导数研究函数的单调性与最值教案-2025届高三数学一轮复习

导数研究函数的单调性与极值 适用学科 数学 适用年级 高三年级 适用区域 全国 课时时长（分钟） 120 知识点 1导数公式 2函数的单调性与极值 教学目标 1 理解和掌握函数的单调性与极值问题是高考的一个难点。 2 能应用导数的方法来研究函数中的单调性问题，,来培养学生应用数学分析、解决实际函数的能力. 3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识， 合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动 脑和动手的良好品质 教学重点 导数的公式，函数的单调性，函数的极值 教学难点 函数的极值与最值 学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．导数的定义和导数公式。 2．导数的运算法则。 3．用导数求一点处的切线方程。 4．如何用导数研究函数的单调性和最值。 2、 知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：(为常数)；()； ； ；； ， ； 求导法则：法则 ． 法则 , 法则： 复合函数的导数：设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或 2.用导数求函数的单调性： 1函数的单调性与极值 （1）极值的概念：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点. （2）求可导函数极值的步骤: ①求导数，求方程的根；②求方程的根；③检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 （1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行： ①求在内的极值. ②将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值. 考点一 函数的单调性 【例题1】求曲线的单调递增区间 。 【答案】 【解析】：根据题意 ， ∴, + 0 - 0 + 单增 极大值 单减 极小值 单增 所以，函数的单增区间为。 【例题2】曲线，求的取值范围为 。 【答案】：。 【解析】：由，解得或。 考点二 函数的极值 【例题3】:求曲线的极值 。 【答案】:极大值为-3；极小值为-19 【解析】:由，该函数在上单增，在上单减，当；；；。曲线的极大值为-3；极小值为-19. 【例题4】:设，如果在处取得最小值，求的解析式。 【答案】: 【解析】:已知，又在处取极值，则，又在处取最小值-5.则，。 考点三 函数的最值 【例题5】：求曲线在上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意，∴,由函数的单调性，当，，取得极大值；当，，取得极小值；当，。所以最大值为18，最小值为-2. 【例题6】：在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大是 。 【答案】： 【解析】：根据题意，设在点处的切线方程和法线方程分别是：， ，所以，在上单调增，在单调减， 考点四 函数中含参数的取值范围 【例题7】已知函数在上是单调递增函数，求的取值范围。 【答案】 【解析】：，因为在上单调递增，所以，，即：在上恒成立，即：，所以， 所以， 【例题8】：设，其中为正实数，若为上的单调函数，求的取值范围 【答案】： 【解析】：对求导得 ①若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知，在R上恒成立，因此由此并结合，知 考点五 函数中参数的单调性 【例题9】设函数．求函数的单调区间； 【答案】若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减 【解析】：由，得， 若，则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，w.若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减..w.k. 【例题10】设，讨论函数的单调性． 【答案】：如下 【解析】：函数的定义域为， 令， ① 当时，，令，解得，则当或时，，当时，，则在，上单调递增， 在上单调递减 ② 当时，，，则在上单调递增 ③ 当时，，令，解得 ∵，∴，则当时， 当时，，则在上单调递增，在上单调递减 考点六 导数的综合问题 【例题11】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） 【答案】：B 【解析】：函数与函数互为反函数，图象关于对称，函数上的点到直线的距离为， 设函数 由图象关于对称得：最小值为 【例题12】已知函数，若，求的最大值。 【答案】： 【解析】：得，①当时，在上单调递增，时，与矛盾。 ②当时，，得：当时，， 令；则， 当时，，当时，的最大值为。 四、课堂练习 【基础型】 1函数的单调递增区间是 ( ) A. B.(0,3) C.(1,4) D. 答案：D 解析：,令,解得,故选D 2若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 ( y ) ( a b a b a o x o x y b a o x y o x y b ) A ． B． C． D． 答案：A 解析：因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 3若函数在处取极值，则 答案 3 解析：由题意，， a＝3。 【巩固型】 若不等式对任意实数都成立，则实数a的取值范围 答案： 解析：记，∵x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，∴F（x）在R上的最小值大于2﹣a 求导：F′（x）=4x3﹣12x2=4x2（x﹣3），当x∈（﹣∞，3）时，F′（x）＜0，故F（x）在（﹣∞，3）上是减函数；当x∈（3，+∞）时，F′（x）＞0，故F（x）在（3，+∞）上是增函数． ∴当x=3时，函数F（x）有极小值，这个极小值即为函数F（x）在R上的最小值 即[F（x）]min=F（3）=﹣27，因此当2﹣a＜﹣27，即a＞29时，等式x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，故答案为：（29，+∞） 2若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 答案D 解析：因为在上递增，恒成立，，，即，所以。 