里，8个小伙伴在玩传球游戏（如图）。从1号开始按顺时针方向传球，在传球的同时按顺序报数。当报到68时，球传到了几号小伙伴的手上？ 【答案】4号。 【分析】由图可知8个一循环，用68÷8求出经过了几个循环，余数是几就从1开始数几个，据此解答即可。 【解答】解：68÷8＝8……4 答：当报到68时，球传到了4号小伙伴的手上。 【点评】此题的关键是明确8个人是一个循环，然后再进一步解答。 20．有一列数0，2，5，3，4，7，0，2，5，3，4，7……第25个数是多少？这25个数字相加的和是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】“0，2，5，3，4，7，0，2，5，3，4，7……”这一列数字是按照0，2，5，3，4，7这6个数字为一组进行循环出现的，求出25里面有多少个这样的一组，还余几；求出每组和，进而求出这25个数字的和． 【解答】解：0，2，5，3，4，7这6个数字为一组进行循环出现， 25÷6＝4（组）…1（个） 4组还余1个数字，余下的1个数字是0， 所以，第25个数字是0； 0+2+5+3+4+7＝21 21+21+21+21＝84 答：第25个数是0；这25个数字相加的和是84． 【点评】此题属于周期性问题，这一类周期性问题，一般要利用余数的知识来解答．这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果． 21．国庆节，新兴街在街道的两边挂上了彩灯。聪聪站在新兴街路口，向右看去，发现这一边的彩灯是按一红二绿三黄的规律排列的.那么新兴街这一边从这个路口开始的第123盏灯是什么颜色的（把你的想法写一写、算一算或者画一画）？ 【答案】绿色。 【分析】根据题干可知，彩灯照颜色特点排列规律是一红二绿三黄，1+2+3＝6，即6盏一个循环周期，由此用除法计算出第123是第几个周期的第几盏即可。 【解答】解：123÷（1+2+3） ＝123÷6 ＝20……3（盏） 余数是3，按照一红二绿三黄的顺序，第三盏是绿色。 答：第123盏灯是绿色的。 【点评】此题的关键是明确多少盏是一个周期，然后再进一步解答。 22．大家都听说过“蜗牛爬墙”的故事：一只地面上的蜗牛要爬上高9尺的一堵光滑的墙，它很懒惰，每爬1小时后要休息1小时，向上爬时每小时可前进3尺，由于墙壁很滑，休息时要自然下滑2尺，这只蜗牛需多少小时才能爬到墙顶？现在蜗牛想从墙顶爬到地面上，又需要多少小时？（假设蜗牛笔直前进） 【答案】这只蜗牛需13小时才能爬到墙顶，蜗牛想从墙顶爬到地面上，需要4小时。 【分析】根据题意可知，向上爬，蜗牛每2小时可前进3﹣2＝1（尺），需注意在爬上墙的最后1小时蜗牛不再下滑。向下爬，蜗牛每2小时可前进3+2＝5（尺）。据此解答即可。 【解答】解：向上爬： 9﹣3＝6（尺） 3﹣2＝1（尺） 6÷1＝6（小时） 6×2+1＝13（小时） 向下爬： 3+2＝5（尺） 5×2＝10（尺） 10＞9 2×2＝4（小时） 答：这只蜗牛需13小时才能爬到墙顶，蜗牛想从墙顶爬到地面上，需要4小时。 【点评】解答此题的关键是将问题类比为一个顺逆航行的行程问题，从而确定上爬速度和下爬速度，由此结合实际即可完成。 23．有一串珠子，按4个红的，3个白的2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？ 【答案】白色。 【分析】根据题意，每4+3+2＝9（个）珠子一组，用160除以9，求出商和余数，余数是几，第160个珠子就对应第一组中的第几个珠子。据此解题。 【解答】解：4+3+2＝9（个） 160÷9＝17（组）……7（个） 第一组中的第七个珠子是白色，所以第160个珠子也是白色。 答：第160个是白色。 【点评】本题考查了周期问题，能从题干描述中找出珠子排列的规律是解题的关键。 24．24÷7商的小数点后面第2018位是多少？小数点后这2018个数字之和是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为24÷7＝3.428571428571…，该结果是循环小数，它的循环节是428571，是6位数，再用2018除以6，得出商是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字；然后再求出一个循环节的数字和，进而求出这2018个数字的和． 【解答】解：24÷7＝3.428571428571…，循环节是428571，是6位数， 2018÷6＝336…2， 所以小数点后面第2018位上的数字是2； 这2018个数字的和是： （4+2+8+5+7+1）×336+（4+2） ＝27×336+6 ＝9078； 答：小数点后面第2018位上的数字是2，这2018位数字之和是9078． 【点评】本题考查学生循环节的概念，以及分析判断能力，本题重点要确定循环节有几位小数，用2018除以循环节的位数，得出是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字． 25．47.5÷11商的小数点后面第2016个数字是几？小数点后2016个数字的总和是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为47.5÷11＝4.31818…，该结果是循环小数，它的循环节是18，是2位数，再用2016﹣1除以2，得出商是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字；然后再求出一个循环节的数字和，进而求出这2016个数字的和． 【解答】解：47.5÷11＝4.31818…， 循环节是18，是2位数， （2016﹣1）÷2＝1007…1， 所以小数点后面第2016位上的数字是1； 这2016个数字的和是： （1+8）×1007+（3+1） ＝9063+4 ＝9067 答：47.5÷11商的小数点后面第2016个数字是1，小数点后2016个数字的总和是9067． 【点评】此题考查学生循环节的概念，以及分析判断能力，本题重点要确定循环节有几位小数，用2015除以循环节的位数，得出是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字． 26．某市举办花博会。大会决定4月5日开幕，共举办20天（包括开幕和闭幕）。如果开幕式是星期二，那么闭幕式是星期几？ 【答案】星期日。 【分析】经过的天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。 【解答】解：20÷7＝2（周）……6（天） 从星期二开始向后推6天是星期日，那么闭幕式是星期日。 【点评】此题的关键是先求出经过了多少天，然后再进一步解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$