3已知，求的极小值。 答案：0 解析：， 单减，单增；极小值。 4已知，若，求的取值范围。 答案： 解析：根据题意，，令，，单减，单增。。 【提高型】 1设函数， （Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立． 答案：的增区间为，减区间为 解析：（1）因为，所以 由于，所以的增区间为，减区间为 （Ⅱ）证明：由题意得，，由（Ⅰ）知内单调递增， 要使恒成立，只要，解得 2设函数，求函数的单调区间与极值点. 答案：是的极大值点，是的极小值点. 解析：∵,当时，，函数在上单调递增， 此时函数没有极值点，当时，由， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， ∴此时是的极大值点，是的极小值点. 3设函数，其中常数. (Ⅰ)讨论)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。 答案： 解析：（I），由知，当时，，故在区间是增函数；当时，，故在区间是减函数； 当时，，故在区间是增函数。 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。 （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。 。 由假设知， 即 解得 1<a<6 故的取值范围是（1，6） 五、课程小结 本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中的必考难题，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握这类题： 1函数的单调性与极值 （1）极值的概念：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点. （2）求可导函数极值的步骤: ①求导数，求方程的根；②求方程的根；③检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 （1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行： ①求在内的极值. ②将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值. 六、课后作业 【基础型】 1函数的单调减区间为 . 答案： 解析：，由得单调减区间为 2设函数，证明：当＞0时，＞0； 答案：如下 解析：（Ⅰ），（仅当时） 故函数在单调递增.当时，，故当＞0时，＞0. 3设，其中为正实数. （Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围 答案：（1）是极小值点,是极大值点.（2） 解析：对求导得 ① （I）当，若综合①,可知 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以,是极小值点,是极大值点. （II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知 在R上恒成立，因此由此并结合，知 【巩固型】 4设，． （1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系； （3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立． 答案：（1）（3） 解析：（1）由题设知，∴令0得=1， 当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。 当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间， 因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为 (2)，设，则，当时，，即，当时，，因此，在内单调递减， 当时，，即 （3）由（1）知的最小值为1，所以，，对任意，成立 即从而得。 5已知函数，讨论的单调性. 答案：如下 解析：的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。①当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 1 当，即时，方程有两个不同的实根,,. + 0 _ 0 + 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增. 6已知函数关于点对称，若有三个不同的根，则的取值范围 答案： 解析：由题意，的两个根为，极值点，，即，根据函数的单调性可得，当，取极大值，极大值，根据函数的单调性可得，当，取极小值，极小值，因为有三个不同的根，所以。 【提高型】 7已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 答案： 解析：因为，即,所以。 8已知函数，其中，曲线在点处的切线方程垂直轴 （Ⅰ）求的值 （Ⅱ）若的极大值为，求在上的最大值 答案：（1）；（2）最大值 解析：（Ⅰ）切线方程垂直于轴，即，得。 （Ⅱ）的定义域为，，，在上单增，在上单减，即当取的极大值，，得，所以当取最大值 9设函数有两个极值点，且 （I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明： 答案： 解析：（I），令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得，⑴当时，在内为增函数；⑵当时，在内为减函数；⑶当时，在内为增函数； （II）由（I）， ，设， 则，⑴当时，在单调递增；⑵当时，，在单调递减。 ，故． 10已知函数. （Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明： . 答案：的取值范围是. 解析：，,题设等价于.令，则，当，；当时，，是的最大值点，，综上，的取值范围是. (Ⅱ)由（Ⅰ）知，即.当时，；当时， ，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$